Împărțirea cu rest — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți împărțirea exactă și împărțirea cu rest a numerelor naturale, teorema împărțirii cu rest $D=Î\cdot C+R$, cu $R<Î$, și cum o folosești ca să afli un număr din cât și rest. Problemele cu resturi (grupări, zilele săptămânii, numere care dau un anumit rest) apar des la concursuri și la Evaluarea Națională.

Teorie

Împărțirea exactă (cu rest zero)

În $a:b=c$, $a$ este deîmpărțitul, $b$ este împărțitorul, iar $c$ este câtul. Împărțirea este operația inversă înmulțirii:

$$a:b=c\text{înseamnă}a=b\cdot c,b\ne 0.$$

• Nu se împarte la 0: nu există niciun număr care înmulțit cu 0 să dea, de exemplu, 5.
• $0:b=0$ și $a:1=a$, iar $a:a=1$ pentru $a\ne 0$.

Împărțirea cu rest

De cele mai multe ori împărțirea nu „iese exact”: 17 bomboane împărțite la 5 copii înseamnă câte 3 bomboane fiecare și rămân 2. Scriem $17:5=3$ rest $2$, adică $17=5\cdot 3+2$.

Teorema împărțirii cu rest. Pentru orice numere naturale $D$ și $Î$, cu $Î\ne 0$, există numerele naturale $C$ (câtul) și $R$ (restul), unice, astfel încât:

$$D=Î\cdot C+R,R<Î.$$

De ce restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul? Dacă ar rămâne cel puțin $Î$ obiecte, am mai putea face o grupă întreagă, deci câtul nu ar fi cel corect. De exemplu, $17=5\cdot 2+7$ este o egalitate adevărată, dar nu este împărțirea cu rest a lui 17 la 5, pentru că $7>5$.

Consecințe utile:

• La împărțirea la $Î$, resturile posibile sunt $0,1,2,\dots ,Î-1$ (în total $Î$ resturi). Cel mai mare rest posibil este $Î-1$.
• Restul 0 înseamnă împărțire exactă: $D$ este multiplu de $Î$.
• Numerele care împărțite la $Î$ dau restul $R$ sunt de forma $Î\cdot k+R$: de exemplu, numerele care dau restul 2 la împărțirea la 5 sunt $2,7,12,17,22,\dots$
• La împărțirea la 10 restul este ultima cifră, iar la împărțirea la 100, numărul format din ultimele două cifre: $2347=100\cdot 23+47$.

Proba împărțirii: înmulțim câtul cu împărțitorul și adunăm restul; trebuie să obținem deîmpărțitul și să verificăm că restul este mai mic decât împărțitorul.

De reținut

• $D=Î\cdot C+R$, cu $R<Î$ și $Î\ne 0$.
• La împărțirea la $n$ resturile posibile sunt $0,1,\dots ,n-1$.
• Dacă știi împărțitorul, câtul și restul, afli deîmpărțitul prin înmulțire și adunare.
• Nu se împarte niciodată la 0.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Efectuează împărțirea $2347:8$ și fă proba.

Vezi rezolvarea

1. $23:8=2$ rest $7$; coborâm 4: $74:8=9$ rest $2$; coborâm 7: $27:8=3$ rest $3$.
2. Câtul este 293, restul 3.
3. Proba: $8\cdot 293+3=2344+3=2347$, iar $3<8$.

Răspuns: $2347:8=293$ rest $3$

Exemplul 2. Împărțind un număr la 12 se obține câtul 15 și restul 7. Află numărul.

Vezi rezolvarea

1. Teorema împărțirii cu rest: $D=Î\cdot C+R=12\cdot 15+7$.
2. $D=180+7=187$. Verificăm: $7<12$.

Răspuns: 187

Exemplul 3. Împărțind un număr la 9 obținem câtul 23 și cel mai mare rest posibil. Care este numărul?

Vezi rezolvarea

1. Restul este mai mic decât 9, deci cel mai mare rest posibil este 8.
2. $D=9\cdot 23+8=207+8=215$.

Răspuns: 215

Exemplul 4. a) Care este cel mai mare număr de două cifre care împărțit la 7 dă restul 5?
b) Dar cel mai mic număr de trei cifre cu aceeași proprietate?

Vezi rezolvarea

1. Numerele căutate sunt de forma $7\cdot k+5$: $5,12,19,\dots$
2. a) Cu câtul 14 am obține $7\cdot 14+5=103$, care are trei cifre. Deci câtul este 13: $7\cdot 13+5=96$.
3. b) Următorul număr de forma $7\cdot k+5$ după 96 este $96+7=103$, primul cu trei cifre.

Răspuns: a) 96; b) 103

Exemplul 5 (nivel concurs / evaluare). Determină numerele naturale nenule care, împărțite la 5, dau câtul egal cu restul. Calculează suma lor.

Vezi rezolvarea

1. Notăm câtul și restul cu $r$. Atunci $n=5\cdot r+r=6\cdot r$ (factor comun).
2. Restul este mai mic decât 5: $r\in \{0,1,2,3,4\}$. Pentru $r=0$ obținem $n=0$, care nu este nenul.
3. Rămân $n=6,12,18,24$. Verificare: $24=5\cdot 4+4$.
4. Suma: $6+12+18+24=60$.

Răspuns: 6, 12, 18, 24; suma este 60

Exemplul 6 (probleme practice). a) Azi este marți. Ce zi a săptămânii va fi peste 100 de zile?
b) La o excursie merg 100 de elevi, cu microbuze de câte 18 locuri. Câte microbuze sunt necesare?

Vezi rezolvarea

1. a) Zilele se repetă din 7 în 7: $100=7\cdot 14+2$. După 14 săptămâni întregi este tot marți, apoi încă 2 zile: miercuri, joi.
2. b) $100=18\cdot 5+10$: 5 microbuze pline transportă 90 de elevi, iar cei 10 rămași au nevoie de încă un microbuz.

Răspuns: a) joi; b) 6 microbuze

Greșeli frecvente

• Restul mai mare sau egal cu împărțitorul: $30=7\cdot 3+9$ este adevărat, dar nu este împărțire cu rest; corect $30=7\cdot 4+2$.
• Uiți zeroul din cât: $2436:12$ nu dă 23, ci 203 ($3:12=0$, deci la cât scrii 0 și cobori următoarea cifră).
• Iei câtul ca răspuns în problemele practice: la exemplul 6b, 5 microbuze nu ajung; restul 10 înseamnă elevi care au nevoie de încă un microbuz.
• Împarți la 0: $7:0$ nu există; în schimb $0:7=0$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: operații cu numere naturale, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri) și testul de semestrul I pentru clasa a 5-a.
• Probleme rezolvate cu metode aritmetice (unde apar des resturi): metode aritmetice.
• La Evaluarea Națională: testul de antrenament 2 din 2022, Subiectul I, itemul 1 (câtul împărțirii cu rest a lui 35 la 15, rezolvat aici) și testul de antrenament 5 din 2022, Subiectul I, itemul 5 (suma numerelor care împărțite la 3 dau câtul 4, rezolvat aici).

Întrebări frecvente

Ce spune teorema împărțirii cu rest? Pentru orice deîmpărțit $D$ și orice împărțitor $Î\ne 0$ există un cât $C$ și un rest $R$, unice, astfel încât $D=Î\cdot C+R$ și $R<Î$.

Care este cel mai mare rest posibil? Restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul, deci cel mai mare rest posibil este împărțitorul minus 1. La împărțirea la 9, cel mai mare rest este 8.

Cum se face proba la împărțirea cu rest? Înmulțești câtul cu împărțitorul și aduni restul; trebuie să obții deîmpărțitul. Verifici și că restul este mai mic decât împărțitorul.