Fracții zecimale periodice — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli de ce unele împărțiri nu se termină niciodată, ce sunt fracțiile zecimale periodice simple și mixte și cum le transformi în fracții ordinare. Regula de transformare apare aproape în fiecare an la Evaluarea Națională, la Subiectul I (de exemplu, $1,(2)$ sau $0,8(3)$).

Teorie

De ce apar cifre care se repetă

Să împărțim $3:7$ cu virgulă. Notăm la fiecare pas restul:

Pas	Împărțim	Cifra la cât	Rest
1	$30:7$	4	2
2	$20:7$	2	6
3	$60:7$	8	4
4	$40:7$	5	5
5	$50:7$	7	1
6	$10:7$	1	3

La pasul 6 restul este din nou 3, ca la început, deci de aici totul se repetă: $3:7=\mathrm{0,428}571428571\dots$ De ce se întâmplă mereu așa? La împărțirea la 7 resturile posibile sunt doar $0,1,2,3,4,5,6$. Dacă nu apare restul 0, după cel mult 6 pași un rest se repetă, iar de acolo se repetă și cifrele câtului.

Fracții zecimale periodice

Grupul de cifre care se repetă se numește perioadă și se scrie între paranteze rotunde:

$$\mathrm{0,333}\dots =0,(3)3:7=0,(428571)1:6=\mathrm{0,166}6\dots =0,1(6)$$

• Fracție periodică simplă: perioada începe imediat după virgulă: $0,(3)$, $2,(18)$.
• Fracție periodică mixtă: între virgulă și perioadă există cifre care nu se repetă (partea neperiodică): $0,1(6)$, $1,2(45)$.

Când iese finită și când periodică? Scrii întâi fracția ordinară ireductibilă. Dacă numitorul se scrie ca produs doar de 2 și 5 (de exemplu $8=2\cdot 2\cdot 2$, $20=2\cdot 2\cdot 5$), fracția zecimală este finită; dacă numitorul are și alt factor prim (3, 7, 11, …), fracția zecimală este periodică.

Transformarea unei fracții periodice simple în fracție ordinară

Prin împărțire găsești $1:9=0,(1)$, $1:99=0,(01)$, $1:999=0,(001)$. De aici:

$$0,(3)=3\cdot 0,(1)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}0,(27)=27\cdot 0,(01)=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$$

Dacă există și parte întreagă: $2,(18)=2+\frac{18}{99}=\frac{2\cdot 99+18}{99}=\frac{216}{99}=\frac{24}{11}$. Observă că $216=218-2$, adică numărul scris fără virgulă și fără paranteze minus partea întreagă.

Transformarea unei fracții periodice mixte

Mutăm virgula ca perioada să înceapă imediat după ea, apoi împărțim la 10: $0,1(6)=1,(6):10=(1+\frac{6}{9}):10=\frac{15}{9}:10=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$. Observă că $15=16-1$.

Regula generală. Numărătorul = numărul scris fără virgulă și fără paranteze minus numărul format din cifrele dinaintea perioadei. Numitorul = câte un 9 pentru fiecare cifră din perioadă, urmat de câte un 0 pentru fiecare cifră dintre virgulă și perioadă.

$$\begin{array}{rl}1,(2)& =\frac{12-1}{9}=\frac{11}{9}\\ 0,8(3)& =\frac{83-8}{90}=\frac{75}{90}=\frac{5}{6}\\ 1,2(45)& =\frac{1245-12}{990}=\frac{1233}{990}=\frac{137}{110}\end{array}$$

Compararea

Ca să compari fracții periodice, scrie-le cu mai multe zecimale și compară cifră cu cifră: $0,(3)=\mathrm{0,333}\dots >0,33$, iar $0,4(5)=\mathrm{0,455}5\dots >0,(45)=\mathrm{0,454}5\dots$

De reținut

• Perioada = grupul de cifre care se repetă, scris între paranteze.
• Simplă: perioada începe după virgulă; mixtă: există cifre între virgulă și perioadă.
• Câți de 9 la numitor = câte cifre are perioada; câți de 0 = câte cifre are partea neperiodică.
• Numitor ireductibil format doar din 2 și 5 → zecimală finită; altfel → periodică.
• Simplifică întotdeauna fracția obținută.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Scrie ca fracții zecimale: $\frac{5}{9}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{1}{6}$.

Vezi rezolvarea

1. $5:9=\mathrm{0,555}\dots$ (restul este mereu 5), deci $\frac{5}{9}=0,(5)$.
2. $7:11$: $70:11=6$ rest 4, $40:11=3$ rest 7, apoi se repetă; $\frac{7}{11}=0,(63)$.
3. $1:6$: $10:6=1$ rest 4, $40:6=6$ rest 4, se repetă doar 6; $\frac{1}{6}=0,1(6)$.

Răspuns: $0,(5)$; $0,(63)$; $0,1(6)$

Exemplul 2. Fără a efectua împărțirea, stabilește care dintre fracțiile $\frac{3}{8}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{9}{20}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{21}{35}$ se scriu ca fracții zecimale finite.

Vezi rezolvarea

1. $\frac{3}{8}$: $8=2\cdot 2\cdot 2$ → finită ($\mathrm{0,375}$).
2. $\frac{7}{12}$: $12=2\cdot 2\cdot 3$, apare 3 → periodică.
3. $\frac{9}{20}$: $20=2\cdot 2\cdot 5$ → finită ($0,45$).
4. $\frac{4}{15}$: $15=3\cdot 5$ → periodică.
5. $\frac{21}{35}$: întâi simplificăm cu 7: $\frac{3}{5}$ → finită ($0,6$), deși $35=5\cdot 7$.

Răspuns: $\frac{3}{8},\frac{9}{20},\frac{21}{35}$

Exemplul 3. Transformă în fracții ordinare ireductibile: $0,(7)$, $1,(36)$, $0,(123)$.

Vezi rezolvarea

1. $0,(7)=\frac{7}{9}$.
2. $1,(36)=\frac{136-1}{99}=\frac{135}{99}=\frac{15}{11}$ (am simplificat cu 9).
3. $0,(123)=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$ (am simplificat cu 3).

Răspuns: $\frac{7}{9}$; $\frac{15}{11}$; $\frac{41}{333}$

Exemplul 4. Transformă în fracții ordinare ireductibile: $0,8(3)$, $2,1(4)$, $0,12(5)$.

Vezi rezolvarea

1. $0,8(3)$: o cifră în perioadă, o cifră neperiodică → numitor 90: $\frac{83-8}{90}=\frac{75}{90}=\frac{5}{6}$.
2. $2,1(4)=\frac{214-21}{90}=\frac{193}{90}$ (193 nu se divide cu 2, 3 sau 5, deci fracția este ireductibilă).
3. $0,12(5)$: două cifre neperiodice → numitor 900: $\frac{125-12}{900}=\frac{113}{900}$.

Răspuns: $\frac{5}{6}$; $\frac{193}{90}$; $\frac{113}{900}$

Exemplul 5. Ordonează crescător numerele $1,3(6)$, $1,(36)$, $1,36$, $1,(3)$.

Vezi rezolvarea

1. Scriem cu patru zecimale: $1,3(6)=\mathrm{1,366}6\dots$, $1,(36)=\mathrm{1,363}6\dots$, $1,36=\mathrm{1,360}0$, $1,(3)=\mathrm{1,333}3\dots$
2. Toate încep cu $1,3$. A doua zecimală: 3 la $1,(3)$, 6 la celelalte → $1,(3)$ este cel mai mic.
3. A treia zecimală: 0 la $1,36$, 3 la $1,(36)$, 6 la $1,3(6)$.

Răspuns: $1,(3)<1,36<1,(36)<1,3(6)$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). a) Calculează $0,(6)\cdot 1,5+0,8(3):5$ și scrie rezultatul ca fracție zecimală.
b) Care este a 2026-a zecimală a numărului $\frac{3}{7}$?

Vezi rezolvarea

1. a) $0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, $1,5=\frac{3}{2}$, $0,8(3)=\frac{5}{6}$.
2. $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$ și $\frac{5}{6}:5=\frac{1}{6}$, deci rezultatul este $1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}=1,1(6)$.
3. b) $\frac{3}{7}=0,(428571)$: perioada are 6 cifre.
4. $2026:6=337$ rest $4$: după 337 de perioade complete urmează a 4-a cifră a perioadei, adică 5.

Răspuns: a) $1,1(6)$; b) 5

Greșeli frecvente

• Transformi periodica la fel ca pe una finită: $1,(2)$ nu este $\frac{12}{10}$, ci $\frac{11}{9}$.
• Uiți scăderea la fracția mixtă: $0,1(6)$ nu este $\frac{16}{90}$, ci $\frac{16-1}{90}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$.
• Confunzi $0,(3)$ cu $0,3$: $0,(3)=\mathrm{0,333}\dots =\frac{1}{3}$, iar $0,3=\frac{3}{10}$. Sunt numere diferite.
• Hotărăști „finită sau periodică” fără să simplifici: $\frac{21}{35}$ are la numitor 7, dar $\frac{21}{35}=\frac{3}{5}=0,6$ este finită.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: fracții zecimale, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: EN 2026, Subiectul I, itemul 4 ($1,(2)$ transformată în fracție ordinară, rezolvat aici), Modelul EN 2025, Subiectul I, itemul 4 ($\frac{5}{6}$ ca fracție zecimală, rezolvat aici) și EN 2024, Subiectul I, itemul 4 (cel mai mare dintre mai multe numere periodice, rezolvat aici).
• Toți itemii EN de acest tip: fracții ordinare și zecimale la Evaluarea Națională.
• Recapitulează împărțirea cu virgulă: împărțirea fracțiilor zecimale.

Întrebări frecvente

Ce este o fracție zecimală periodică? Este o fracție zecimală cu o infinitate de zecimale în care un grup de cifre (perioada) se repetă la nesfârșit. Perioada se scrie între paranteze: $\mathrm{0,666}\dots =0,(6)$.

Cum transform o fracție periodică în fracție ordinară? La numărător scrii numărul fără virgulă și paranteze minus numărul format din cifrele dinaintea perioadei; la numitor scrii câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei și câte un 0 pentru fiecare cifră dintre virgulă și perioadă. De exemplu, $0,8(3)=\frac{83-8}{90}=\frac{5}{6}$.

Care este diferența dintre o fracție periodică simplă și una mixtă? La cea simplă perioada începe imediat după virgulă, ca la $2,(18)$; la cea mixtă există cifre între virgulă și perioadă, ca la $0,1(6)$.