Adunarea, scăderea și înmulțirea; factorul comun — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție recapitulezi adunarea, scăderea și înmulțirea numerelor naturale și înveți proprietățile lor: comutativitatea, asociativitatea și distributivitatea. Din distributivitate vine factorul comun, $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$, metoda cu care calculezi rapid sume lungi și pe care o vei folosi în toți anii de gimnaziu.

Teorie

Adunarea

În $a+b=s$, numerele $a$ și $b$ sunt termenii, iar $s$ este suma. Proprietăți, pentru orice numere naturale $a,b,c$:

• comutativitate: $a+b=b+a$ (ordinea termenilor nu contează);
• asociativitate: $(a+b)+c=a+(b+c)$ (putem grupa termenii cum ne convine);
• element neutru: $a+0=0+a=a$.

Scăderea

În $a-b=d$, $a$ este descăzutul, $b$ este scăzătorul, iar $d$ este diferența. În mulțimea numerelor naturale scăderea se poate face doar dacă $a\ge b$. Scăderea este operația inversă adunării:

$$a-b=d\text{înseamnă}a=b+d.$$

De aici vine proba: adunăm diferența cu scăzătorul și trebuie să obținem descăzutul. Scăderea nu este nici comutativă, nici asociativă: $(20-8)-2=10$, dar $20-(8-2)=14$.

Înmulțirea

În $a\cdot b=p$, $a$ și $b$ sunt factorii, iar $p$ este produsul. Înmulțirea este o adunare repetată: $4\cdot 3=3+3+3+3$. Proprietăți:

• comutativitate: $a\cdot b=b\cdot a$; asociativitate: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$;
• element neutru: $a\cdot 1=a$; orice număr înmulțit cu 0 dă 0: $a\cdot 0=0$;
• distributivitatea înmulțirii față de adunare și față de scădere:

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c(b\ge c).$$

De ce este adevărată distributivitatea? Gândește-te la un dreptunghi format din pătrățele, cu $a$ rânduri și $b+c$ coloane. Numărul pătrățelelor este $a\cdot (b+c)$. Dacă îl tăiem în două dreptunghiuri, unul cu $b$ coloane și altul cu $c$ coloane, numărăm $a\cdot b+a\cdot c$ pătrățele. Sunt aceleași pătrățele, deci rezultatele sunt egale.

Factorul comun

Dacă citim distributivitatea de la dreapta la stânga, obținem scoaterea factorului comun:

$$a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c),a\cdot b-a\cdot c=a\cdot (b-c).$$

Când toți termenii unei sume au un factor comun, îl scriem o singură dată în fața parantezei, iar în paranteză rămâne ce a „rămas” din fiecare termen. Dacă un termen este chiar factorul comun, în paranteză rămâne 1: $7\cdot 9+7=7\cdot 9+7\cdot 1=7\cdot 10=70$.

De reținut

• Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative: schimbă ordinea și grupează pentru calcul rapid ($25\cdot 4=100$, $125\cdot 8=1000$).
• Scăderea $a-b$ are sens în $\mathbb{N}$ doar pentru $a\ge b$; proba: $d+b=a$.
• Distributivitate: $a(b+c)=ab+ac$; invers, factor comun: $ab+ac=a(b+c)$.
• Ordinea operațiilor: întâi înmulțirile, apoi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta; parantezele se calculează primele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează rapid: a) $37+189+63+11$; b) $25\cdot 17\cdot 4$.

Vezi rezolvarea

1. a) Schimbăm ordinea și grupăm termenii care dau numere „rotunde”: $(37+63)+(189+11)=100+200=300$.
2. b) Grupăm $25$ cu $4$: $(25\cdot 4)\cdot 17=100\cdot 17=1700$.

Răspuns: a) 300; b) $1700$

Exemplul 2. Calculează $5000-1847$ și fă proba.

Vezi rezolvarea

1. $5000-1847=3153$.
2. Proba: diferența + scăzătorul = descăzutul: $3153+1847=5000$. Corect.

Răspuns: $3153$

Exemplul 3. Calculează folosind factorul comun: a) $23\cdot 47+23\cdot 53$; b) $125\cdot 19-125\cdot 11$; c) $99\cdot 47$.

Vezi rezolvarea

1. a) Factorul comun este 23: $23\cdot (47+53)=23\cdot 100=2300$.
2. b) Factorul comun este 125: $125\cdot (19-11)=125\cdot 8=1000$.
3. c) Scriem $99=100-1$ și folosim distributivitatea față de scădere: $(100-1)\cdot 47=4700-47=4653$.

Răspuns: a) $2300$; b) $1000$; c) $4653$

Exemplul 4. Calculează $36\cdot 15+64\cdot 15-15\cdot 50$.

Vezi rezolvarea

1. Toți cei trei termeni conțin factorul 15 (la ultimul, ordinea factorilor nu contează).
2. $15\cdot (36+64-50)=15\cdot 50=750$.

Răspuns: 750

Exemplul 5. a) Știind că $a+b=25$, calculează $4\cdot a+4\cdot b$.
b) Știind că $a+b=17$ și $a\cdot c+b\cdot c=102$, află numărul $c$.

Vezi rezolvarea

1. a) Nu trebuie să știm $a$ și $b$ separat: $4\cdot a+4\cdot b=4\cdot (a+b)=4\cdot 25=100$.
2. b) Scoatem factorul comun $c$: $a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b)=c\cdot 17$.
3. Deci $c\cdot 17=102$, adică $c=102:17=6$.

Răspuns: a) 100; b) $c=6$

Exemplul 6 (nivel concurs / evaluare). Calculează: a) $S=1+2+3+\dots +50$; b) $T=2+4+6+\dots +100$.

Vezi rezolvarea

1. a) Scriem suma de două ori, a doua oară invers, și adunăm termenii aflați unul sub altul: $1+50=51$, $2+49=51$, ..., $50+1=51$. Sunt 50 de perechi.
2. Deci $2\cdot S=50\cdot 51=2550$, adică $S=2550:2=1275$.
3. b) Fiecare termen are factorul 2: $T=2\cdot 1+2\cdot 2+\dots +2\cdot 50=2\cdot (1+2+\dots +50)=2\cdot S$.
4. $T=2\cdot 1275=2550$.

Răspuns: a) $S=1275$; b) $T=2550$

Greșeli frecvente

• Uiți să înmulțești fiecare termen din paranteză: $3\cdot (10+4)$ nu este $30+4$, ci $30+12=42$.
• Uiți „1” la factorul comun: $8\cdot 12+8=8\cdot (12+1)=104$, nu $8\cdot 12=96$.
• Calculezi de la stânga la dreapta fără să ții cont de înmulțiri: $20-2\cdot 5$ este $20-10=10$, nu $18\cdot 5=90$.
• Scoți factor comun dintr-o sumă în care un termen nu îl conține: în $6\cdot 7+5$, 6 nu este factor comun; calculezi direct: $42+5=47$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: operații cu numere naturale, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri) și testul de semestrul I pentru clasa a 5-a, cu barem.
• Calcule cu paranteze: ordinea efectuării operațiilor.
• La Evaluarea Națională, primul item este aproape mereu un calcul cu numere naturale: testul de antrenament 3 din 2022, Subiectul I, itemul 1 ($5\cdot (3+2\cdot 4)$, rezolvat aici) și EN 2026, Subiectul I, itemul 1 ($12-2\cdot 5$, rezolvat aici).

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să dai factor comun? Înseamnă să scrii o sumă (sau diferență) de produse care au un factor comun ca produsul dintre acel factor și suma celorlalți factori: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$. De exemplu, $23\cdot 47+23\cdot 53=23\cdot 100=2300$.

Care sunt proprietățile înmulțirii numerelor naturale? Înmulțirea este comutativă și asociativă, are elementul neutru 1, orice număr înmulțit cu 0 dă 0, iar înmulțirea este distributivă față de adunare și față de scădere.

Cum fac proba la scădere? Aduni diferența cu scăzătorul; dacă obții descăzutul, scăderea este corectă. De exemplu, $5000-1847=3153$, iar $3153+1847=5000$.