Numere raționale: opusul, modulul, compararea — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli ce este un număr rațional, cum îl reprezinți pe axa numerelor, ce sunt opusul și modulul lui și cum compari și ordonezi numere raționale, inclusiv negative. Sunt regulile pe care se sprijină toate calculele din capitolul despre numere raționale, iar la Evaluarea Națională apar în itemii cu opusul, inversul și ordonarea numerelor.

Teorie

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi și $b\ne 0$. Mulțimea numerelor raționale se notează cu $\mathbb{Q}$.

• Orice număr întreg este rațional: $7=\frac{7}{1}$, $-3=\frac{-3}{1}$, $0=\frac{0}{1}$. Deci $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.
• Fracțiile zecimale finite și periodice din clasa a V-a sunt numere raționale: $2,5=\frac{5}{2}$, $0,(3)=\frac{1}{3}$, $-0,75=-\frac{3}{4}$.
• Fracțiile echivalente reprezintă același număr: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{-2}{-3}$. Minusul se poate scrie în fața fracției, la numărător sau la numitor: $-\frac{3}{4}=\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}$; de obicei îl scriem în fața fracției.

Notații: ${\mathbb{Q}}_{+}$ — numerele raționale pozitive și $0$ (le cunoști din clasa a V-a), ${\mathbb{Q}}_{-}$ — numerele raționale negative și $0$, ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ — numerele raționale nenule.

Reprezentarea pe axa numerelor

Ca la numerele întregi, pe axă alegem originea $O$ (numărul $0$), sensul pozitiv spre dreapta și unitatea de măsură. Pentru $-\frac{3}{2}=-1,5$ mergem spre stânga o unitate și jumătate; punctul se află la mijlocul segmentului dintre $-2$ și $-1$.

Opusul unui număr rațional

Opusul numărului $x$ este $-x$. Pe axă, un număr și opusul lui sunt simetrice față de origine: se află la aceeași distanță de $O$, de o parte și de alta. În figură, $-\frac{3}{2}$ și $\frac{3}{2}$ sunt opuse.

• Opusul lui $\frac{2}{5}$ este $-\frac{2}{5}$; opusul lui $-4,3$ este $4,3$; opusul lui $0$ este $0$.
• Opusul opusului este numărul inițial: $-(-x)=x$.
• Un număr adunat cu opusul său dă $0$: $-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0$.

Atenție: opusul nu este inversul. Inversul lui $\frac{2}{3}$ este $\frac{3}{2}$ (produsul lor este $1$), pe când opusul lui $\frac{2}{3}$ este $-\frac{2}{3}$ (suma lor este $0$).

Modulul unui număr rațional

Modulul (valoarea absolută) unui număr rațional $x$, notat $|x|$, este distanța de la originea $O$ la punctul de pe axă care îl reprezintă. O distanță nu poate fi negativă, de aceea:

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{dacă }x\ge 0\\ -x,& \text{dacă }x<0\end{array}\text{de exemplu }|-\frac{3}{2}|=\frac{3}{2},\left|2,4\right|=2,4,|0|=0.$$

Proprietăți: $|x|\ge 0$ pentru orice $x$; un număr și opusul lui au același modul, $|-x|=|x|$; dacă $a$ este un număr rațional pozitiv, $|x|=a$ înseamnă $x=a$ sau $x=-a$.

Compararea numerelor raționale

Pe axa numerelor, dintre două numere este mai mare cel situat mai la dreapta. De aici obținem regulile:

• Orice număr pozitiv este mai mare decât $0$, iar $0$ este mai mare decât orice număr negativ.
• Două numere pozitive le compari ca în clasa a V-a: le aduci la același numitor sau le scrii ca fracții zecimale.
• Dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic (este mai aproape de $0$). De exemplu, $-\frac{1}{2}>-\frac{3}{2}$, pentru că $\frac{1}{2}<\frac{3}{2}$.

De reținut

• $\mathbb{Q}$ = numerele de forma $\frac{a}{b}$, cu $a,b$ întregi, $b\ne 0$; $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.
• Opusul lui $x$ este $-x$ (simetric față de origine); inversul este altceva.
• $|x|$ este distanța până la origine, deci nu este niciodată negativ.
• La numere negative: modul mai mare înseamnă număr mai mic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Se dă mulțimea $A=\{-5;\frac{3}{4};0;-2,5;0,(6);\frac{12}{3};-\frac{7}{2}\}$. Scrie elementele lui $A$ care sunt numere naturale, cele care sunt numere întregi și cele care sunt numere raționale.

Vezi rezolvarea

1. Observăm că $\frac{12}{3}=4$, deci este număr natural. $-2,5=-\frac{5}{2}$, $0,(6)=\frac{2}{3}$ și $-\frac{7}{2}=-3,5$ nu sunt întregi.
2. Naturale: $0$ și $\frac{12}{3}=4$.
3. Întregi: $-5$, $0$, $4$.
4. Raționale: toate cele 7 elemente, pentru că fiecare se scrie ca fracție cu numărător și numitor întregi.

Răspuns: $A\cap \mathbb{N}=\{0;4\}$, $A\cap \mathbb{Z}=\{-5;0;4\}$, $A\cap \mathbb{Q}=A$

Exemplul 2. Scrie opusul și modulul fiecăruia dintre numerele $-\frac{7}{3}$, $2,4$, $-0,(3)$ și $0$.

Vezi rezolvarea

1. $-\frac{7}{3}$: opusul este $\frac{7}{3}$; fiind negativ, modulul este opusul lui: $|-\frac{7}{3}|=\frac{7}{3}$.
2. $2,4$: opusul este $-2,4$; fiind pozitiv, $|2,4|=2,4$.
3. $-0,(3)$: opusul este $0,(3)$; $|-0,(3)|=0,(3)=\frac{1}{3}$.
4. $0$: opusul este $0$, iar $|0|=0$.

Răspuns: opuse $\frac{7}{3};-2,4;0,(3);0$; module $\frac{7}{3};2,4;0,(3);0$

Exemplul 3. Compară numerele: a) $-\frac{3}{4}$ și $-\frac{5}{6}$; b) $-2,35$ și $-2,4$; c) $-\frac{1}{3}$ și $-0,33$.

Vezi rezolvarea

1. a) Ambele sunt negative, deci comparăm modulele: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$ și $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$, deci $\frac{5}{6}>\frac{3}{4}$. Modulul mai mare dă numărul mai mic: $-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}$.
2. b) Modulele: $2,4=2,40>2,35$, deci $-2,4<-2,35$.
3. c) $\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots >0,33$, deci $-\frac{1}{3}<-0,33$.

Răspuns: a) $-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}$; b) $-2,4<-2,35$; c) $-\frac{1}{3}<-0,33$

Exemplul 4. Ordonează crescător numerele: $-1,5;\frac{2}{3};-\frac{7}{4};0;-\frac{1}{2};0,6$.

Vezi rezolvarea

1. Scriem toate numerele ca fracții zecimale: $-\frac{7}{4}=-1,75$, $-\frac{1}{2}=-0,5$, $\frac{2}{3}=0,(6)=\mathrm{0,666}\dots$
2. Negativele: modulele sunt $1,75>1,5>0,5$, deci $-1,75<-1,5<-0,5$.
3. Urmează $0$, apoi pozitivele: $0,6<\mathrm{0,666}\dots$, adică $0,6<\frac{2}{3}$.

Răspuns: $-\frac{7}{4}<-1,5<-\frac{1}{2}<0<0,6<\frac{2}{3}$

Exemplul 5. a) Află numerele raționale $x$ pentru care $|x|=\frac{5}{2}$. b) Află numerele întregi $x$ pentru care $|x|<\frac{7}{3}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Pe axă sunt două puncte la distanța $\frac{5}{2}$ de origine: $x=\frac{5}{2}$ sau $x=-\frac{5}{2}$.
2. b) $\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$. Modulul unui număr întreg este un număr natural, iar numerele naturale mai mici decât $2\frac{1}{3}$ sunt $0,1,2$.
3. $|x|=0\Rightarrow x=0$; $|x|=1\Rightarrow x=\pm 1$; $|x|=2\Rightarrow x=\pm 2$.

Răspuns: a) $x\in \{-\frac{5}{2};\frac{5}{2}\}$; b) $x\in \{-2;-1;0;1;2\}$

Exemplul 6. Se dau numerele $a=-\frac{2}{3}$, $b=-0,7$ și $c=-\frac{5}{8}$. a) Ordonează descrescător numerele $a,b,c$. b) Calculează $|a|-|c|$.

Vezi rezolvarea

1. a) Modulele: $|a|=\frac{2}{3}=\mathrm{0,666}\dots$, $|b|=0,7$, $|c|=\frac{5}{8}=\mathrm{0,625}$. Deci $|c|<|a|<|b|$.
2. Numerele sunt negative, deci ordinea se inversează: $c>a>b$.
3. b) $|a|-|c|=\frac{2}{3}-\frac{5}{8}=\frac{16}{24}-\frac{15}{24}=\frac{1}{24}$ (scădere de fracții pozitive, ca în clasa a V-a).

Răspuns: a) $c>a>b$, adică $-\frac{5}{8}>-\frac{2}{3}>-0,7$; b) $\frac{1}{24}$

Greșeli frecvente

• Compari numerele negative ca pe cele pozitive: din $\frac{5}{6}>\frac{3}{4}$ nu rezultă $-\frac{5}{6}>-\frac{3}{4}$; la numere negative ordinea se inversează: $-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}$.
• Confunzi opusul cu inversul: opusul lui $\frac{2}{3}$ este $-\frac{2}{3}$, nu $\frac{3}{2}$ (acesta este inversul).
• Scrii un modul negativ: $|-\frac{3}{5}|=\frac{3}{5}$, nu $-\frac{3}{5}$; modulul este o distanță.
• Uiți semnul când minusul apare de două ori: $\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$ este pozitiv, iar $-\frac{-2}{5}=\frac{2}{5}$ la fel.

Verifică-te

Exersează

• Recapitulează opusul, modulul și compararea la numere întregi: fișa de lucru numere întregi, clasa a 6-a și numere întregi — exerciții rezolvate.
• Compararea și transformarea fracțiilor: fracții — reguli și exemple.
• La Evaluarea Națională: EN 2022, Subiectul I, itemul 3 (opusul unui număr, cu inversul printre variante, rezolvat aici) și EN 2024, subiectul de rezervă, Subiectul I, itemul 5 (ordonarea numerelor $\frac{2}{3}$, $0,5$, $0,1(3)$, $\frac{1}{4}$, rezolvat aici).
• Recapitulare pe tot capitolul de algebră: fișa de recapitulare algebră, clasa a 6-a.

Întrebări frecvente

Ce este un număr rațional? Este un număr care se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a$ și $b$ numere întregi și $b\ne 0$. Toate numerele întregi, fracțiile și fracțiile zecimale finite sau periodice sunt numere raționale.

Cum compar două numere raționale negative? Compari modulele lor: numărul cu modulul mai mic este mai mare, pentru că este mai aproape de zero pe axă. De exemplu, $-0,5>-0,6$.

Care este diferența dintre opusul și inversul unui număr? Opusul lui $x$ este $-x$ și adunat cu $x$ dă $0$; inversul lui $x\ne 0$ este $\frac{1}{x}$ și înmulțit cu $x$ dă $1$. De exemplu, pentru $\frac{2}{3}$ opusul este $-\frac{2}{3}$, iar inversul este $\frac{3}{2}$.