Inecuații în ℤ — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi inecuații în mulțimea numerelor întregi: ce operații păstrează sensul inegalității, de ce înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ îl schimbă și cum scrii mulțimea soluțiilor. Inecuațiile de acest tip apar la Evaluarea Națională, la Subiectul I, sub forma $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid \dots \}$.

Teorie

Ce este o inecuație

O inecuație este o inegalitate care conține o necunoscută, de exemplu $x+3<1$ sau $2x-5\ge -9$. Semnele folosite sunt $<$ (mai mic), $>$ (mai mare), $\le$ (mai mic sau egal) și $\ge$ (mai mare sau egal). Un număr întreg este soluție dacă, înlocuit în locul lui $x$, dă o inegalitate adevărată. A rezolva inecuația în $\mathbb{Z}$ înseamnă a găsi toate numerele întregi care sunt soluții.

De exemplu, pentru $x+3<1$: $x=-3$ este soluție, pentru că $-3+3=0<1$; $x=-2$ nu este soluție, pentru că $-2+3=1$, iar $1<1$ este fals.

Regulile de transformare

Ca la ecuații, transformăm inecuația în inecuații echivalente (cu aceleași soluții), până rămâne $x$ singur într-un membru:

1. Adunăm sau scădem același număr în ambii membri: sensul inegalității se păstrează. Practic, „trecem un termen în celălalt membru cu semn schimbat”: $x+7<2⟺x<2-7⟺x<-5$.
2. Înmulțim sau împărțim ambii membri cu același număr pozitiv: sensul se păstrează. $3x\ge -12⟺x\ge -4$.
3. Înmulțim sau împărțim ambii membri cu același număr negativ: sensul se schimbă ($<$ devine $>$, $\le$ devine $\ge$ și invers). $-2x>6⟺x<-3$.

De ce se schimbă sensul la numere negative? Pornim de la $2<5$ și înmulțim cu $-1$: obținem $-2$ și $-5$. Pe axa numerelor, $-5$ este la stânga lui $-2$, deci $-2>-5$. Opusele a două numere sunt așezate „în oglindă” față de 0, așa că ordinea lor se inversează. Verifică pe $-2x>6$: pentru $x=-4$ avem $8>6$ (adevărat), iar pentru $x=0$ avem $0>6$ (fals); deci soluțiile sunt numerele mai mici decât $-3$.

Cum scriem soluțiile

• Dacă soluțiile sunt nelimitate, le scriem descriptiv și dăm câteva elemente: $x\ge -2\Rightarrow S=\{x\in \mathbb{Z}\mid x\ge -2\}=\{-2,-1,0,1,\dots \}$.
• Pentru o dublă inegalitate, de tipul $a\le x<b$, enumerăm soluțiile: $\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x<2\}=\{-2,-1,0,1\}$. Atenție la capete: $\le$ include capătul, $<$ nu.
• Dacă după împărțire nu obții un număr întreg, folosește că $x$ este întreg: din $2x\le 7$, cum $2x$ este număr par, rezultă $2x\le 6$, adică $x\le 3$.
• Cu modul: $|x|\le 3$ înseamnă că $x$ este la cel mult 3 unități de 0 pe axă, adică $-3\le x\le 3$.

De reținut

• Adunare/scădere în ambii membri: sensul rămâne.
• Înmulțire/împărțire cu un număr pozitiv: sensul rămâne; cu un număr negativ: sensul se schimbă.
• Verifică răspunsul cu o probă: un număr din soluție și unul din afara ei.
• Citește cu atenție mulțimea cerută: în $\mathbb{N}$ păstrezi doar soluțiile $\ge 0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{Z}$ inecuația $x+5<2$.

Vezi rezolvarea

1. Scădem 5 din ambii membri: $x<2-5$, adică $x<-3$.
2. Numerele întregi mai mici decât $-3$ sunt $-4,-5,-6,\dots$
3. Probă: $x=-4$: $-4+5=1<2$ (adevărat); $x=-3$: $-3+5=2<2$ (fals), deci $-3$ nu e soluție.

Răspuns: $S=\{x\in \mathbb{Z}\mid x<-3\}=\{\dots ,-6,-5,-4\}$

Exemplul 2. Rezolvă în $\mathbb{Z}$ inecuația $3x-4\ge -13$.

Vezi rezolvarea

1. Adunăm 4 în ambii membri: $3x\ge -13+4$, adică $3x\ge -9$.
2. Împărțim la 3 (număr pozitiv, sensul rămâne): $x\ge -3$.
3. Probă: $x=-3$: $-9-4=-13\ge -13$ (adevărat).

Răspuns: $S=\{-3,-2,-1,0,1,\dots \}$

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{Z}$ inecuația $-4x+1>9$.

Vezi rezolvarea

1. Scădem 1: $-4x>8$.
2. Împărțim la $-4$ (număr negativ), deci schimbăm sensul: $x<-2$.
3. Probă: $x=-3$: $12+1=13>9$ (adevărat); $x=-2$: $8+1=9>9$ (fals).

Răspuns: $S=\{\dots ,-5,-4,-3\}$

Exemplul 4. Determină mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -7\le 2x-3<5\}$, apoi află câte elemente are și suma lor.

Vezi rezolvarea

1. Adunăm 3 în toți cei trei membri: $-4\le 2x<8$.
2. Împărțim la 2: $-2\le x<4$.
3. Numerele întregi: $-2,-1,0,1,2,3$ ($-2$ intră, $4$ nu).
4. Suma: $(-2)+(-1)+0+1+2+3=3$ (numerele opuse se reduc).

Răspuns: $A=\{-2,-1,0,1,2,3\}$, 6 elemente, suma 3

Exemplul 5. Determină numerele întregi $x$ pentru care $|x-1|\le 3$.

Vezi rezolvarea

1. Un număr are modulul cel mult 3 dacă se află între $-3$ și $3$: $-3\le x-1\le 3$.
2. Adunăm 1 în toți membrii: $-2\le x\le 4$.
3. Probă la capete: $|-2-1|=3\le 3$ și $|4-1|=3\le 3$ (adevărat); $|5-1|=4$ nu convine.

Răspuns: $x\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Determină cel mai mare număr întreg $x$ care verifică inecuația $5-3(x+2)>2x-21$.

Vezi rezolvarea

1. Desfacem paranteza: $5-3x-6>2x-21$, adică $-3x-1>2x-21$.
2. Trecem termenii cu $x$ în stânga și numerele în dreapta: $-3x-2x>-21+1$, adică $-5x>-20$.
3. Împărțim la $-5$ și schimbăm sensul: $x<4$.
4. Cel mai mare număr întreg mai mic decât 4 este 3. Probă: $5-3\cdot 5=-10$ și $2\cdot 3-21=-15$; $-10>-15$ (adevărat). Pentru $x=4$: $-13>-13$ e fals.

Răspuns: $x=3$

Greșeli frecvente

• Uiți să schimbi sensul la împărțirea cu un număr negativ: din $-3x<12$ rezultă $x>-4$, nu $x<-4$. Verifică: $x=0$ dă $0<12$, adevărat, deci 0 trebuie să fie soluție.
• Schimbi sensul când nu trebuie: sensul se schimbă doar dacă înmulțești sau împarți cu un număr negativ. Din $x-5>-8$ rezultă $x>-3$, cu același sens (doar ai adunat 5).
• Greșești capetele: $-2\le x<2$ conține pe $-2$, dar nu pe 2. Mulțimea este $\{-2,-1,0,1\}$, cu 4 elemente, nu 5.
• Ignori mulțimea în care se rezolvă: $x\le 3$ are în $\mathbb{N}$ soluțiile $\{0,1,2,3\}$, dar în $\mathbb{Z}$ are o infinitate de soluții: $\{\dots ,-1,0,1,2,3\}$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: ecuații și inecuații în Z, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Numere întregi — exerciții rezolvate pas cu pas și testul de numere întregi cu barem.
• La Evaluarea Națională: Simulare EN 2021, Subiectul I, itemul 5 ($A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x<2\}$ scrisă prin enumerare, rezolvat aici) și Simulare EN 2024, Subiectul I, itemul 4 (inecuația $2x+2\ge 4$, aceeași metodă, dar în clasa a VIII-a soluția se scrie ca interval, rezolvat aici).
• Toate ecuațiile și inecuațiile date la EN: ecuații și inecuații la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Când se schimbă sensul unei inecuații? Numai când înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr negativ. Adunarea, scăderea și înmulțirea sau împărțirea cu un număr pozitiv păstrează sensul inegalității.

Cum se scrie mulțimea soluțiilor unei inecuații în Z? Dacă soluțiile sunt între două capete, le enumeri, de exemplu $\{-2,-1,0,1\}$. Dacă sunt nelimitate, scrii $\{x\in \mathbb{Z}\mid x\ge -2\}=\{-2,-1,0,\dots \}$.

Care este diferența dintre o ecuație și o inecuație? Ecuația are semnul egal și, de obicei, o singură soluție. Inecuația are unul dintre semnele $<,>,\le ,\ge$ și are, de regulă, mai multe soluții, uneori o infinitate.