Egalități echivalente. Identități — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce transformări poți face cu o egalitate astfel încât să obții o egalitate echivalentă (adunarea aceluiași număr, înmulțirea cu un număr nenul) și ce este o identitate, adică o egalitate cu litere adevărată pentru orice valori ale lor. Pe aceste reguli se bazează rezolvarea ecuațiilor și a sistemelor din clasa a VII-a, calculul cu expresii din clasa a VIII-a și „scoaterea” unei mărimi dintr-o formulă de fizică.

Teorie

Egalități și transformări echivalente

O egalitate este formată din două expresii legate prin semnul „=”; expresia din stânga este membrul stâng, cea din dreapta membrul drept. O egalitate între numere este o propoziție adevărată ($3+4=7$) sau falsă ($3+4=8$).

Două egalități sunt echivalente dacă din fiecare rezultă cealaltă (scriem „$⟺$”). Le obținem una din alta prin transformări echivalente. Pentru orice numere reale $a,b,c$:

$$\begin{array}{rl}a=b& ⟺a+c=b+c,\\ a=b& ⟺a-c=b-c,\\ a=b& ⟺a\cdot c=b\cdot c(c\ne 0),\\ a=b& ⟺\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c\ne 0).\end{array}$$

De ce funcționează? Gândește-te la o balanță în echilibru: dacă pui (sau iei) aceeași greutate pe ambele talere, ea rămâne în echilibru; dacă dublezi încărcătura pe ambele talere, la fel. Și transformarea se poate „desface”: ce ai adunat poți scădea, cu ce ai înmulțit poți împărți, deci te poți întoarce la egalitatea inițială. De aceea cele două egalități spun același lucru.

Consecințe folosite tot timpul:

• Trecerea unui termen în celălalt membru cu semn schimbat: din $x+3=11$ scăzând 3 obții $x=11-3$.
• Împărțirea întregului membru: din $2x+4=10$ împărțind la 2 obții $x+2=5$ (se împarte fiecare termen).
• Egalitățile se pot aduna membru cu membru: dacă $a=b$ și $c=d$, atunci $a+c=b+d$ (metoda reducerii la sisteme se bazează pe asta).
• Egalitatea este simetrică ($a=b⟺b=a$) și tranzitivă (din $a=b$ și $b=c$ rezultă $a=c$).

Atenție la două transformări care NU sunt echivalente. Înmulțirea cu 0: $2\cdot 0=3\cdot 0$ este adevărată, dar $2=3$ nu, deci nu te mai poți întoarce. Ridicarea la pătrat: din $a=b$ rezultă $a^2=b^2$, dar invers nu, pentru că $(-3{)}^2=3^2$ și totuși $-3\ne 3$.

Identități

O egalitate în care apar litere poate fi:

• adevărată pentru orice valori ale literelor (dintr-o mulțime precizată): este o identitate; de exemplu $a+b=b+a$, $a(b+c)=ab+ac$, $2(x+3)-x=x+6$;
• adevărată doar pentru anumite valori: este o ecuație, iar acele valori sunt soluțiile ei; de exemplu $2x+1=7$ este adevărată doar pentru $x=3$;
• adevărată pentru nicio valoare; de exemplu $x+1=x+2$.

Cum arăți că o egalitate este identitate? Transformi un membru, cu regulile de calcul (desfacerea parantezelor, reducerea termenilor asemenea), până obții celălalt membru, sau aduci ambii membri la aceeași formă. Nu ajunge să verifici câteva valori: o egalitate poate fi adevărată pentru câteva numere și falsă pentru altele.

Cum arăți că NU este identitate? Ajunge un singur contraexemplu: o valoare pentru care egalitatea este falsă.

De reținut

• Aduni sau scazi același număr în ambii membri: obții o egalitate echivalentă.
• Înmulțești sau împarți ambii membri (fiecare termen!) cu același număr nenul: obții o egalitate echivalentă.
• Înmulțirea cu 0 și ridicarea la pătrat nu sunt transformări echivalente.
• Identitate = adevărată pentru orice valori; o demonstrezi prin calcul, o infirmi printr-un contraexemplu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Știind că $a-2b=7$, calculează: a) $a-2b+5$; b) $3a-6b$; c) $2b-a$.

Vezi rezolvarea

1. a) Aduni 5 în ambii membri ai egalității date: $a-2b+5=7+5=12$.
2. b) Înmulțești ambii membri cu 3: $3(a-2b)=21$, iar $3(a-2b)=3a-6b$ (distributivitate), deci $3a-6b=21$.
3. c) $2b-a$ este opusul lui $a-2b$: înmulțești cu $-1$ și obții $2b-a=-7$.

Răspuns: a) 12; b) 21; c) −7.

Exemplul 2. Perimetrul unui dreptunghi este $P=2(L+l)$. a) Scrie lățimea $l$ în funcție de $P$ și $L$. b) Calculează $l$ pentru $P=46$ cm și $L=15$ cm.

Vezi rezolvarea

1. Împarți ambii membri la 2: $\frac{P}{2}=L+l$.
2. Scazi $L$ din ambii membri: $\frac{P}{2}-L=l$, adică $l=\frac{P}{2}-L$.
3. b) $l=\frac{46}{2}-15=23-15=8$ cm. Verificare: $2(15+8)=46$.

Răspuns: $l=\frac{P}{2}-L$; l = 8 cm.

Exemplul 3. Arată că următoarele egalități sunt identități: a) $3(x-2)+2(4-x)=x+2$, pentru orice număr real $x$; b) $5(a+b)-2(a-b)=3a+7b$, pentru orice numere reale $a,b$.

Vezi rezolvarea

1. a) Desfaci parantezele în membrul stâng: $3x-6+8-2x$. Reduci termenii asemenea: $(3x-2x)+(-6+8)=x+2$, adică exact membrul drept.
2. b) Membrul stâng: $5a+5b-2a+2b$ (atenție: $-2\cdot (-b)=+2b$) $=3a+7b$, adică membrul drept.
3. Calculele folosesc doar reguli valabile pentru orice numere, deci egalitățile sunt adevărate pentru orice valori ale literelor.

Răspuns: ambele sunt identități.

Exemplul 4. Stabilește care dintre egalități este identitate: a) $2(x+1)=2x+1$; b) $x^2=x$; c) $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{5x}{6}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Membrul stâng este $2x+2$. Egalitatea devine $2x+2=2x+1$, adică (scăzând $2x$) $2=1$, falsă. Nu este identitate; nu este adevărată pentru nicio valoare a lui $x$.
2. b) Pentru $x=0$ și $x=1$ egalitatea este adevărată, dar pentru $x=2$ obții $4=2$, fals. Contraexemplul $x=2$ arată că nu este identitate (este o ecuație cu soluțiile 0 și 1).
3. c) Aduci la numitorul comun 6: $\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6}=\frac{5x}{6}$, adică membrul drept, pentru orice $x$. Este identitate.

Răspuns: doar c) este identitate.

Exemplul 5. Prin transformări echivalente, află numărul real $x$ pentru care $\frac{2x-1}{3}=\frac{x+4}{2}$. Precizează la fiecare pas ce transformare ai făcut.

Vezi rezolvarea

1. Înmulțești ambii membri cu 6 (număr nenul): $2(2x-1)=3(x+4)$.
2. Desfaci parantezele: $4x-2=3x+12$.
3. Scazi $3x$ din ambii membri: $x-2=12$.
4. Aduni 2 în ambii membri: $x=14$.
5. Toate transformările au fost echivalente, deci 14 este singura valoare. Verificare: $\frac{28-1}{3}=9$ și $\frac{14+4}{2}=9$.

Răspuns: x = 14.

Exemplul 6 (nivel avansat). Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care egalitatea $a(x+2)-3=5x+b$ este o identitate (adevărată pentru orice număr real $x$).

Vezi rezolvarea

1. Dacă egalitatea este adevărată pentru orice $x$, este adevărată și pentru valori alese convenabil.
2. Pentru $x=0$: $2a-3=b$.
3. Pentru $x=1$: $3a-3=5+b$.
4. Scazi prima egalitate din a doua, membru cu membru: $(3a-3)-(2a-3)=5+b-b$, adică $a=5$. Atunci $b=2\cdot 5-3=7$.
5. Verificare pentru orice $x$: $5(x+2)-3=5x+10-3=5x+7$, deci egalitatea este într-adevăr identitate.

Răspuns: a = 5, b = 7.

Greșeli frecvente

• Muți un termen fără să-i schimbi semnul: din $x+3=11$ nu rezultă $x=11+3$. Scăzând 3 din ambii membri obții $x=8$.
• Împarți doar un termen: din $2x+4=10$ nu rezultă $x+4=5$. Împarți fiecare termen la 2: $x+2=5$.
• Greșești semnul în fața parantezei: $-2(a-b)=-2a+2b$, nu $-2a-2b$.
• Crezi că verificarea pe câteva valori dovedește o identitate: $x^2=x$ este adevărată pentru 0 și 1, dar nu este identitate (exemplul 4). O identitate se demonstrează prin calcul general.

Verifică-te

Exersează

• Lecția următoare aplică exact aceste reguli: ecuația de gradul I, ax + b = 0, cu exerciții rezolvate pentru clasa a 7-a.
• Fișă de lucru: ecuații de gradul I, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională, transformările echivalente apar în Subiectul I: EN 2024, Subiectul I, itemul 6 (verifici dacă 1 este soluția ecuației $2x+3=4x+1$, rezolvat aici) și Model EN 2027, Subiectul I, itemul 3 (rezolvi $2-x=8$, rezolvat aici).
• Pentru sisteme, unde aduni egalități membru cu membru: sisteme de ecuații.

Întrebări frecvente

Ce este o identitate în matematică? Este o egalitate cu litere adevărată pentru orice valori ale literelor (din mulțimea precizată), de exemplu $a(b+c)=ab+ac$. Se demonstrează prin calcul, transformând un membru în celălalt.

Ce înseamnă egalități echivalente? Două egalități sunt echivalente dacă din fiecare rezultă cealaltă. Le obții adunând sau scăzând același număr în ambii membri ori înmulțind sau împărțind ambii membri cu același număr nenul.

De ce nu am voie să înmulțesc ambii membri cu 0? Pentru că orice egalitate, chiar și una falsă ca $2=3$, devine adevărată după înmulțirea cu 0 ($0=0$), deci nu te mai poți întoarce la egalitatea inițială: transformarea nu este echivalentă.