Sume Riemann. Funcții integrabile — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli cum se definește integrala definită: aproximezi aria de sub grafic cu dreptunghiuri, obții o sumă Riemann, iar integrala este limita acestor sume când diviziunea devine tot mai fină. Definiția explică proprietățile integralei și permite calculul unor limite de sume cu integrala. Lecția este în programa M1; la M2 integrala se definește direct prin formula Leibniz–Newton, iar sumele Riemann nu se studiază.

Teorie

Problema ariei

Fie $f:[a,b]\to [0,+\mathrm{\infty })$ o funcție continuă. Vrem aria subgraficului ${\mathrm{\Gamma }}_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$. Împărțim $[a,b]$ în intervale mici, pe fiecare luăm un dreptunghi cu înălțimea egală cu valoarea funcției într-un punct al intervalului și adunăm ariile. Cu cât intervalele sunt mai mici, cu atât suma este mai aproape de arie.

Diviziuni, normă, puncte intermediare

• O diviziune a intervalului $[a,b]$ este un sistem de puncte $\mathrm{\Delta }=(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ cu $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.
• Norma diviziunii este lungimea celui mai mare subinterval: $\Vert \mathrm{\Delta }\Vert =\underset{1\le i\le n}{max}(x_i-x_{i-1})$.
• Un sistem de puncte intermediare asociat lui $\mathrm{\Delta }$ este $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ cu ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$ pentru fiecare $i$.
• Suma Riemann a funcției $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, asociată diviziunii $\mathrm{\Delta }$ și punctelor $\xi$, este $${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}).$$

Interpretare geometrică: dacă $f\ge 0$, ${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}(f,\xi )$ este suma ariilor dreptunghiurilor cu bazele $[x_{i-1},x_i]$ și înălțimile $f({\xi }_i)$ (figura de mai sus).

Funcție integrabilă

Definiție. Funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă (Riemann) pe $[a,b]$ dacă există un număr real $I$ cu proprietatea: pentru orice șir de diviziuni $({\mathrm{\Delta }}_n)$ ale lui $[a,b]$ cu $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert {\mathrm{\Delta }}_n\Vert =0$ și pentru orice alegere a punctelor intermediare ${\xi }^{(n)}$, avem $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\sigma }_{{\mathrm{\Delta }}_n}(f,{\xi }^{(n)})=I$.

Numărul $I$ este unic și se numește integrala definită a lui $f$ pe $[a,b]$: $I={\int }_a^{b}f(x)dx$. Variabila $x$ este „mută”: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$. Dacă $f\ge 0$ este continuă, integrala este chiar aria subgraficului.

Exemplu imediat: pentru $f(x)=k$ (constantă), orice sumă Riemann este $\sum k(x_i-x_{i-1})=k(b-a)$, deci $f$ este integrabilă și ${\int }_a^{b}kdx=k(b-a)$.

Rezultate importante (fără demonstrație)

• Orice funcție integrabilă este mărginită. De exemplu $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x>0$, $f(0)=0$, nu este integrabilă, pentru că nu e mărginită.
• Orice funcție continuă pe $[a,b]$ este integrabilă (vezi lecția despre teorema de medie).
• Orice funcție monotonă pe $[a,b]$ este integrabilă, chiar dacă are salturi.
• Dacă modifici valorile unei funcții integrabile într-un număr finit de puncte, ea rămâne integrabilă și integrala nu se schimbă.
• Formula Leibniz–Newton: dacă $f$ este integrabilă și are o primitivă $F$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Proprietățile integralei (liniaritate, monotonie, aditivitate la interval) se demonstrează tot cu sume Riemann.

Diviziunea echidistantă — sume Riemann pentru limite

Pentru $x_i=a+i\cdot \frac{b-a}{n}$, $i=0,\dots ,n$, toate subintervalele au lungimea $\frac{b-a}{n}$, deci $\Vert {\mathrm{\Delta }}_n\Vert =\frac{b-a}{n}\to 0$. Dacă $f$ e integrabilă (de exemplu continuă) și alegi ${\xi }_i=x_i$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{n}\sum _{i=1}^{n}f(a+i\frac{b-a}{n})={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

În particular, pe $[0,1]$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$$

De ce ajunge un singur șir de diviziuni? Pentru o funcție despre care știm deja că e integrabilă, toate șirurile de sume Riemann cu norma tinzând la 0 au aceeași limită, deci putem alege diviziunea cea mai comodă. Pentru a demonstra că o funcție nu e integrabilă, e suficient să găsești două alegeri cu limite diferite.

De reținut

• ${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}(f,\xi )=\sum f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$; $\Vert \mathrm{\Delta }\Vert$ = cel mai lung subinterval.
• Integrabilă = toate sumele Riemann au aceeași limită când $\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0$; limita este ${\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Continuă $\Rightarrow$ integrabilă; monotonă $\Rightarrow$ integrabilă; integrabilă $\Rightarrow$ mărginită.
• Pentru limite: recunoaște $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ și înlocuiește cu ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, diviziunea $\mathrm{\Delta }=(0;0,5;1;1,5;2)$ și punctele intermediare luate la mijlocul subintervalelor, calculează $\Vert \mathrm{\Delta }\Vert$ și suma Riemann ${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}(f,\xi )$.

Vezi rezolvarea

1. Toate subintervalele au lungimea $0,5$, deci $\Vert \mathrm{\Delta }\Vert =0,5$.
2. Mijloacele sunt $\xi =(0,25;0,75;1,25;1,75)$, cu $f({\xi }_i)=\mathrm{0,062}5;\mathrm{0,562}5;\mathrm{1,562}5;\mathrm{3,062}5$.
3. ${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}(f,\xi )=0,5(\mathrm{0,062}5+\mathrm{0,562}5+\mathrm{1,562}5+\mathrm{3,062}5)=0,5\cdot 5,25=\mathrm{2,625}$.
4. Comparație: ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}\approx \mathrm{2,667}$; suma aproximează deja bine integrala (sunt dreptunghiurile din figura de sus).

Răspuns: $\Vert \mathrm{\Delta }\Vert =0,5$, ${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}(f,\xi )=\mathrm{2,625}=\frac{21}{8}$

Exemplul 2. Calculează ${\int }_1^3(2x+1)dx$ folosind definiția, cu diviziuni echidistante, apoi verifică prin formula Leibniz–Newton.

Vezi rezolvarea

1. $f$ este continuă, deci integrabilă; ajunge un șir convenabil de diviziuni. Luăm $x_i=1+\frac{2i}{n}$, ${\xi }_i=x_i$, lungimea fiecărui subinterval $\frac{2}{n}$.
2. ${\sigma }_n=\sum _{i=1}^n(2(1+\frac{2i}{n})+1)\frac{2}{n}=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n(3+\frac{4i}{n})=\frac{2}{n}(3n+\frac{4}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2})$.
3. ${\sigma }_n=6+\frac{4(n+1)}{n}=10+\frac{4}{n}\to 10$.
4. Verificare: ${\int }_1^3(2x+1)dx=(x^2+x){|}_1^3=12-2=10$.

Răspuns: ${\int }_1^3(2x+1)dx=10$

Exemplul 3. Arată, cu sume Riemann, că ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$. Se știe că $1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Vezi rezolvarea

1. $f(x)=x^2$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă. Diviziunea echidistantă: $x_k=\frac{k}{n}$, ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, lungimi $\frac{1}{n}$.
2. ${\sigma }_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$.
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Răspuns: ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$, același rezultat ca $\frac{x^3}{3}{|}_0^1$.

Exemplul 4. Arată că funcția lui Dirichlet $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1$ dacă $x\in \mathbb{Q}$ și $f(x)=0$ dacă $x\notin \mathbb{Q}$, nu este integrabilă, deși este mărginită.

Vezi rezolvarea

1. Fie $({\mathrm{\Delta }}_n)$ un șir oarecare de diviziuni cu $\Vert {\mathrm{\Delta }}_n\Vert \to 0$. Orice subinterval $[x_{i-1},x_i]$ conține atât numere raționale, cât și iraționale.
2. Dacă alegem toate ${\xi }_i$ raționale: ${\sigma }_{{\mathrm{\Delta }}_n}=\sum 1\cdot (x_i-x_{i-1})=1$, deci limita este 1.
3. Dacă alegem toate ${\xi }_i$ iraționale: ${\sigma }_{{\mathrm{\Delta }}_n}=\sum 0\cdot (x_i-x_{i-1})=0$, deci limita este 0.
4. Limitele diferă, deci nu există un număr $I$ ca în definiție.

Răspuns: $f$ nu este integrabilă pe $[0,1]$ — mărginirea este necesară, dar nu suficientă.

Exemplul 5. Calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n})$.

Vezi rezolvarea

1. Scoți $\frac{1}{n}$ factor: $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, deci suma este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ cu $f(x)=\frac{1}{1+x}$.
2. Aceasta este suma Riemann a funcției continue $f$ pe $[0,1]$, pentru diviziunea echidistantă și ${\xi }_k=\frac{k}{n}$.
3. Limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2$.

Răspuns: $\ln 2$ (pentru $n=1000$ suma este deja $\approx \mathrm{0,692}9$, iar $\ln 2\approx \mathrm{0,693}1$).

Exemplul 6. Calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$.

Vezi rezolvarea

1. Împarți numărătorul și numitorul prin $n^2$: $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$.
2. Suma este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ pentru $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, continuă pe $[0,1]$.
3. Limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$.

Răspuns: $\frac{\pi }{4}$

Greșeli frecvente

• Confunzi „$n\to \mathrm{\infty }$” cu „$\Vert \mathrm{\Delta }\Vert \to 0$”: poți avea tot mai multe puncte, dar un subinterval care rămâne lung. Definiția cere ca norma să tindă la 0; la diviziunea echidistantă cele două coincid.
• Crezi că orice funcție mărginită e integrabilă: funcția lui Dirichlet (exemplul 4) e mărginită și nu e integrabilă.
• Uiți factorul $\frac{b-a}{n}$ sau intervalul greșit: $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ corespunde intervalului $[0,1]$; pentru $[a,b]$ lungimea pasului este $\frac{b-a}{n}$.
• Te încurcă indicii: suma de la $k=0$ la $n-1$ (capetele din stânga) și cea de la $k=1$ la $n$ (capetele din dreapta) au aceeași limită pentru o funcție integrabilă.

Verifică-te

Exersează

• Proprietățile integralei și formula Leibniz–Newton: integrale definite — teorie și formule; continuarea lecției: teorema de medie.
• Fișă de lucru: integrala definită, clasa a 12-a și integrale — exerciții rezolvate pas cu pas.
• La Bacalaureat: în subiectele M1 din 2020–2026 de pe site sumele Riemann nu apar ca item separat; definiția stă însă în spatele proprietății de monotonie folosite des la III.2.c, de exemplu Bac M1 2021, sesiunea iunie, Subiectul al III-lea, 2.c (încadrarea $0\le I_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n(b-a)$, rezolvat aici). Toate problemele: integrale la Bacalaureat.
• Verifică rezultatele: calculator de integrale.

Întrebări frecvente

Ce este o sumă Riemann? Este suma $\sum f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$, în care $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$ este o diviziune a intervalului, iar ${\xi }_i$ este un punct din fiecare subinterval. Pentru $f\ge 0$ este suma ariilor unor dreptunghiuri care aproximează aria de sub grafic.

Când este o funcție integrabilă? Când toate sumele Riemann au aceeași limită finită pentru orice șir de diviziuni cu norma tinzând la 0, oricum ar fi alese punctele intermediare. Funcțiile continue și funcțiile monotone pe $[a,b]$ sunt integrabile; o funcție nemărginită nu este.

Cum calculez o limită de sumă cu integrala? Scrii termenul general ca $\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, verifici că $f$ este continuă pe $[0,1]$ și înlocuiești limita sumei cu ${\int }_0^{1}f(x)dx$.