Adunarea, scăderea și înmulțirea fracțiilor zecimale — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să aduni și să scazi fracții zecimale așezând virgulă sub virgulă și să înmulțești numere zecimale numărând zecimalele factorilor. Le folosești la calcule cu prețuri, lungimi și mase, la perimetre și arii, și la exercițiile de calcul de la Evaluarea Națională.

Teorie

Adunarea și scăderea

Scrii numerele unul sub altul, cu virgulă sub virgulă (unități sub unități, zecimi sub zecimi, sutimi sub sutimi), completezi cu zerouri ca să aibă același număr de zecimale și calculezi ca la numerele naturale. Virgula rezultatului stă sub virgulele termenilor.

$$\begin{array}{r}12,50\\ +3,75\\ 16,25\end{array}\begin{array}{r}7,00\\ -2,38\\ 4,62\end{array}$$

De ce? Aduni zecimi cu zecimi și sutimi cu sutimi, exact ca la fracțiile cu același numitor: $12,50+3,75=\frac{1250}{100}+\frac{375}{100}=\frac{1625}{100}=16,25$. La 7 scrii $7,00$ ca să poți „împrumuta” sutimi și zecimi.

Înmulțirea

Înmulțești numerele ca și cum n-ar avea virgulă, apoi la rezultat separi prin virgulă, de la dreapta, atâtea zecimale câte au factorii împreună:

$$2,4\cdot 1,5=3,60=3,6(24\cdot 15=360;1+1=2\text{ zecimale}).$$

De ce? Scriem factorii ca fracții: $0,3\cdot 0,04=\frac{3}{10}\cdot \frac{4}{100}=\frac{12}{1000}=\mathrm{0,012}$. Numitorii se înmulțesc, deci zerourile lor se adună: o zecimală plus două zecimale dau trei zecimale.

În figură, pătratul cu latura 1 are 100 de pătrățele, fiecare cu aria $0,01$. Dreptunghiul de $0,4$ pe $0,3$ cuprinde $4\cdot 3=12$ pătrățele, deci $0,4\cdot 0,3=0,12$. Observă că produsul este mai mic decât fiecare factor: când înmulțești cu un număr mai mic decât 1, rezultatul scade.

Proprietăți și ordinea operațiilor

• Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative: $0,25\cdot 7,3\cdot 4=(0,25\cdot 4)\cdot 7,3=1\cdot 7,3=7,3$.
• Factorul comun (distributivitatea) funcționează la fel ca la numerele naturale: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$.
• Ordinea operațiilor: parantezele, apoi înmulțirile, apoi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta.

De reținut

• Adunare/scădere: virgulă sub virgulă, completezi cu zerouri.
• Înmulțire: înmulțești fără virgulă, apoi numeri zecimalele ambilor factori.
• Dacă produsul are prea puține cifre, completezi cu zerouri în față: $0,03\cdot 0,2=\mathrm{0,006}$.
• Zerourile de la sfârșit se pot șterge după ce ai pus virgula: $3,60=3,6$.
• Caută perechi convenabile: $0,5\cdot 2=1$, $0,25\cdot 4=1$, $0,2\cdot 5=1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) $12,5+3,75$; b) $7-2,38$; c) $0,46+5,8-1,06$.

Vezi rezolvarea

1. a) $12,50+3,75=16,25$ (virgulă sub virgulă).
2. b) $7,00-2,38=4,62$.
3. c) $0,46+5,80=6,26$, apoi $6,26-1,06=5,20=5,2$.

Răspuns: a) 16,25; b) 4,62; c) 5,2

Exemplul 2. Calculează: a) $4,6\cdot 3$; b) $2,4\cdot 1,5$; c) $0,25\cdot 0,4$; d) $0,03\cdot 0,2$.

Vezi rezolvarea

1. a) $46\cdot 3=138$; o zecimală: $13,8$.
2. b) $24\cdot 15=360$; două zecimale: $3,60=3,6$.
3. c) $25\cdot 4=100$; trei zecimale: $\mathrm{0,100}=0,1$.
4. d) $3\cdot 2=6$; trei zecimale, completăm cu zerouri în față: $\mathrm{0,006}$.

Răspuns: a) 13,8; b) 3,6; c) 0,1; d) 0,006

Exemplul 3. Calculează în mod convenabil: a) $3,7\cdot 2,5+3,7\cdot 7,5$; b) $0,5\cdot 9,3\cdot 2$.

Vezi rezolvarea

1. a) Dăm factor comun pe $3,7$: $3,7\cdot (2,5+7,5)=3,7\cdot 10=37$.
2. b) Schimbăm ordinea factorilor: $(0,5\cdot 2)\cdot 9,3=1\cdot 9,3=9,3$.

Răspuns: a) 37; b) 9,3

Exemplul 4. Calculează: $(8,4-2,65)\cdot 0,2+1,5\cdot 3$.

Vezi rezolvarea

1. Paranteza: $8,40-2,65=5,75$.
2. Înmulțirile: $5,75\cdot 0,2=\mathrm{1,150}=1,15$ (575 · 2 = 1150, trei zecimale) și $1,5\cdot 3=4,5$.
3. Adunarea: $1,15+4,50=5,65$.

Răspuns: 5,65

Exemplul 5. Un dreptunghi are lungimea $3,2$ m și lățimea $1,75$ m. Calculează perimetrul și aria lui.

Vezi rezolvarea

1. Perimetrul: $P=2\cdot (3,2+1,75)=2\cdot 4,95=9,9$ m.
2. Aria: $A=3,2\cdot 1,75$. $32\cdot 175=5600$; trei zecimale: $\mathrm{5,600}=5,6$ m².

Răspuns: $P=9,9$ m, $A=5,6$ m²

Exemplul 6 (problemă tip Evaluare Națională). Ana cumpără $2,5$ kg de mere cu $4,80$ lei kilogramul și $1,5$ kg de pere cu $6,40$ lei kilogramul. Plătește cu o bancnotă de 50 de lei. Ce rest primește?

Vezi rezolvarea

1. Merele: $2,5\cdot 4,80=\mathrm{12,000}=12$ lei ($25\cdot 480=12000$, trei zecimale).
2. Perele: $1,5\cdot 6,40=\mathrm{9,600}=9,60$ lei.
3. Total: $12+9,60=21,60$ lei.
4. Restul: $50,00-21,60=28,40$ lei.

Răspuns: 28,40 lei

Greșeli frecvente

• Aliniezi cifrele la dreapta, nu virgulele: la $12,5+3,75$, cifra 5 (zecimi) trebuie să stea sub 7 (zecimi), nu sub 5 (sutimi). Scrie $12,50$ ca să eviți greșeala.
• Pui virgula la produs ca la adunare: la înmulțire nu aliniezi virgulele și nu păstrezi o singură zecimală. $2,4\cdot 1,5$ nu este $36,0$ sau $0,36$; numeri zecimalele ambilor factori (1 + 1 = 2), deci $3,60=3,6$.
• Ștergi zerourile înainte să pui virgula: la $0,25\cdot 0,4$, produsul 100 are trei zecimale: $\mathrm{0,100}=0,1$, nu $0,01$ (dacă ștergi întâi zerourile și apoi numeri zecimalele, greșești).
• Nu respecți ordinea operațiilor: în $4,5+0,5\cdot 2$ faci întâi înmulțirea: $4,5+1=5,5$, nu $5\cdot 2=10$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: fracții zecimale, clasa a 5-a (exercițiile 4, 7 și problema cu mere și pere sunt pe această lecție; cu răspunsuri).
• Ordinea operațiilor și factorul comun: ordinea efectuării operațiilor.
• La Evaluarea Națională: testul de antrenament 6 din 2021, Subiectul I, itemul 4 (8 săpunuri a $2,5$ lei și 4 paste de dinți a 8 lei, cu reduceri în procente, rezolvat aici) — îmbină înmulțirea zecimalelor cu procentele.
• Calculul cu procente din probleme: procente la Evaluarea Națională; lecția despre fracții dintr-un număr și procente.

Întrebări frecvente

Cum se adună numerele cu virgulă? Le scrii unul sub altul cu virgulă sub virgulă, completezi cu zerouri ca să aibă același număr de zecimale și aduni ca la numerele naturale; virgula rezultatului stă sub celelalte virgule.

Cum se înmulțesc două numere cu virgulă? Le înmulțești ca și cum n-ar avea virgulă, apoi la rezultat numeri de la dreapta atâtea zecimale câte au factorii împreună. De exemplu, $2,4\cdot 1,5$: $24\cdot 15=360$, două zecimale, deci $3,6$.

De ce $0,4\cdot 0,3$ este mai mic decât fiecare factor? Pentru că înmulțești cu un număr mai mic decât 1: iei doar o parte dintr-un număr. $0,4\cdot 0,3=0,12$, adică patru zecimi din trei zecimi.