Teorema de medie — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

Teorema de medie spune că integrala unei funcții continue pe $[a,b]$ este egală cu $f(c)(b-a)$ pentru un punct $c$ din interval: aria de sub grafic este aria unui dreptunghi cu aceeași bază. Din ea rezultă încadrări de integrale, limite cu integrale și teorema de existență a primitivelor unei funcții continue. Lecția este în programa M1 (nu și în programa M2).

Teorie

Integrabilitatea funcțiilor continue

Teoremă. Orice funcție continuă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă pe $[a,b]$. (Definiția integrabilității este în lecția despre sume Riemann.)

Mai folosim două proprietăți ale funcțiilor continue pe un interval închis și mărginit: sunt mărginite și își ating marginile (teorema lui Weierstrass) și au proprietatea lui Darboux (clasa a XI-a).

Inegalitatea de medie

Dacă $f$ este integrabilă și $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in [a,b]$, atunci, din monotonia integralei,

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$

Teorema de medie

Teoremă. Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă, atunci există $c\in [a,b]$ astfel încât

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).$$

Numărul $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)$ se numește valoarea medie a funcției pe $[a,b]$.

Demonstrație. Fie $m=minf$ și $M=maxf$ pe $[a,b]$ (există, din teorema lui Weierstrass). Din inegalitatea de medie, $m\le \mu \le M$. Funcția continuă $f$ are proprietatea lui Darboux, deci ia orice valoare dintre $m$ și $M$: există $c\in [a,b]$ cu $f(c)=\mu$, adică ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$. (Cu teorema lui Lagrange aplicată unei primitive se obține chiar $c\in (a,b)$.)

Interpretare geometrică. Pentru $f\ge 0$, aria subgraficului este egală cu aria unui dreptunghi cu baza $[a,b]$ și înălțimea $f(c)$: ce „depășește” graficul deasupra dreptunghiului compensează exact ce lipsește sub el.

Teorema de existență a primitivelor

Teoremă. Fie $f:I\to \mathbb{R}$ continuă pe intervalul $I$ și $a\in I$. Funcția

$$F:I\to \mathbb{R},F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

este derivabilă și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Deci orice funcție continuă pe un interval are primitive, iar $F$ este primitiva care se anulează în $a$.

De ce? Pentru $x\ne x_0$, din aditivitate și teorema de medie, $F(x)-F(x_0)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt=f(c_x)(x-x_0)$, cu $c_x$ între $x_0$ și $x$. Atunci $\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(c_x)\to f(x_0)$ când $x\to x_0$, pentru că $c_x\to x_0$ și $f$ este continuă.

Consecință (derivarea unei integrale cu limita variabilă). Dacă $u$ este derivabilă, din regula de derivare a funcțiilor compuse:

$${({\int }_a^{u(x)}f(t)dt)}^{\prime }=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x).$$

De reținut

• $f$ continuă pe $[a,b]$ $\Rightarrow$ există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$; $c$ nu este neapărat unic.
• $m\le f\le M$ $\Rightarrow$ $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$ — util când nu poți calcula integrala.
• ${({\int }_a^{x}f(t)dt)}^{\prime }=f(x)$ pentru $f$ continuă; cu limita $u(x)$, înmulțești cu $u^{\prime }(x)$.
• Pentru funcții discontinue teorema poate fi falsă (vezi „Greșeli frecvente”).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Determină punctul $c$ din teorema de medie pentru $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

Vezi rezolvarea

1. ${\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^3=9$.
2. Cerem $f(c)(3-0)=9$, adică $3c^2=9$, $c^2=3$.
3. Pe $[0,3]$ convine doar $c=\sqrt{3}\approx 1,73$ (figura de mai sus). Valoarea medie este $\mu =f(c)=3$.

Răspuns: $c=\sqrt{3}$

Exemplul 2. Află valoarea medie a funcției $f(x)=\sin x$ pe $[0,\pi ]$ și punctele $c$ în care este atinsă.

Vezi rezolvarea

1. ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=1+1=2$, deci $\mu =\frac{2}{\pi }\approx 0,64$.
2. $\sin c=\frac{2}{\pi }$, cu $c\in [0,\pi ]$: $c_1=\arcsin \frac{2}{\pi }\approx 0,69$ și $c_2=\pi -\arcsin \frac{2}{\pi }\approx 2,45$.
3. Sunt două puncte: teorema garantează existența lui $c$, nu unicitatea.

Răspuns: $\mu =\frac{2}{\pi }$, atinsă în $c=\arcsin \frac{2}{\pi }$ și $c=\pi -\arcsin \frac{2}{\pi }$

Exemplul 3. Arată că $1\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e$.

Vezi rezolvarea

1. Funcția $e^{x^2}$ nu are o primitivă exprimabilă prin funcții elementare, deci nu calculăm integrala, ci o încadrăm.
2. Pentru $x\in [0,1]$: $0\le x^2\le 1$, iar exponențiala e crescătoare, deci $1=e^0\le e^{x^2}\le e^1=e$.
3. Din inegalitatea de medie, cu $b-a=1$: $1\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e$.

Răspuns: inegalitatea este adevărată (numeric, integrala este $\approx \mathrm{1,462}7$).

Exemplul 4. Calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_n^{n+1}\frac{\sin x}{x}dx$.

Vezi rezolvarea

1. $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ este continuă pe $[n,n+1]$, $n\ge 1$. Din teorema de medie, există $c_n\in [n,n+1]$ cu ${\int }_n^{n+1}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\sin c_n}{c_n}\cdot 1$.
2. $\left|\frac{\sin c_n}{c_n}\right|\le \frac{1}{c_n}\le \frac{1}{n}\to 0$.
3. Din criteriul cleștelui, limita este 0.

Răspuns: 0

Exemplul 5. Fie $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}dt$. Calculează $G^{\prime }(x)$ și arată că $G(x)\ge 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Vezi rezolvarea

1. $f(t)=\sqrt{1+t^3}$ este continuă pe $[0,+\mathrm{\infty })$, iar $x^2\ge 0$. Cu $u(x)=x^2$: $G^{\prime }(x)=f(x^2)\cdot 2x=2x\sqrt{1+x^6}$.
2. $G^{\prime }(x)<0$ pentru $x<0$ și $G^{\prime }(x)>0$ pentru $x>0$: $G$ este descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$ și crescătoare pe $[0,+\mathrm{\infty })$.
3. Minimul este $G(0)={\int }_0^0\dots =0$, deci $G(x)\ge 0$ pentru orice $x$.

Răspuns: $G^{\prime }(x)=2x\sqrt{1+x^6}$; $G$ are minimul 0 în $x=0$

Exemplul 6 (nivel Bacalaureat). Calculează $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^3}{\int }_0^x\sin \left(t^2\right)dt$.

Vezi rezolvarea

1. $F(x)={\int }_0^x\sin (t^2)dt$ este derivabilă (integrandul e continuu), $F(0)=0$ și $F^{\prime }(x)=\sin (x^2)$.
2. Limita este de tipul $\frac{0}{0}$; cu regula lui l'Hôpital: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{F(x)}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x^2)}{3x^2}$.
3. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x^2)}{x^2}=1$, deci limita este $\frac{1}{3}$.

Răspuns: $\frac{1}{3}$

Greșeli frecvente

• Aplici teorema unei funcții discontinue: pentru $f(x)=0$ pe $[0,1)$ și $f(x)=1$ pe $[1,2]$ (monotonă, deci integrabilă), ${\int }_0^{2}f=1$ și $\mu =\frac{1}{2}$, dar $f$ nu ia niciodată valoarea $\frac{1}{2}$.
• Crezi că $c$ e unic: în exemplul 2 sunt două puncte. Teorema dă doar existența.
• Uiți factorul $u^{\prime }(x)$: ${({\int }_0^{x^2}f(t)dt)}^{\prime }=2xf(x^2)$, nu $f(x^2)$.
• Confunzi ${\int }_a^{x}f(t)dt$ cu „primitiva” în general: este o primitivă, anume cea care se anulează în $a$; celelalte diferă de ea printr-o constantă.

Verifică-te

Exersează

• Teoria integralei definite (proprietăți, Leibniz–Newton): integrale definite; lecția anterioară: sume Riemann și funcții integrabile.
• Fișă de lucru: integrala definită, clasa a 12-a și integrale — exerciții rezolvate.
• La Bacalaureat: Bac M1 2024, sesiunea august, Subiectul al III-lea, 2.c (limita $\frac{1}{x^3}{\int }_0^x\dots$, unde se folosește că $F(x)={\int }_0^x\dots dt$ e derivabilă — teorema de existență a primitivelor, rezolvat aici) și Bac M1 2021, sesiunea iunie, Subiectul al III-lea, 2.c (încadrarea integrandului și inegalitatea de medie dau $lim{I}_n=0$, rezolvat aici).
• Toate subiectele: integrale la Bacalaureat — subiecte rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema de medie pentru integrale? Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, există un punct $c\in [a,b]$ astfel încât ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$. Geometric, aria de sub grafic este egală cu aria unui dreptunghi cu baza $[a,b]$ și înălțimea $f(c)$.

Ce este valoarea medie a unei funcții? Este numărul $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$. Pentru o funcție continuă, teorema de medie arată că această valoare este luată efectiv de funcție într-un punct al intervalului.

Cum se derivează o integrală cu limita de sus variabilă? Pentru $f$ continuă, ${({\int }_a^{x}f(t)dt)}^{\prime }=f(x)$. Dacă limita de sus este $u(x)$, rezultatul este $f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$.