Funcții trigonometrice inverse clasa a 9-a

Q: Ce înseamnă arcsin x?

x este unghiul (numărul real) din intervalul [-(π)/(2), (π)/(2)] al cărui sinus este x ; există doar pentru x ∈ [-1, 1] . De exemplu, (1)/(2) = (π)/(6) .

Q: De ce arccos are valori în [0, π] și nu în [−π/2, π/2]?

Pentru că pe [-(π)/(2), (π)/(2)] cosinusul nu este injectiv ( (-(π)/(3)) = (π)/(3) ), iar pe [0, π] este strict descrescător și ia toate valorile din [-1, 1] , deci acolo e bijectiv.

În această lecție înveți funcțiile arcsin, arccos, arctg și arcctg: de ce funcțiile trigonometrice trebuie restrânse ca să devină inversabile, ce valori iau, proprietățile lor și cum se folosesc la ecuațiile trigonometrice. În programa nouă lecția este la clasa a IX-a, iar în programa veche (și în programa actuală de Bacalaureat, M1 și M2) la clasa a X-a.

Teorie

De ce trebuie restrânse funcțiile trigonometrice

O funcție are inversă numai dacă este bijectivă. Funcția $\sin : R \to [- 1, 1]$ este surjectivă, dar nu e injectivă: $\sin 0 = \sin π = 0$ . Dacă o restrângem la intervalul $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , pe care este strict crescătoare, ea devine bijectivă de la acest interval la $[- 1, 1]$ . Inversa acestei restricții este funcția arcsinus. La fel procedăm cu celelalte funcții:

Funcția restrânsă	Inversa	Semnificație
$\sin : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1]$	$\arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	$\arcsin y$ = unghiul din $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ al cărui sinus este $y$
$\cos : [0, π] \to [- 1, 1]$	$\arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$	$\arccos y$ = unghiul din $[0, π]$ al cărui cosinus este $y$
$tg : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to R$	$arctg : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	$arctg y$ = unghiul din $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ cu tangenta $y$
$ctg : (0, π) \to R$	$arcctg : R \to (0, π)$	$arcctg y$ = unghiul din $(0, π)$ cu cotangenta $y$

Așadar, de exemplu, $\arcsin y = x ⟺ \sin x = y$ și $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ . Ambele condiții contează.

Valori remarcabile

$y$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin y$	$- \frac{π}{2}$	$- \frac{π}{3}$	$- \frac{π}{4}$	$- \frac{π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\arccos y$	$π$	$\frac{5 π}{6}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{6}$	$0$

Pentru tangentă: $arctg 0 = 0$ , $arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{π}{6}$ , $arctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arctg \sqrt{3} = \frac{π}{3}$ ; pentru cotangentă: $arcctg \sqrt{3} = \frac{π}{6}$ , $arcctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arcctg 0 = \frac{π}{2}$ , $arcctg (- 1) = \frac{3 π}{4}$ .

Graficele

Graficul inversei este simetricul graficului funcției restrânse față de prima bisectoare $y = x$ . Arcsinus și arctangenta sunt strict crescătoare; arccosinus și arccotangenta sunt strict descrescătoare.

Proprietăți

$\sin (\arcsin y) = y$ și $\cos (\arccos y) = y$ pentru orice $y \in [- 1, 1]$ ; $tg (arctg y) = y$ , $ctg (arcctg y) = y$ pentru orice $y \in R$ .
$\arcsin (\sin x) = x$ numai pentru $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ; $\arccos (\cos x) = x$ numai pentru $x \in [0, π]$ .
Imparitate: $\arcsin (- y) = - \arcsin y$ , $arctg (- y) = - arctg y$ .
Pentru arccos și arcctg: $\arccos (- y) = π - \arccos y$ , $arcctg (- y) = π - arcctg y$ .
$\arcsin y + \arccos y = \frac{π}{2}$ pentru $y \in [- 1, 1]$ și $arctg y + arcctg y = \frac{π}{2}$ pentru $y \in R$ .

De ce $\arcsin y + \arccos y = \frac{π}{2}$ ? Fie $x = \arcsin y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ . Atunci $\frac{π}{2} - x \in [0, π]$ și $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x = y$ . Unghiul din $[0, π]$ cu cosinusul $y$ este unic, deci $\arccos y = \frac{π}{2} - x$ . La fel se arată $\arccos (- y) = π - \arccos y$ : dacă $x = \arccos y \in [0, π]$ , atunci $π - x \in [0, π]$ și $\cos (π - x) = - y$ .

Legătura cu ecuațiile trigonometrice

Funcțiile inverse dau o soluție „principală”; celelalte se obțin din periodicitate și simetrii:

\begin{aligned} \sin x = a, a \in [- 1, 1] & ⟺ x \in {(- 1)^{k} \arcsin a + k π ∣ k \in Z} \\ \cos x = a, a \in [- 1, 1] & ⟺ x \in {\pm \arccos a + 2 k π ∣ k \in Z} \\ tg x = a & ⟺ x \in {arctg a + k π ∣ k \in Z} \\ ctg x = a & ⟺ x \in {arcctg a + k π ∣ k \in Z} \end{aligned}

De reținut

arcsin ia valori în $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , arccos în $[0, π]$ , arctg în $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , arcctg în $(0, π)$ .
arcsin și arccos sunt definite doar pe $[- 1, 1]$ ; arctg și arcctg pe tot $R$ .
$\arccos (- y) = π - \arccos y$ , nu $- \arccos y$ .
$\arcsin y + \arccos y$ $= arctg y + arcctg y$ $= \frac{π}{2}$ .
Notația $\sin^{- 1}$ din unele calculatoare înseamnă arcsin, nu $\frac{1}{\sin}$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează $\arcsin \frac{1}{2} + \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + arctg (- \sqrt{3})$ .

Vezi rezolvarea

$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ , pentru că $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ și $\frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .
$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ $= π - \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ .
$arctg (- \sqrt{3}) = - arctg \sqrt{3} = - \frac{π}{3}$ .
Suma: $\frac{π}{6} + \frac{3 π}{4} - \frac{π}{3}$ $= \frac{2 π + 9 π - 4 π}{12} = \frac{7 π}{12}$ .

Răspuns: $\frac{7 π}{12}$

Exemplul 2. Calculează $\sin (\arccos \frac{3}{5})$ și $tg (\arcsin (- \frac{5}{13}))$ .

Vezi rezolvarea

Fie $x = \arccos \frac{3}{5}$ . Atunci $\cos x = \frac{3}{5}$ și $x \in [0, π]$ , deci $\sin x \geq 0$ : $\sin x = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ .
Fie $u = \arcsin (- \frac{5}{13})$ . Atunci $\sin u = - \frac{5}{13}$ și $u \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , deci $\cos u \geq 0$ : $\cos u = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$ .
$tg u = \frac{\sin u}{\cos u} = - \frac{5}{12}$ .

Răspuns: $\frac{4}{5}$ și $- \frac{5}{12}$

Exemplul 3. Calculează $\arcsin (\sin \frac{5 π}{6})$ și $\arccos (\cos \frac{4 π}{3})$ .

Vezi rezolvarea

$\frac{5 π}{6} \notin [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , deci rezultatul nu este $\frac{5 π}{6}$ . Avem $\sin \frac{5 π}{6} = \sin (π - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ , iar $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ .
$\cos \frac{4 π}{3} = \cos (π + \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$ , iar $\arccos (- \frac{1}{2}) = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ .

Răspuns: $\frac{π}{6}$ și $\frac{2 π}{3}$

Exemplul 4. Arată că $arctg 2 + arctg 3 = \frac{3 π}{4}$ .

Vezi rezolvarea

Fie $a = arctg 2$ , $b = arctg 3$ . Cum arctg este strict crescătoare și $2, 3 > 1$ , avem $a, b \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ , deci $a + b \in (\frac{π}{2}, π)$ .
$tg (a + b) = \frac{tg a + tg b}{1 - tg a tg b} = \frac{2 + 3}{1 - 6} = - 1$ .
Singurul unghi din $(\frac{π}{2}, π)$ cu tangenta $- 1$ este $\frac{3 π}{4}$ .

Răspuns: $arctg 2 + arctg 3 = \frac{3 π}{4}$ (intervalul de la pasul 1 este esențial: tangenta $- 1$ o au și $- \frac{π}{4}$ , $\frac{7 π}{4}$ etc.)

Exemplul 5. Determină domeniul maxim de definiție al funcțiilor $f (x) = \arcsin (2 x - 1)$ și $g (x) = \arccos \frac{1}{x}$ .

Vezi rezolvarea

Pentru $f$ : $- 1 \leq 2 x - 1 \leq 1$ $⟺ 0 \leq 2 x \leq 2$ $⟺ x \in [0, 1]$ .
Pentru $g$ : $x \neq 0$ și $- 1 \leq \frac{1}{x} \leq 1 ⟺ | x | \geq 1$ , deci $x \in (- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$ .

Răspuns: $D_{f} = [0, 1]$ , $D_{g} = (- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Exemplul 6. a) Rezolvă ecuația $\arcsin x = \arccos x$ . b) Calculează $\cos (2 \arcsin \frac{1}{3})$ .

Vezi rezolvarea

a) Condiție: $x \in [- 1, 1]$ . Din $\arccos x = \frac{π}{2} - \arcsin x$ , ecuația devine $\arcsin x = \frac{π}{2} - \arcsin x$ , deci $\arcsin x = \frac{π}{4}$ și $x = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
b) Fie $u = \arcsin \frac{1}{3}$ , deci $\sin u = \frac{1}{3}$ . Cu formula unghiului dublu: $\cos 2 u = 1 - 2 \sin^{2} u = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ .

Răspuns: a) $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; b) $\frac{7}{9}$

Greșeli frecvente

Scrii $\arcsin (\sin x) = x$ pentru orice $x$ . Egalitatea e adevărată doar pe $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ; altfel cauți unghiul din acest interval cu același sinus (exemplul 3).
Scrii $\arccos (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{3}$ . Arccos ia valori doar în $[0, π]$ : corect este $π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ .
Calculezi $\arcsin 2$ . Nu există: arcsin și arccos sunt definite doar pe $[- 1, 1]$ .
La $\sin (\arccos a)$ pui semnul greșit. Pentru că $\arccos a \in [0, π]$ , sinusul lui este mereu $\geq 0$ : $\sin (\arccos a) = \sqrt{1 - a^{2}}$ .

Verifică-te

Verifică-te: 4 întrebări

$\arccos (- \frac{1}{2})$ este egal cu:

$- \frac{π}{3}$
$\frac{4 π}{3}$
$\frac{2 π}{3}$

$arctg 1$ este egal cu:

$\frac{π}{4}$
$\frac{5 π}{4}$
$1$

$\arcsin (\sin \frac{3 π}{4})$ este egal cu:

$\frac{3 π}{4}$
$\frac{π}{4}$
$- \frac{π}{4}$

$\arcsin 0, 3 + \arccos 0, 3$ este egal cu:

$\frac{π}{2}$
$π$
$0, 6$

Exersează

Ecuații trigonometrice fundamentale pe cercul trigonometric și trigonometrie clasa a 9-a — exerciții rezolvate (acolo arcsin apare în formula soluțiilor).
Fișă de lucru: trigonometrie, clasa a 9-a și formulele trigonometrice (tabelul de valori și formulele pentru ecuații).
Bacalaureat: „funcții trigonometrice directe și inverse” sunt în programa de Bac M1 și M2 (clasa a X-a), dar în subiectele 2020–2026 rezolvate pe site nu există un item dedicat lor; arctg reapare la integrale, în clasa a XII-a. Pentru itemii de trigonometrie de la Subiectul I.6: trigonometrie la Bac — subiecte rezolvate.
Aplicație directă: ecuațiile de forma a sin x + b cos x = c, unde soluțiile se scriu cu arcsin și arctg.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă arcsin x? $\arcsin x$ este unghiul (numărul real) din intervalul $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ al cărui sinus este $x$ ; există doar pentru $x \in [- 1, 1]$ . De exemplu, $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ .

Care este diferența dintre arcsin și 1/sin? $\arcsin$ este funcția inversă a sinusului restrâns (dă un unghi), iar $\frac{1}{\sin x}$ este inversul numărului $\sin x$ . Notația $\sin^{- 1}$ de pe calculator înseamnă arcsin.

De ce arccos are valori în [0, π] și nu în [−π/2, π/2]? Pentru că pe $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ cosinusul nu este injectiv ( $\cos (- \frac{π}{3}) = \cos \frac{π}{3}$ ), iar pe $[0, π]$ este strict descrescător și ia toate valorile din $[- 1, 1]$ , deci acolo e bijectiv.

Funcții trigonometrice inverse — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

Teorie

De ce trebuie restrânse funcțiile trigonometrice

Valori remarcabile

Graficele

Proprietăți

Legătura cu ecuațiile trigonometrice

De reținut

Exemple rezolvate

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează

Întrebări frecvente

Formule conexe