Împărțirea fracțiilor zecimale; media aritmetică — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să împarți cu virgulă: un număr natural la alt număr natural până obții o fracție zecimală, o fracție zecimală la un număr natural și două fracții zecimale între ele. Apoi folosești împărțirea ca să calculezi media aritmetică, adică „cât revine în mod egal” fiecăruia; media notelor, prețul pe kilogram sau media unui set de date apar și la Evaluarea Națională.

Teorie

Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală

Știi deja că $7:4=1$ rest $3$. Dacă vrem un rezultat exact, continuăm împărțirea după virgulă: restul de 3 unități înseamnă 30 de zecimi.

1. $7:4=1$, rest $3$. Scriem la cât $1$ și punem virgula.
2. Coborâm un zero: $30:4=7$, rest $2$ (7 zecimi).
3. Coborâm încă un zero: $20:4=5$, rest $0$ (5 sutimi). Împărțirea s-a terminat.

$$7:4=1,75\text{verificare: }1,75\cdot 4=7.$$

La fel transformi o fracție ordinară în fracție zecimală: linia de fracție înseamnă împărțire, deci $\frac{3}{8}=3:8=\mathrm{0,375}$. Uneori împărțirea nu se termină niciodată, de exemplu $2:3=\mathrm{0,666}\dots$; despre aceste numere afli în lecția fracții zecimale periodice.

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural

Împarți ca la numerele naturale, iar virgula se pune la cât în momentul în care cobori prima zecimală a deîmpărțitului. Dacă partea întreagă este mai mică decât împărțitorul, câtul începe cu $0,$.

$$9,6:4=2,40,45:5=0,093,5:2=1,75$$

La $0,45:5$: $0:5=0$, pui virgula; $4:5=0$ (scrii un 0 la cât!); $45:5=9$. La $3,5:2$ mai cobori un zero, ca la numerele naturale.

Împărțirea la 10, 100, 1000

Împărțirea la $10,100,1000$ mută virgula spre stânga cu 1, 2, respectiv 3 poziții (completezi cu zerouri dacă nu ajung cifrele):

$$37,5:10=3,7537,5:100=\mathrm{0,375}4,2:1000=\mathrm{0,004}2$$

Împărțirea a două fracții zecimale

Proprietate. Câtul nu se schimbă dacă înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr nenul. De exemplu, $12:4=3$ și $120:40=3$. De aceea înmulțim ambele numere cu $10,100,\dots$, astfel încât împărțitorul să devină număr natural:

$$\begin{array}{rl}7,2:0,08& =720:8=90(\text{am înmulțit ambele cu }100)\\ 4,5:1,25& =450:125=3,6\end{array}$$

Numărul de poziții cu care muți virgula îl dă împărțitorul: câte zecimale are el, cu atâtea poziții muți virgula la ambele numere.

Media aritmetică

Media aritmetică a mai multor numere este suma lor împărțită la câte numere sunt:

$$m_a=\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$$

De ce? Dacă patru copii au 8, 9, 10 și 7 bomboane și le pun la grămadă, sunt $34$ de bomboane. Împărțite în mod egal, fiecare primește $34:4=8,5$ (la bomboane nu se poate, dar la lei, kilograme sau note se poate). Media este „partea egală” care ar reveni fiecăruia. De aceea media este mereu cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare dintre numere.

De reținut

• Fracție zecimală : număr natural → virgula la cât când cobori prima zecimală.
• La $10,100,1000$ → virgula se mută la stânga cu 1, 2, 3 poziții.
• Două fracții zecimale → înmulțești ambele cu aceeași putere a lui 10 până împărțitorul devine natural.
• $\frac{a}{b}=a:b$ → așa transformi o fracție ordinară în fracție zecimală.
• Media aritmetică = suma numerelor : numărul lor. Verifici rezultatul prin înmulțire.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează $23:5$ și $17:8$, cu rezultatul fracție zecimală.

Vezi rezolvarea

1. $23:5=4$ rest $3$; pui virgula, cobori un zero: $30:5=6$. Deci $23:5=4,6$.
2. $17:8=2$ rest $1$; virgula; $10:8=1$ rest $2$; $20:8=2$ rest $4$; $40:8=5$ rest $0$. Deci $17:8=\mathrm{2,125}$.
3. Verificare: $4,6\cdot 5=23$, $\mathrm{2,125}\cdot 8=17$.

Răspuns: $4,6$ și $\mathrm{2,125}$

Exemplul 2. Calculează $15,6:6$ și $0,84:12$.

Vezi rezolvarea

1. $15:6=2$ rest $3$; cobori zecimala 6 și pui virgula la cât: $36:6=6$. Deci $15,6:6=2,6$.
2. $0:12=0$, virgula; $8:12=0$ (scrii 0 la cât); $84:12=7$. Deci $0,84:12=0,07$.

Răspuns: $2,6$ și $0,07$

Exemplul 3. Calculează $6,3:0,7$, $2,88:0,24$ și $5:0,25$.

Vezi rezolvarea

1. Împărțitorul $0,7$ are o zecimală: înmulțim ambele numere cu 10: $63:7=9$.
2. Împărțitorul $0,24$ are două zecimale: înmulțim cu 100: $288:24=12$.
3. $0,25$ are două zecimale: $5\cdot 100=500$, deci $500:25=20$.

Răspuns: $9$; $12$; $20$

Exemplul 4. Calculează media aritmetică a numerelor $12,15,20,18$ și $9$.

Vezi rezolvarea

1. Suma: $12+15+20+18+9=74$.
2. Sunt 5 numere: $m_a=74:5=14,8$.
3. Verificare: $14,8$ este între cel mai mic (9) și cel mai mare (20) număr.

Răspuns: $m_a=14,8$

Exemplul 5. $3,6$ kg de cireșe costă $64,8$ lei. Cât costă un kilogram? Dar $2,5$ kg?

Vezi rezolvarea

1. Prețul unui kilogram (metoda reducerii la unitate): $64,8:3,6=648:36=18$ lei.
2. $2,5$ kg costă $2,5\cdot 18=45$ lei.

Răspuns: 18 lei/kg; 45 de lei

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Ana are la matematică notele 7, 9, 8 și 10. Ce notă trebuie să ia la a cincea evaluare pentru ca media celor cinci note să fie $8,6$?

Vezi rezolvarea

1. Dacă media a 5 note este $8,6$, suma lor este $8,6\cdot 5=43$.
2. Suma primelor patru note: $7+9+8+10=34$.
3. Nota care lipsește: $43-34=9$.
4. Verificare: $(7+9+8+10+9):5=43:5=8,6$.

Răspuns: nota 9

Greșeli frecvente

• Muți virgula doar la împărțitor: $6,3:0,7$ nu este $6,3:7$. Înmulțești ambele numere cu 10: $63:7=9$.
• Uiți zeroul de la cât: $0,45:5=0,09$, nu $0,9$. Când o cifră a deîmpărțitului e mai mică decât împărțitorul, scrii 0 la cât.
• Muți virgula în sensul greșit la împărțirea cu 100: $37,5:100=\mathrm{0,375}$ (spre stânga); spre dreapta o muți la înmulțire.
• Împarți la 2 orice medie: media a 5 numere înseamnă suma lor împărțită la 5, nu la 2.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: fracții zecimale, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Formula și proprietățile mediei: media aritmetică.
• La Evaluarea Națională: Modelul EN 2025, Subiectul I, itemul 4 (fracția $\frac{5}{6}$ scrisă ca fracție zecimală, rezolvat aici) și Modelul EN 2023, Subiectul I, itemul 4 (media notelor dintr-un tabel, rezolvat aici).
• Toți itemii EN cu fracții: fracții ordinare și zecimale la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Cum se împart două numere cu virgulă? Înmulțești ambele numere cu 10, 100 sau 1000 (după câte zecimale are împărțitorul), ca împărțitorul să devină număr natural, apoi împarți. De exemplu, $7,2:0,08=720:8=90$.

Unde se pune virgula la cât? Când împarți o fracție zecimală la un număr natural, pui virgula la cât exact în momentul în care cobori prima cifră de după virgulă a deîmpărțitului.

Cum se calculează media aritmetică? Aduni toate numerele și împarți suma la câte numere ai adunat. Media notelor 8, 9, 10 și 7 este $34:4=8,5$.