Vecinătăți. Dreapta reală încheiată — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți limbajul cu care se definesc limitele: mulțimi mărginite, vecinătăți ale unui punct și ale lui $\pm \mathrm{\infty }$, dreapta reală încheiată $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ și regulile de calcul cu $\pm \mathrm{\infty }$. Toate capitolele de limite de șiruri și de funcții, continuitate și asimptote se sprijină pe aceste noțiuni. Lecția este în programa M1 și în programa M2.

Teorie

Intervale și mulțimi mărginite (recapitulare)

Pentru $a<b$ numere reale: $(a,b)$ este interval deschis, $[a,b]$ interval închis, iar $(a,+\mathrm{\infty })$, $[a,+\mathrm{\infty })$, $(-\mathrm{\infty },a)$, $(-\mathrm{\infty },a]$ sunt intervale nemărginite (vezi intervale de numere reale).

O mulțime $A\subset \mathbb{R}$, nevidă, este mărginită superior dacă există $M\in \mathbb{R}$ cu $x\le M$ pentru orice $x\in A$ ($M$ se numește majorant), mărginită inferior dacă există $m\in \mathbb{R}$ cu $x\ge m$ pentru orice $x\in A$ ($m$ este minorant) și mărginită dacă este mărginită superior și inferior, adică $A\subset [m,M]$. Cel mai mic majorant se numește marginea superioară, $supA$, iar cel mai mare minorant marginea inferioară, $infA$; ele pot să aparțină sau nu mulțimii.

Vecinătăți ale unui punct

Definiție. Fie $x_0\in \mathbb{R}$. O mulțime $V\subset \mathbb{R}$ se numește vecinătate a lui $x_0$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ astfel încât $x_0\in (a,b)\subset V$.

Echivalent, $V$ este vecinătate a lui $x_0$ dacă există $\epsilon >0$ cu $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subset V$: o vecinătate conține „puțin din toate părțile” lui $x_0$. (Dacă $x_0\in (a,b)$, alegem $\epsilon =min(x_0-a,b-x_0)$.) Mulțimea vecinătăților lui $x_0$ se notează $\mathcal{V}(x_0)$.

Exemple: $(1,3)$, $[0,5]$ și $\mathbb{R}$ sunt vecinătăți ale lui 2. Mulțimea $[2,5)$ nu este vecinătate a lui 2: orice interval deschis care îl conține pe 2 conține și numere mai mici decât 2, care nu sunt în $[2,5)$. Nici $\mathbb{N}$ sau $\mathbb{Z}$ nu sunt vecinătăți ale vreunui punct.

Dreapta reală încheiată

Adăugăm la $\mathbb{R}$ două simboluri, $-\mathrm{\infty }$ și $+\mathrm{\infty }$, și obținem dreapta reală încheiată $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, cu ordinea $-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Simbolurile $\pm \mathrm{\infty }$ nu sunt numere reale; le folosim ca să descriem comportarea „spre infinit” a șirurilor și a funcțiilor.

Vecinătăți ale lui $\pm \mathrm{\infty }$. $V$ este vecinătate a lui $+\mathrm{\infty }$ dacă există $a\in \mathbb{R}$ cu $(a,+\mathrm{\infty })\subset V$; $V$ este vecinătate a lui $-\mathrm{\infty }$ dacă există $a\in \mathbb{R}$ cu $(-\mathrm{\infty },a)\subset V$.

Proprietăți ale vecinătăților (pentru $x_0\in \bar{\mathbb{R}}$):

• orice vecinătate a lui $x_0$ îl conține pe $x_0$ (când $x_0$ este real);
• dacă $V\in \mathcal{V}(x_0)$ și $V\subset U$, atunci $U\in \mathcal{V}(x_0)$;
• intersecția a două vecinătăți ale lui $x_0$ este tot o vecinătate a lui $x_0$;
• două puncte distincte $x\ne y$ din $\bar{\mathbb{R}}$ au vecinătăți disjuncte. De exemplu, pentru $x<y$ reale, cu $\epsilon =\frac{y-x}{2}$, intervalele $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ și $(y-\epsilon ,y+\epsilon )$ nu au puncte comune.

Ultima proprietate explică de ce limita unui șir sau a unei funcții, dacă există, este unică.

Operații cu $\pm \mathrm{\infty }$

Pentru $a\in \mathbb{R}$ se acceptă convențiile (le vei justifica la operațiile cu limite):

$$\begin{array}{rl}& a+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty },a+(-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty },(+\mathrm{\infty })+(+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty },(-\mathrm{\infty })+(-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty },\\ & a\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }\text{ pentru }a>0,a\cdot (+\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }\text{ pentru }a<0,(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty },\\ & \frac{a}{\pm \mathrm{\infty }}=0,(+\mathrm{\infty }{)}^n=+\mathrm{\infty },n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$

Nu se definesc (sunt cazuri de nedeterminare): $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\frac{0}{0}$, $1^{\mathrm{\infty }}$, ${\mathrm{\infty }}^0$, $0^0$. În aceste cazuri rezultatul depinde de expresia concretă și se calculează prin transformări.

De ce contează

În clasa a XI-a limita unui șir se definește cu vecinătăți: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l$ dacă orice vecinătate a lui $l$ conține toți termenii șirului, cu excepția unui număr finit dintre ei. Aceeași idee, cu vecinătăți ale lui $x_0$ și ale lui $l$, definește limita unei funcții într-un punct.

De reținut

• $V\in \mathcal{V}(x_0)⟺$ există $\epsilon >0$ cu $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subset V$.
• Vecinătate a lui $+\mathrm{\infty }$: conține un interval $(a,+\mathrm{\infty })$; a lui $-\mathrm{\infty }$: conține un interval $(-\mathrm{\infty },a)$.
• Un interval închis la capătul $x_0$ (de exemplu $[x_0,b)$) nu este vecinătate a lui $x_0$.
• $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$; nedeterminări: $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\cdot \mathrm{\infty },\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\frac{0}{0},1^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\infty }}^0,0^0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Care dintre mulțimile următoare sunt vecinătăți ale lui 2? a) $(1,9;2,1)$; b) $[2,5)$; c) $(0,4]\cup \{7\}$; d) $\mathbb{N}$; e) $(-\mathrm{\infty },3)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Da: este chiar un interval deschis care îl conține pe 2 ($\epsilon =0,1$).
2. b) Nu: orice interval $(2-\epsilon ,2+\epsilon )$ conține numere mai mici decât 2, care nu sunt în mulțime.
3. c) Da: conține $(1,3)\ni 2$; punctul izolat 7 nu contează.
4. d) Nu: $\mathbb{N}$ nu conține niciun interval deschis.
5. e) Da: conține $(1,3)$.

Răspuns: a), c), e)

Exemplul 2. Stabilește dacă: a) $(3,+\mathrm{\infty })$ este vecinătate a lui $+\mathrm{\infty }$; b) $(3,+\mathrm{\infty })$ este vecinătate a lui 5; c) $[0,+\mathrm{\infty })$ este vecinătate a lui 0; d) $\mathbb{R}\setminus [-1,1]$ este vecinătate a lui $-\mathrm{\infty }$.

Vezi rezolvarea

1. a) Da, prin definiție ($a=3$).
2. b) Da: $(4,6)\subset (3,+\mathrm{\infty })$ și $5\in (4,6)$.
3. c) Nu: orice interval în jurul lui 0 conține numere negative.
4. d) Da: $\mathbb{R}\setminus [-1,1]=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ conține $(-\mathrm{\infty },-1)$.

Răspuns: a) da; b) da; c) nu; d) da

Exemplul 3. Arată că mulțimea $A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}\right|n\in \mathbb{N}\}$ este mărginită și determină $infA$ și $supA$.

Vezi rezolvarea

1. Scriem $\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}$. Cum $0<\frac{1}{n+1}\le 1$, avem $1\le \frac{2n+1}{n+1}<2$, deci $A\subset [1,2]$: mulțimea este mărginită.
2. Pentru $n=0$ obținem 1, deci 1 este cel mai mic element: $infA=minA=1$.
3. 2 este majorant. Niciun număr $M<2$ nu e majorant: pentru $n$ suficient de mare, $\frac{1}{n+1}<2-M$, adică $2-\frac{1}{n+1}>M$. Deci $supA=2$, dar $2\notin A$.

Răspuns: $A\subset [1,2)$; $infA=minA=1$, $supA=2$ (neatins)

Exemplul 4. Fie $V_1=(-1,4)$ și $V_2=[1,6]\cup \{8\}$. Este $V_1\cap V_2$ vecinătate a lui 2? Dar a lui 1?

Vezi rezolvarea

1. $V_1\cap V_2=[1,4)$.
2. Pentru 2: $(1,3)\subset [1,4)$ și $2\in (1,3)$, deci da. (Era de așteptat: și $V_1$, și $V_2$ sunt vecinătăți ale lui 2.)
3. Pentru 1: orice interval $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$ conține numere mai mici decât 1, care nu sunt în $[1,4)$, deci nu. ($V_2$ nu este vecinătate a lui 1.)

Răspuns: vecinătate a lui 2 — da; a lui 1 — nu

Exemplul 5. Găsește vecinătăți disjuncte pentru: a) punctele 1 și 3; b) punctul 5 și $+\mathrm{\infty }$.

Vezi rezolvarea

1. a) Distanța dintre puncte este 2; luăm $\epsilon =1$: $V=(0,2)\in \mathcal{V}(1)$, $U=(2,4)\in \mathcal{V}(3)$, iar $V\cap U=\varnothing$.
2. b) $V=(4,6)\in \mathcal{V}(5)$ și $U=(6,+\mathrm{\infty })\in \mathcal{V}(+\mathrm{\infty })$, disjuncte.

Răspuns: de exemplu $(0,2)$ și $(2,4)$; $(4,6)$ și $(6,+\mathrm{\infty })$

Exemplul 6. Calculează în $\bar{\mathbb{R}}$, acolo unde are sens: a) $3+(+\mathrm{\infty })$; b) $(-2)\cdot (+\mathrm{\infty })$; c) $\frac{5}{-\mathrm{\infty }}$; d) $(-\mathrm{\infty })+(-\mathrm{\infty })$; e) $(+\mathrm{\infty })-(+\mathrm{\infty })$.

Vezi rezolvarea

1. a) $+\mathrm{\infty }$; b) $-\mathrm{\infty }$ (număr negativ înmulțit cu $+\mathrm{\infty }$); c) $0$; d) $-\mathrm{\infty }$.
2. e) Nu se definește: $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ este caz de nedeterminare (de exemplu $(n+1)-n\to 1$, dar $2n-n\to +\mathrm{\infty }$).

Răspuns: a) $+\mathrm{\infty }$; b) $-\mathrm{\infty }$; c) 0; d) $-\mathrm{\infty }$; e) nedeterminare

Greșeli frecvente

• Iei un interval închis la capăt drept vecinătate a capătului: $[x_0,b)$ nu este vecinătate a lui $x_0$, pentru că nu conține numere din stânga lui $x_0$.
• Tratezi $+\mathrm{\infty }$ ca pe un număr: $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }\ne 0$ și $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\ne 1$; sunt nedeterminări, iar rezultatul depinde de expresie.
• Confunzi $supA$ cu $maxA$: marginea superioară poate să nu aparțină mulțimii (în exemplul 3, $supA=2\notin A$); dacă îi aparține, este și maximul.
• Scrii $a\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ pentru orice $a$: semnul contează ($-3\cdot (+\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$), iar $0\cdot \mathrm{\infty }$ este nedeterminare.

Verifică-te

Exersează

• Recapitulare: intervale de numere reale.
• Unde folosești vecinătățile: șiruri și limite de șiruri, limite de funcții; exersează cu fișa de lucru: limite de șiruri, clasa a 11-a.
• La Bacalaureat vecinătățile și dreapta încheiată nu apar ca item separat; ele sunt limbajul din spatele limitelor și asimptotelor de la Subiectul al III-lea: limite la Bacalaureat — subiecte rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce este o vecinătate a unui punct? O mulțime care conține un interval deschis în jurul punctului, adică un interval $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ cu $\epsilon >0$. De exemplu, $(1,3)$ este vecinătate a lui 2, dar $[2,3)$ nu este.

Ce este dreapta reală încheiată? Este mulțimea $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, în care $-\mathrm{\infty }$ este mai mic și $+\mathrm{\infty }$ mai mare decât orice număr real. O folosești la limite, unde rezultatul poate fi $\pm \mathrm{\infty }$.

Care sunt cazurile de nedeterminare? $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\frac{0}{0}$, $1^{\mathrm{\infty }}$, ${\mathrm{\infty }}^0$ și $0^0$. În aceste cazuri nu există o regulă fixă; limita se află prin transformarea expresiei.