Triunghiul: elemente, clasificare, perimetru — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este un triunghi, cum îi numești elementele (vârfuri, laturi, unghiuri), cum clasifici triunghiurile după laturi și după unghiuri și cum calculezi perimetrul. Sunt noțiunile de bază pentru tot capitolul despre triunghi; la Evaluarea Națională apar des itemi cu perimetrul unui triunghi isoscel sau echilateral.

Teorie

Ce este un triunghi

Fie $A,B,C$ trei puncte necoliniare (care nu se află pe aceeași dreaptă). Figura formată din segmentele $[AB]$, $[BC]$ și $[CA]$ se numește triunghiul $ABC$ și se notează $\mathrm{△}ABC$. Dacă punctele ar fi coliniare, segmentele s-ar suprapune pe o dreaptă și nu ar „închide” nicio regiune, de aceea condiția de necoliniaritate este esențială.

Elementele triunghiului $ABC$:

• vârfurile: punctele $A,B,C$;
• laturile: segmentele $[AB],[BC],[CA]$; lungimile lor se notează $AB,BC,CA$ (uneori $c=AB$, $a=BC$, $b=CA$);
• unghiurile: $\sphericalangle BAC$, $\sphericalangle ABC$, $\sphericalangle ACB$, notate pe scurt $\sphericalangle A,\sphericalangle B,\sphericalangle C$.

Latura $[BC]$ este opusă unghiului $A$ (nu trece prin vârful $A$), iar unghiurile $B$ și $C$ sunt alăturate laturii $[BC]$ (au vârfurile la capetele ei). La fel, $[CA]$ se opune lui $\sphericalangle B$, iar $[AB]$ se opune lui $\sphericalangle C$. Triunghiul împarte planul în interiorul triunghiului, triunghiul propriu-zis și exteriorul lui.

Clasificarea după laturi

• triunghi oarecare (scalen): laturile au lungimi diferite două câte două;
• triunghi isoscel: are (cel puțin) două laturi congruente; dacă $AB=AC$, atunci $[BC]$ se numește baza, iar $A$ este vârful triunghiului isoscel;
• triunghi echilateral: are toate laturile congruente, $AB=BC=CA$. Orice triunghi echilateral este și isoscel (cu oricare latură ca bază).

Clasificarea după unghiuri

• triunghi ascuțitunghic: toate unghiurile sunt ascuțite (au măsuri mai mici de ${90}^{\circ }$);
• triunghi dreptunghic: are un unghi drept; laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză;
• triunghi obtuzunghic: are un unghi obtuz (cu măsura mai mare de ${90}^{\circ }$).

Un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte sau două unghiuri obtuze: vei vedea de ce în lecția următoare, unde arătăm că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este ${180}^{\circ }$. Cele două clasificări se pot combina: există triunghiuri dreptunghice isoscele, triunghiuri obtuzunghice isoscele etc.

Perimetrul triunghiului

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale:

$$P_{\mathrm{△}ABC}=AB+BC+CA.$$

Pentru un triunghi isoscel cu laturile congruente de lungime $l$ și baza $b$: $P=2l+b$. Pentru un triunghi echilateral cu latura $l$: $P=3l$. Laturile se exprimă în aceeași unitate de măsură înainte de adunare (de exemplu, toate în cm).

De reținut

• Trei puncte necoliniare determină un triunghi; el are 3 vârfuri, 3 laturi și 3 unghiuri.
• Fiecare latură se opune unui unghi: $[BC]$ se opune lui $\sphericalangle A$.
• După laturi: oarecare, isoscel, echilateral. După unghiuri: ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic.
• În triunghiul dreptunghic: două catete și o ipotenuză (opusă unghiului drept).
• $P=AB+BC+CA$; isoscel: $P=2l+b$; echilateral: $P=3l$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Pentru triunghiul $MNP$ scrie: a) latura opusă unghiului $N$; b) unghiurile alăturate laturii $[MP]$; c) unghiul opus laturii $[MN]$.

Vezi rezolvarea

1. a) Latura opusă unghiului $N$ este cea care nu trece prin $N$: $[MP]$.
2. b) Laturii $[MP]$ îi sunt alăturate unghiurile cu vârfurile în capetele ei: $\sphericalangle M$ și $\sphericalangle P$.
3. c) Latura $[MN]$ nu trece prin $P$, deci i se opune $\sphericalangle P$ (adică $\sphericalangle MPN$).

Răspuns: a) $[MP]$; b) $\sphericalangle M$, $\sphericalangle P$; c) $\sphericalangle MPN$

Exemplul 2. Clasifică triunghiurile: a) cu laturile de 7 cm, 7 cm și 10 cm; b) cu laturile de 4 cm, 5 cm și 6 cm; c) cu laturile de 9 cm, 9 cm și 9 cm; d) cu un unghi de ${90}^{\circ }$; e) cu unghiurile de ${40}^{\circ }$, ${30}^{\circ }$ și ${110}^{\circ }$; f) cu unghiurile de ${50}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$ și ${70}^{\circ }$.

Vezi rezolvarea

1. a) Două laturi congruente (7 cm): triunghi isoscel, cu baza de 10 cm.
2. b) Laturi diferite două câte două: triunghi oarecare.
3. c) Toate laturile congruente: triunghi echilateral.
4. d) Are un unghi drept: triunghi dreptunghic.
5. e) ${110}^{\circ }>{90}^{\circ }$, deci are un unghi obtuz: triunghi obtuzunghic.
6. f) Toate unghiurile au sub ${90}^{\circ }$: triunghi ascuțitunghic.

Răspuns: a) isoscel; b) oarecare; c) echilateral; d) dreptunghic; e) obtuzunghic; f) ascuțitunghic

Exemplul 3. Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$, baza $BC=10$ cm și perimetrul de 36 cm. Află lungimea laturii $AB$.

Vezi rezolvarea

1. $P$ $=AB+AC+BC$ $=2\cdot AB+10$, deci $2\cdot AB+10=36$.
2. $2\cdot AB=26$, adică $AB=13$ cm.
3. Verificare: $13+13+10=36$.

Răspuns: $AB=13$ cm

Exemplul 4. Lungimile laturilor unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5, iar perimetrul triunghiului este de 48 cm. Află lungimile laturilor.

Vezi rezolvarea

1. Notăm laturile cu $a,b,c$: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$, deci $a=3k$, $b=4k$, $c=5k$.
2. $3k+4k+5k$ $=48$ $\Rightarrow 12k$ $=48$ $\Rightarrow k$ $=4$.
3. $a=12$ cm, $b=16$ cm, $c=20$ cm; verificare: $12+16+20=48$.

Răspuns: 12 cm, 16 cm, 20 cm

Exemplul 5. Perimetrul triunghiului $ABC$ este de 56 cm. Punctul $M$ se află pe latura $[BC]$, iar perimetrele triunghiurilor $ABM$ și $ACM$ sunt de 30 cm, respectiv 40 cm. Află lungimea segmentului $AM$.

Vezi rezolvarea

1. $P_{\mathrm{△}ABM}=AB+BM+AM$ și $P_{\mathrm{△}ACM}=AC+CM+AM$; le adunăm.
2. Cum $M\in [BC]$, avem $BM+CM=BC$, deci suma este $AB+AC+BC+2\cdot AM$ $=P_{\mathrm{△}ABC}+2\cdot AM$.
3. $30+40$ $=56+2\cdot AM$ $\Rightarrow 2\cdot AM$ $=14$ $\Rightarrow AM$ $=7$ cm.

Răspuns: $AM=7$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). a) Un triunghi echilateral are același perimetru ca un pătrat cu latura de 4,5 cm. Află latura triunghiului. b) Într-un triunghi isoscel, fiecare dintre laturile congruente este de două ori mai lungă decât baza, iar perimetrul este de 40 cm. Află lungimile laturilor.

Vezi rezolvarea

1. a) Perimetrul pătratului: $4\cdot 4,5=18$ cm. Triunghiul echilateral are $3l=18$, deci $l=6$ cm.
2. b) Notăm baza cu $x$; laturile congruente au $2x$. Atunci $x+2x+2x$ $=40$ $\Rightarrow 5x$ $=40$ $\Rightarrow x$ $=8$.
3. Baza are 8 cm, laturile congruente au 16 cm; verificare: $8+16+16=40$.

Răspuns: a) 6 cm; b) 16 cm, 16 cm și 8 cm

Greșeli frecvente

• Confunzi latura opusă cu latura alăturată: latura opusă unghiului $A$ este $[BC]$, cea care nu trece prin $A$. Laturile $[AB]$ și $[AC]$ formează unghiul $A$.
• Crezi că echilateralul nu e isoscel: definiția isoscelului cere cel puțin două laturi congruente, deci orice triunghi echilateral este și isoscel.
• Aduni laturi în unități diferite: pentru laturile de 8 cm, 1 dm și 60 mm transformi întâi totul în cm: $8+10+6=24$ cm, nu $8+1+60$.
• Iei latura greșită drept bază: la un triunghi isoscel baza este latura „diferită”; în exemplul 3, $P=2\cdot AB+BC$, nu $AB+2\cdot BC$. Citește atent care laturi sunt congruente.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul, clasa a 6-a (clasificare, perimetru, unghiuri; printabilă, cu răspunsuri).
• Perimetrul tuturor figurilor plane, cu exemple: perimetrul triunghiului.
• La Evaluarea Națională: Modelul EN 2027, Subiectul al II-lea, itemul 9 (triunghi isoscel cu baza și perimetrul date, rezolvat aici) și testul de antrenament 6 din 2022, Subiectul al II-lea, itemul 9 (perimetrele a trei triunghiuri, ca în exemplul 5, rezolvat aici).
• Toate problemele cu triunghiuri date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — triunghiul.

Întrebări frecvente

Care sunt elementele unui triunghi? Un triunghi are trei vârfuri (punctele $A,B,C$), trei laturi (segmentele $[AB],[BC],[CA]$) și trei unghiuri ($\sphericalangle A,\sphericalangle B,\sphericalangle C$). Fiecare latură se opune unui unghi.

Cum se clasifică triunghiurile? După laturi: oarecare, isoscel (două laturi congruente) și echilateral (trei laturi congruente). După unghiuri: ascuțitunghic (toate unghiurile ascuțite), dreptunghic (un unghi drept) și obtuzunghic (un unghi obtuz).

Cum se calculează perimetrul unui triunghi? Aduni lungimile celor trei laturi, exprimate în aceeași unitate: $P=AB+BC+CA$. La triunghiul isoscel $P=2l+b$, iar la cel echilateral $P=3l$.