Compararea și rotunjirea fracțiilor zecimale — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să compari și să ordonezi fracții zecimale, să le reprezinți pe axa numerelor și să le aproximezi: prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire la unități, zecimi sau sutimi. Le folosești când compari prețuri, rezultate sportive sau măsurători și la itemii de ordonare de la Evaluarea Națională.

Teorie

Compararea a două fracții zecimale

1. Compari întâi părțile întregi: este mai mare numărul cu partea întreagă mai mare ($12,05<13,1$).
2. Dacă părțile întregi sunt egale, compari zecimile, apoi sutimile, apoi miimile, până găsești prima cifră diferită.
3. Ca să nu greșești, scrie numerele cu același număr de zecimale, adăugând zerouri la sfârșit: $3,7=3,70$ și $3,70>3,68$.

De ce? După ce numerele au același număr de zecimale, ele sunt fracții cu același numitor: $3,70=\frac{370}{100}$ și $3,68=\frac{368}{100}$. La același numitor, mai mare este fracția cu numărătorul mai mare: $370>368$. Nu contează câte cifre are numărul după virgulă: $0,5>\mathrm{0,479}$, pentru că $\mathrm{0,500}>\mathrm{0,479}$.

Reprezentarea pe axa numerelor

Împarți segmentul dintre două numere naturale consecutive în 10 părți egale (zecimi). $2,3$ este la a treia diviziune după 2, iar $2,75$ este la mijloc între $2,7$ și $2,8$. Pe axă, numărul mai mare este mai la dreapta. Orice fracție zecimală se încadrează între două numere naturale consecutive: $2<2,75<3$.

Aproximări

Ca să aproximezi $\mathrm{7,386}$ la zecimi, îl încadrezi între două numere cu o zecimală: $7,3<\mathrm{7,386}<7,4$.

• Aproximarea prin lipsă (la zecimi) este $7,3$: numărul mai mic, obținut prin tăierea zecimalelor de după zecimi.
• Aproximarea prin adaos este $7,4$: numărul mai mare.
• Rotunjirea este aproximarea cea mai apropiată. Regula: te uiți la cifra de după poziția la care rotunjești; dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4, păstrezi cifra (prin lipsă); dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, o mărești cu 1 (prin adaos). La $\mathrm{7,386}$, după zecimi urmează 8, deci rotunjirea la zecimi este $7,4$.

De reținut

• Compari partea întreagă, apoi zecimile, sutimile, … până la prima cifră diferită.
• Adaugă zerouri la sfârșit ca să ai același număr de zecimale.
• Pe axă, numărul mai mare este mai la dreapta.
• Rotunjire: cifra următoare 0–4 ⇒ prin lipsă; 5–9 ⇒ prin adaos.
• Rotunjirea la zecimi are o singură zecimală, chiar dacă aceasta este 0 ($9,96\approx 10,0$).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Compară numerele: a) $3,7$ și $3,68$; b) $12,05$ și $12,5$; c) $0,40$ și $0,4$.

Vezi rezolvarea

1. a) $3,7=3,70$; părțile întregi sunt egale, la zecimi $7>6$, deci $3,7>3,68$.
2. b) $12,5=12,50$; la zecimi $0<5$, deci $12,05<12,5$.
3. c) Zeroul de la sfârșit nu schimbă numărul: $0,40=0,4$.

Răspuns: a) $3,7>3,68$; b) $12,05<12,5$; c) $0,40=0,4$

Exemplul 2. Ordonează crescător: $4,2$; $4,02$; $4,22$; $\mathrm{4,202}$; $\mathrm{4,021}$.

Vezi rezolvarea

1. Scriem toate numerele cu trei zecimale: $\mathrm{4,200}$; $\mathrm{4,020}$; $\mathrm{4,220}$; $\mathrm{4,202}$; $\mathrm{4,021}$.
2. Toate au partea întreagă 4, deci comparăm numerele formate de zecimale: $020<021<200<202<220$.

Răspuns: $4,02<\mathrm{4,021}<4,2<\mathrm{4,202}<4,22$

Exemplul 3. Încadrează numărul $7,38$ între două numere naturale consecutive și între două numere consecutive cu o zecimală. Care este rotunjirea lui la unități?

Vezi rezolvarea

1. Partea întreagă este 7: $7<7,38<8$.
2. Cu o zecimală: $7,3<7,38<7,4$.
3. La unități: după unități urmează cifra zecimilor, 3, deci rotunjim prin lipsă: $7,38\approx 7$.

Răspuns: $7<7,38<8$; $7,3<7,38<7,4$; $7,38\approx 7$

Exemplul 4. Scrie aproximările la sutimi prin lipsă și prin adaos ale numărului $\mathrm{5,637}2$ și rotunjirea lui la sutimi.

Vezi rezolvarea

1. Încadrăm între numere cu două zecimale: $5,63<\mathrm{5,637}2<5,64$.
2. Prin lipsă: $5,63$; prin adaos: $5,64$.
3. După sutimi urmează cifra 7 (≥ 5), deci rotunjirea este prin adaos: $5,64$.

Răspuns: $5,63$ (prin lipsă), $5,64$ (prin adaos), rotunjirea $5,64$

Exemplul 5. Rotunjește: a) $9,96$ la zecimi; b) $\mathrm{2,499}9$ la unități; c) $\mathrm{13,045}$ la sutimi.

Vezi rezolvarea

1. a) După zecimi urmează 6, deci mărim zecimile: $9,9+0,1=10,0$. Scriem $10,0$, ca să se vadă că am rotunjit la zecimi.
2. b) După unități urmează 4, deci rotunjim prin lipsă: $2$. (Contează doar prima cifră de după poziție, nu cele de mai departe.)
3. c) După sutimi urmează 5, deci mărim sutimile: $13,05$.

Răspuns: a) $10,0$; b) $2$; c) $13,05$

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). a) Ordonează crescător numerele $\frac{3}{4}$, $0,7$, $0,72$ și $\frac{19}{25}$. b) Află cifrele $a$ pentru care $2,a7<2,45$.

Vezi rezolvarea

1. a) Transformăm fracțiile ordinare prin amplificare: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$, $\frac{19}{25}=\frac{76}{100}=0,76$.
2. Comparăm cu două zecimale: $0,70<0,72<0,75<0,76$.
3. b) Părțile întregi sunt egale; comparăm zecimile: $a$ față de 4. Dacă $a<4$, inegalitatea este adevărată ($a=0,1,2,3$). Dacă $a=4$, comparăm sutimile: $2,47>2,45$, fals. Dacă $a>4$, numărul e mai mare.

Răspuns: a) $0,7<0,72<\frac{3}{4}<\frac{19}{25}$; b) $a\in \{0,1,2,3\}$

Greșeli frecvente

• Crezi că mai multe cifre înseamnă număr mai mare: $\mathrm{0,479}<0,5$, deși are mai multe zecimale. Completează cu zerouri: $\mathrm{0,479}<\mathrm{0,500}$.
• Compari zecimalele ca numere naturale fără să le aliniezi: „12 $>$ 5, deci $3,12>3,5$” este greșit: $3,12<3,50$.
• Rotunjești în lanț: $\mathrm{2,499}9$ la unități este 2, nu 3 (nu rotunjești întâi la miimi, apoi la sutimi…); te uiți doar la prima cifră de după poziție.
• Ștergi zeroul rezultat la rotunjire: $9,96$ rotunjit la zecimi se scrie $10,0$; dacă scrii 10, nu se mai vede că ai rotunjit la zecimi.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: fracții zecimale, clasa a 5-a (exercițiile 3, 6 și 9 sunt pe compararea, ordonarea și rotunjirea zecimalelor; cu răspunsuri).
• Scrierea zecimalelor și transformările, în lecția precedentă: fracții zecimale: scriere și transformări.
• La Evaluarea Națională, compararea zecimalelor apare la Subiectul I, de obicei împreună cu fracțiile periodice (lecția de mai târziu): Modelul EN 2027, Subiectul I, itemul 4 (cel mai mare dintre 3,51; 3,5(1); 3,(51); 3,511, rezolvat aici) și EN 2024, Subiectul I, itemul 4 (rezolvat aici). Regula este aceeași: compari cifră cu cifră.
• Toți itemii EN cu fracții: fracții ordinare și zecimale la EN.

Întrebări frecvente

Cum compari două numere cu virgulă? Compari întâi părțile întregi; dacă sunt egale, compari zecimile, apoi sutimile și așa mai departe. E mai sigur să scrii numerele cu același număr de zecimale, adăugând zerouri la sfârșit.

Cum se rotunjește un număr zecimal la zecimi? Te uiți la cifra sutimilor: dacă este mai mică decât 5, păstrezi zecimile; dacă este 5 sau mai mare, mărești zecimile cu 1. De exemplu, $\mathrm{7,386}\approx 7,4$ și $\mathrm{7,341}\approx 7,3$.

Care este diferența dintre aproximarea prin lipsă și prin adaos? Aproximarea prin lipsă este numărul mai mic dintre cele două între care încadrezi numărul (tai zecimalele de după poziție), iar cea prin adaos este numărul mai mare. Rotunjirea alege dintre ele pe cea mai apropiată.