Ecuații de forma a sin x + b cos x = c — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi ecuațiile de forma $a\sin x+b\cos x=c$, cu $a,b,c$ nenule: metoda unghiului auxiliar (aduci membrul stâng la forma $R\sin (x+\phi )$) și substituția $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$, plus condiția ca ecuația să aibă soluții. Tipul este nou în programa de clasa a IX-a (mate-info) și nu face parte din programa actuală de Bacalaureat, dar apare la teze și olimpiade.

Teorie

Metoda unghiului auxiliar

Fie $R=\sqrt{a^2+b^2}>0$. Punctul $(\frac{a}{R},\frac{b}{R})$ este pe cercul trigonometric, pentru că ${\left(\frac{a}{R}\right)}^2+{\left(\frac{b}{R}\right)}^2=1$. Deci există un unghi $\phi$ cu

$$\cos \phi =\frac{a}{R},\sin \phi =\frac{b}{R}.$$

Atunci, cu formula sinusului unei sume,

$$a\sin x+b\cos x=R(\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi )=R\sin (x+\phi ).$$

Ecuația devine $\sin (x+\phi )=\frac{c}{R}$, o ecuație fundamentală. Ea are soluții dacă și numai dacă $\left|\frac{c}{R}\right|\le 1$, adică

$$c^2\le a^2+b^2,$$

iar atunci $x=-\phi +(-1{)}^k\arcsin \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Ca bonus, aflăm valorile extreme: $-\sqrt{a^2+b^2}\le a\sin x+b\cos x\le \sqrt{a^2+b^2}$.

Cazuri frecvente (unghiuri remarcabile):

$$\begin{array}{rl}\sin x+\cos x& =\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})\\ \sqrt{3}\sin x+\cos x& =2\sin (x+\frac{\pi }{6})\\ \sin x+\sqrt{3}\cos x& =2\sin (x+\frac{\pi }{3})\end{array}$$

Variantă echivalentă: împarți la $a$, scrii $\frac{b}{a}=\mathrm{tg}\alpha$ și înmulțești cu $\cos \alpha$: $\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\frac{c}{a}\cos \alpha$, adică $\sin (x+\alpha )=\frac{c}{a}\cos \alpha$.

Substituția t = tg(x/2)

Pentru $x\ne \pi +2k\pi$ există $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$, iar (formulele cu tangenta unghiului pe jumătate)

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

Ecuația devine una de gradul al II-lea (sau I) în $t$: $2at+b(1-t^2)$ $=c(1+t^2)$. Atenție: numerele $x=\pi +2k\pi$ au fost excluse, deci le verifici separat: pentru ele $\sin x=0$, $\cos x=-1$, iar ecuația devine $-b=c$.

De reținut

• Ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ are soluții $⟺c^2\le a^2+b^2$.
• Împarte la $\sqrt{a^2+b^2}$ și recunoaște $\cos \phi$, $\sin \phi$.
• Cu $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$, verifică separat $x=\pi +2k\pi$.
• Nu ridica la pătrat: apar soluții străine (vezi greșelile frecvente).
• Dacă ar fi $c=0$ (caz exclus de programă, dar ușor): $a\sin x=-b\cos x⟺\mathrm{tg}x=-\frac{b}{a}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x+\cos x=1$. Care sunt soluțiile din $[0,2\pi )$?

Vezi rezolvarea

1. $R=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$.
2. Ecuația: $\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ sau $x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$.
3. Rezultă $x=2k\pi$ sau $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Răspuns: $S=\{2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$; în $[0,2\pi )$: $0$ și $\frac{\pi }{2}$

Exemplul 2. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$.

Vezi rezolvarea

1. $R=\sqrt{3+1}=2$; împărțim la 2: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$, $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$, deci $\sin (x+\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$.
3. $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$.

Răspuns: $x=2k\pi$ sau $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}$.

Vezi rezolvarea

1. $R=\sqrt{1+3}=2$; cum $c^2=2\le 4$, ecuația are soluții.
2. $\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$ $=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}$ $=\sin (x-\frac{\pi }{3})$, deci $\sin (x-\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ sau $x-\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$.

Răspuns: $x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi$ sau $x=\frac{13\pi }{12}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$

Exemplul 4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $3\sin x+4\cos x=5$.

Vezi rezolvarea

1. $R=\sqrt{9+16}=5$, deci $\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x=1$.
2. Alegem $\phi \in (0,\frac{\pi }{2})$ cu $\cos \phi =\frac{3}{5}$, $\sin \phi =\frac{4}{5}$, adică $\phi =\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$. Ecuația: $\sin (x+\phi )=1$.
3. $x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+2k\pi$.
4. Cum $\mathrm{arctg}y+\mathrm{arcctg}y=\frac{\pi }{2}$ și $\mathrm{arcctg}\frac{4}{3}=\mathrm{arctg}\frac{3}{4}$ (unghiuri ascuțite), $\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{4}{3}=\mathrm{arctg}\frac{3}{4}$.

Răspuns: $x=\mathrm{arctg}\frac{3}{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (5 este valoarea maximă a expresiei, atinsă o singură dată pe fiecare perioadă)

Exemplul 5 (substituția t = tg(x/2)). Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2\sin x+\cos x=1$.

Vezi rezolvarea

1. Pentru $x=\pi +2k\pi$: $2\cdot 0+(-1)=-1\ne 1$, deci acestea nu sunt soluții.
2. Pentru $x\ne \pi +2k\pi$, cu $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$: $\frac{4t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=1$ $⟺4t+1-t^2=1+t^2$ $⟺2t^2-4t=0$.
3. $t=0$ sau $t=2$. Din $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=0$: $\frac{x}{2}=k\pi$, $x=2k\pi$. Din $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=2$: $\frac{x}{2}=\mathrm{arctg}2+k\pi$, $x=2\mathrm{arctg}2+2k\pi$.

Răspuns: $x=2k\pi$ sau $x=2\mathrm{arctg}2+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$

Exemplul 6 (parametru). a) Arată că ecuația $3\sin x+4\cos x=6$ nu are soluții. b) Determină numerele reale nenule $m$ pentru care ecuația $\sin x+m\cos x=2$ are soluții.

Vezi rezolvarea

1. a) $c^2=36$ $>25=a^2+b^2$; altfel spus, $3\sin x+4\cos x$ $=5\sin (x+\phi )\le 5<6$.
2. b) Condiția este $2^2\le 1+m^2$ $⟺m^2\ge 3$ $⟺|m|\ge \sqrt{3}$.

Răspuns: a) nu are soluții; b) $m\in (-\mathrm{\infty },-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3},\mathrm{\infty })$

Greșeli frecvente

• Ridici la pătrat. Din $\sin x+\cos x=1$ ar rezulta $1+2\sin x\cos x=1$, adică $\sin 2x=0$, $x=\frac{k\pi }{2}$; dar $x=\pi$ dă $0-1=-1\ne 1$. Ridicarea la pătrat adaugă soluțiile ecuației $\sin x+\cos x=-1$.
• Pierzi soluțiile $x=\pi +2k\pi$ la substituția $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$. De exemplu, la $\sin x-\cos x=1$ chiar $x=\pi$ este soluție ($0-(-1)=1$).
• Alegi $\phi$ în cadranul greșit. $\phi$ trebuie să aibă și $\cos \phi =\frac{a}{R}$, și $\sin \phi =\frac{b}{R}$; la $\sin x-\sqrt{3}\cos x$ unghiul este $-\frac{\pi }{3}$, nu $\frac{\pi }{3}$.
• Uiți condiția de existență. Înainte de calcule verifică $c^2\le a^2+b^2$: ecuația $5\sin x+12\cos x=14$ nu are soluții, pentru că $14>13$.

Verifică-te

Exersează

• Înainte de această lecție: ecuațiile fundamentale sin x = a, cos x = a și funcțiile trigonometrice inverse (pentru soluții cu arcsin, arctg).
• Formulele trigonometrice (sin(a ± b), tangenta unghiului pe jumătate) și trigonometrie clasa a 9-a — exerciții rezolvate.
• Fișă de lucru: trigonometrie, clasa a 9-a (formule și ecuații trigonometrice).
• Bacalaureat: programa actuală de Bac M1 conține doar ecuațiile $\sin x=a$, $\sin f(x)=\sin g(x)$ și analoagele lor, nu și tipul $a\sin x+b\cos x=c$, deci nu există itemi oficiali pe acest tip. Pentru itemii de trigonometrie: trigonometrie la Bac — subiecte rezolvate.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă ecuația a sin x + b cos x = c? Împarți la $\sqrt{a^2+b^2}$, scrii coeficienții ca $\cos \phi$ și $\sin \phi$ și obții $\sin (x+\phi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, o ecuație fundamentală. Alternativ, folosești substituția $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$.

Când are soluții ecuația a sin x + b cos x = c? Exact atunci când $c^2\le a^2+b^2$, pentru că expresia $a\sin x+b\cos x$ ia toate valorile dintre $-\sqrt{a^2+b^2}$ și $\sqrt{a^2+b^2}$ și numai pe acestea.

De ce nu e bine să ridic ecuația la pătrat? Pentru că ecuația obținută are și soluțiile ecuației $a\sin x+b\cos x=-c$. Dacă totuși ridici la pătrat, trebuie să verifici fiecare familie de soluții în ecuația inițială, ceea ce e mai lung decât metoda unghiului auxiliar.