Ecuații în ℤ — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi ecuații în mulțimea numerelor întregi: ecuații de tipul $x+a=b$, $a\cdot x=b$, $ax+b=c$, ecuații cu paranteze și ecuații cu modul, verificând de fiecare dată soluția. Același mod de lucru îl folosești la Evaluarea Națională, unde la Subiectul I apare aproape în fiecare an o ecuație simplă.

Teorie

Ecuație, soluție, mulțimea soluțiilor

O ecuație este o egalitate care conține o literă necunoscută, de exemplu $x+9=4$. Un număr este soluție dacă, înlocuit în locul lui $x$, transformă ecuația într-o egalitate adevărată: $-5$ este soluție, pentru că $-5+9=4$. A rezolva ecuația în $\mathbb{Z}$ înseamnă a găsi toate soluțiile întregi; le scriem în mulțimea soluțiilor $S$.

Contează mulțimea în care rezolvăm: $x+9=4$ nu are soluții în $\mathbb{N}$, dar în $\mathbb{Z}$ are soluția $-5$, deci $S=\{-5\}$.

Ecuații echivalente: ce operații avem voie să facem

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași soluții. Obținem o ecuație echivalentă dacă:

• adunăm sau scădem același număr în ambii membri; practic, un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat: din $x+9=4$ obținem $x=4-9$;
• înmulțim sau împărțim ambii membri cu același număr nenul: din $-4x=28$ obținem $x=28:(-4)$.

De ce funcționează? O egalitate adevărată rămâne adevărată dacă facem aceeași operație în ambele părți, la fel ca o balanță în echilibru la care adăugăm sau luăm aceeași greutate din ambele talere.

Tipuri de ecuații și cum se rezolvă

ecuația	rezolvare	exemplu
$x+a=b$	$x=b-a$	$x+9=4\Rightarrow x=-5$
$x-a=b$	$x=b+a$	$x-7=-12\Rightarrow x=-5$
$a-x=b$	$x=a-b$	$2-x=8\Rightarrow x=-6$
$a\cdot x=b$, $a\ne 0$	$x=b:a$	$-4x=28\Rightarrow x=-7$
$x:a=b$, $a\ne 0$	$x=a\cdot b$	$x:(-3)=5\Rightarrow x=-15$
$ax+b=c$	întâi $ax=c-b$, apoi împărțim la $a$	$3x-7=-22\Rightarrow x=-5$

Atenție: ecuația $a\cdot x=b$ are soluție în $\mathbb{Z}$ doar dacă $b$ se împarte exact la $a$. De exemplu $3x=-10$ nu are soluții întregi, deci $S=\mathrm{\varnothing }$.

Ecuații cu modul

Modulul este distanța până la 0 pe axă, deci:

• dacă $a$ este pozitiv, $|x|=a$ are două soluții: $x\in \{-a,a\}$;
• $|x|=0$ are o singură soluție, $x=0$;
• dacă $a$ este negativ, $|x|=a$ nu are soluții (o distanță nu e negativă).

Proba (verificarea)

După rezolvare înlocuim soluția în ecuația inițială și verificăm că obținem o egalitate adevărată. Proba arată imediat greșelile de semn, cele mai frecvente la ecuațiile cu numere negative.

De reținut

• Un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat.
• Împărțim ambii membri la coeficientul lui $x$, cu regula semnelor.
• Verificăm că soluția este număr întreg și facem proba.
• $|x|=a$: două soluții dacă $a$ e pozitiv, una dacă $a=0$, niciuna dacă $a$ e negativ.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{Z}$: a) $x+9=4$; b) $x-7=-12$; c) $2-x=8$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x=4-9=-5$. Proba: $-5+9=4$.
2. b) $x=-12+7=-5$. Proba: $-5-7=-12$.
3. c) $x$ este scăzătorul: $x=2-8=-6$. Proba: $2-(-6)=2+6=8$.

Răspuns: a) $S=\{-5\}$; b) $S=\{-5\}$; c) $S=\{-6\}$.

Exemplul 2. Rezolvă în $\mathbb{Z}$: a) $-4x=28$; b) $x:(-3)=5$; c) $3x=-10$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x=28:(-4)=-7$ (semne diferite). Proba: $-4\cdot (-7)=28$.
2. b) $x$ este deîmpărțitul: $x=5\cdot (-3)=-15$. Proba: $-15:(-3)=5$.
3. c) Ar trebui $x=-10:3$, dar $-10$ nu se împarte exact la 3, deci nu există număr întreg cu $3x=-10$ (verifică: $3\cdot (-3)=-9$, $3\cdot (-4)=-12$).

Răspuns: a) $S=\{-7\}$; b) $S=\{-15\}$; c) $S=\mathrm{\varnothing }$.

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{Z}$: a) $3x-7=-22$; b) $-2x+5=17$.

Vezi rezolvarea

1. a) Trecem $-7$ în membrul drept cu semn schimbat: $3x=-22+7=-15$, deci $x=-15:3=-5$. Proba: $3\cdot (-5)-7=-15-7=-22$.
2. b) $-2x=17-5=12$, deci $x=12:(-2)=-6$. Proba: $-2\cdot (-6)+5=12+5=17$.

Răspuns: a) $S=\{-5\}$; b) $S=\{-6\}$.

Exemplul 4. Rezolvă în $\mathbb{Z}$: a) $2(x-4)+9=-5$; b) $-3(x+2)=15$.

Vezi rezolvarea

1. a) Tratăm paranteza ca pe un singur număr: $2(x-4)=-5-9=-14$, deci $x-4=-14:2=-7$ și $x=-7+4=-3$. Proba: $2\cdot (-3-4)+9=2\cdot (-7)+9=-14+9=-5$.
2. b) $x+2=15:(-3)=-5$, deci $x=-5-2=-7$. Proba: $-3\cdot (-7+2)=-3\cdot (-5)=15$.

Răspuns: a) $S=\{-3\}$; b) $S=\{-7\}$.

Exemplul 5. Rezolvă în $\mathbb{Z}$: a) $|x|=7$; b) $|x|=-3$; c) $|x+1|=4$.

Vezi rezolvarea

1. a) Numerele aflate la distanța 7 de origine: $x\in \{-7,7\}$.
2. b) Un modul nu poate fi negativ: $S=\mathrm{\varnothing }$.
3. c) Numărul $x+1$ are modulul 4, deci $x+1=4$ sau $x+1=-4$. Din prima, $x=3$; din a doua, $x=-5$. Proba: $|3+1|=|4|=4$, $|-5+1|=|-4|=4$.

Răspuns: a) $S=\{-7,7\}$; b) $S=\mathrm{\varnothing }$; c) $S=\{-5,3\}$.

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). a) Mă gândesc la un număr întreg. Îl înmulțesc cu $-3$, adun 8 la rezultat și obțin 26. La ce număr m-am gândit? b) Verifică dacă numărul $-2$ este soluție a ecuației $3x+4=x$.

Vezi rezolvarea

1. a) Notăm numărul cu $x$. Enunțul se traduce prin ecuația $-3x+8=26$.
2. $-3x=26-8=18$, deci $x=18:(-3)=-6$. Proba: $(-6)\cdot (-3)+8=18+8=26$.
3. b) Înlocuim $x=-2$ în ambii membri: membrul stâng $3\cdot (-2)+4=-6+4=-2$, membrul drept $-2$. Membrii sunt egali, deci egalitatea este adevărată.

Răspuns: a) numărul $-6$; b) da, $-2$ este soluție.

Greșeli frecvente

• Treci termenul fără să-i schimbi semnul: din $x+9=4$ nu rezultă $x=4+9$, ci $x=4-9=-5$.
• Greșești ecuația $a-x=b$: din $2-x=8$ unii scriu $x=6$. Proba arată greșeala: $2-6=-4\ne 8$. Corect: $x=2-8=-6$.
• Pierzi semnul la împărțire: din $-4x=28$ rezultă $x=-7$, nu $x=7$: $28$ și $-4$ au semne diferite.
• Dai o soluție care nu e întreagă sau uiți una: $3x=-10$ nu are soluții în $\mathbb{Z}$, iar $|x|=7$ are două soluții, $-7$ și $7$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: ecuații și inecuații în mulțimea numerelor întregi, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Numere întregi — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a).
• La Evaluarea Națională: Modelul EN 2027, Subiectul I, itemul 3 (ecuația $2-x=8$, rezolvat aici), EN 2026, subiectul de rezervă, Subiectul I, itemul 3 (ecuația $5-x=5$, rezolvat aici) și EN 2024, Subiectul I, itemul 6 (verifici dacă un număr este soluție, rezolvat aici). Toate ecuațiile date la EN: ecuații la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o ecuație de forma ax + b = c în ℤ? Treci $b$ în membrul drept cu semnul schimbat, obții $ax=c-b$, apoi împarți la $a$ folosind regula semnelor. Exemplu: $3x-7=-22\Rightarrow 3x=-15\Rightarrow x=-5$.

Când nu are o ecuație soluții în ℤ? Când rezultatul nu este număr întreg, de exemplu $3x=-10$, sau când se cere un modul negativ, de exemplu $|x|=-3$. Atunci scrii $S=\mathrm{\varnothing }$.

De ce trebuie făcută proba? Proba îți arată dacă ai greșit un semn: înlocuiești soluția în ecuația inițială și verifici că cei doi membri sunt egali. La ecuațiile cu numere negative, greșelile de semn sunt cele mai frecvente.