Fracții dintr-un număr; procente — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să afli cât reprezintă o fracție dintr-un număr (de exemplu $\frac{3}{4}$ din 48) și ce înseamnă un procent: $p\mathrm{\%}$ este fracția $\frac{p}{100}$. Cu aceste calcule rezolvi probleme cu reduceri, scumpiri, note și cheltuieli; la Evaluarea Națională apar în fiecare an, la Subiectul I și la problemele de la Subiectul al III-lea.

Teorie

Fracția dintr-un număr

Fracția $\frac{a}{b}$ dintr-un număr $N$ înseamnă: împarți $N$ în $b$ părți egale și iei $a$ dintre ele. Practic, împarți la numitor și înmulțești cu numărătorul:

$$\frac{a}{b}\text{ din }N=\frac{a}{b}\cdot N=(N:b)\cdot a.$$

De ce funcționează? O pătrime din 48 este $48:4=12$ (o parte din cele patru). Trei pătrimi înseamnă trei astfel de părți: $3\cdot 12=36$. Aceeași valoare dă și produsul $\frac{3}{4}\cdot 48=\frac{144}{4}=36$. Când $N$ este multiplu al numitorului, e mai comod să împarți întâi.

Fracție dintr-o fracție. „$\frac{2}{3}$ din $\frac{9}{10}$” înseamnă tot un produs: $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$.

Procente

Un procent este o fracție cu numitorul 100: $1\mathrm{\%}=\frac{1}{100}$, deci $p\mathrm{\%}=\frac{p}{100}$. „35% din elevi” înseamnă 35 de elevi din fiecare 100.

$$p\mathrm{\%}\text{ din }N=\frac{p}{100}\cdot N.$$

Procent	Fracție ireductibilă	Cum calculezi repede
$50\mathrm{\%}$	$\frac{1}{2}$	jumătate: împarți la 2
$25\mathrm{\%}$	$\frac{1}{4}$	un sfert: împarți la 4
$75\mathrm{\%}$	$\frac{3}{4}$	împarți la 4, înmulțești cu 3
$20\mathrm{\%}$	$\frac{1}{5}$	împarți la 5
$10\mathrm{\%}$	$\frac{1}{10}$	împarți la 10
$100\mathrm{\%}$	$1$	tot numărul

Scumpiri și reduceri. Dacă un preț de $N$ lei crește cu $p\mathrm{\%}$, calculezi întâi creșterea, $p\mathrm{\%}$ din $N$, apoi o aduni la $N$. La o reducere (ieftinire) cu $p\mathrm{\%}$, scazi valoarea reducerii din $N$. Atenție: procentul se calculează întotdeauna din mărimea la care se referă („din preț”, „din rest”).

De reținut

• „din” înseamnă înmulțire: $\frac{a}{b}$ din $N=\frac{a}{b}\cdot N$.
• Dacă $N$ se împarte exact la $b$: mai întâi $N:b$, apoi $\cdot a$.
• $p\mathrm{\%}=\frac{p}{100}$; $50\mathrm{\%}$ e jumătatea, $25\mathrm{\%}$ e sfertul, $10\mathrm{\%}$ e a zecea parte.
• Întregul înseamnă $\frac{b}{b}$, adică $100\mathrm{\%}$; dacă s-a folosit $\frac{2}{5}$, au rămas $\frac{3}{5}$.
• La „din rest” calculezi întâi restul, apoi fracția din el.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. O clasă are 28 de elevi, iar $\frac{3}{7}$ dintre ei sunt băieți. Câți băieți și câte fete sunt în clasă?

Vezi rezolvarea

1. O șeptime din 28: $28:7=4$.
2. Trei șeptimi: $3\cdot 4=12$ băieți.
3. Fetele: $28-12=16$ (sau $\frac{4}{7}$ din 28 $=4\cdot 4=16$).

Răspuns: 12 băieți și 16 fete

Exemplul 2. Calculează: a) $35\mathrm{\%}$ din 260; b) $25\mathrm{\%}$ din 180; c) $10\mathrm{\%}$ din 3500.

Vezi rezolvarea

1. a) $\frac{35}{100}\cdot 260=\frac{35\cdot 260}{100}=\frac{9100}{100}=91$.
2. b) $25\mathrm{\%}=\frac{1}{4}$, deci $180:4=45$.
3. c) $10\mathrm{\%}=\frac{1}{10}$, deci $3500:10=350$.

Răspuns: a) 91; b) 45; c) 350

Exemplul 3. Calculează $\frac{2}{3}$ din $\frac{9}{10}$ și $50\mathrm{\%}$ din $\frac{7}{4}$.

Vezi rezolvarea

1. $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}=\frac{18}{30}$; simplificăm cu 6: $\frac{3}{5}$.
2. $50\mathrm{\%}=\frac{1}{2}$, deci $\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{4}=\frac{7}{8}$.

Răspuns: $\frac{3}{5}$ și $\frac{7}{8}$

Exemplul 4. O bicicletă costa 340 de lei și s-a scumpit cu $15\mathrm{\%}$. Cât costă acum?

Vezi rezolvarea

1. Scumpirea: $\frac{15}{100}\cdot 340=\frac{5100}{100}=51$ de lei.
2. Noul preț: $340+51=391$ de lei.

Răspuns: 391 de lei

Exemplul 5. O carte are 240 de pagini. Ana citește în prima zi $\frac{1}{4}$ din carte, în a doua zi $\frac{2}{3}$ din rest, iar în a treia zi termină cartea. Câte pagini citește în fiecare zi?

Vezi rezolvarea

1. Prima zi: $240:4=60$ de pagini. Rest: $240-60=180$ de pagini.
2. A doua zi: $\frac{2}{3}$ din 180 $=(180:3)\cdot 2=120$ de pagini.
3. A treia zi: $180-120=60$ de pagini.
4. Verificare: $60+120+60=240$.

Răspuns: 60, 120 și 60 de pagini

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Mihai cheltuiește $20\mathrm{\%}$ dintr-o sumă de bani, apoi $25\mathrm{\%}$ din suma rămasă, și îi mai rămân 120 de lei. Ce sumă a avut la început?

Vezi rezolvarea

1. Lucrăm cu fracții: $20\mathrm{\%}=\frac{1}{5}$, deci după prima cheltuială rămân $\frac{4}{5}$ din sumă. Din acest rest cheltuiește $25\mathrm{\%}=\frac{1}{4}$, deci rămân $\frac{3}{4}$ din rest.
2. Mergem invers. $\frac{3}{4}$ din rest înseamnă 120 de lei, deci $\frac{1}{4}$ din rest are $120:3=40$ de lei, iar restul are $4\cdot 40=160$ de lei.
3. $\frac{4}{5}$ din sumă înseamnă 160 de lei, deci $\frac{1}{5}$ din sumă are $160:4=40$ de lei, iar suma are $5\cdot 40=200$ de lei (metoda reducerii la unitate).
4. Verificare: $20\mathrm{\%}$ din 200 $=40$, rămân 160; $25\mathrm{\%}$ din 160 $=40$, rămân 120.

Răspuns: 200 de lei

Greșeli frecvente

• Împarți la numărător în loc de numitor: $\frac{3}{4}$ din 48 nu este $48:3\cdot 4$; împarți la numitor (4) și înmulțești cu numărătorul (3): $12\cdot 3=36$.
• Calculezi „din rest” din tot: în exemplul 5, $\frac{2}{3}$ se ia din cele 180 de pagini rămase, nu din 240.
• Aduni procentele succesive: o reducere cu $20\mathrm{\%}$ urmată de una cu $25\mathrm{\%}$ din noul preț nu înseamnă $45\mathrm{\%}$ din prețul inițial (în exemplul 6, s-au cheltuit 80 de lei din 200, adică $40\mathrm{\%}$).
• Uiți ultimul pas la scumpiri și reduceri: $15\mathrm{\%}$ din 340 este doar scumpirea (51 de lei); prețul nou este $340+51$.

Verifică-te

Exersează

• Fracții ordinare — exerciții rezolvate pas cu pas, clasa a 5-a (inclusiv fracții dintr-un număr).
• Formule și exemple cu procente: procente — formule; verifică-ți calculele cu calculatorul de procente.
• La Evaluarea Națională: EN 2026, Subiectul I, itemul 2 ($40\mathrm{\%}$ din cei 250 de elevi, rezolvat aici) și EN 2023, Subiectul I, itemul 4 ($\frac{2}{3}$ din 12, rezolvat aici).
• Toți itemii EN cu procente și fracții dintr-un număr: rapoarte, proporții, procente — EN.

Întrebări frecvente

Cum se calculează o fracție dintr-un număr? Înmulțești fracția cu numărul. Când numărul se împarte exact la numitor, e mai simplu să împarți întâi la numitor și apoi să înmulțești cu numărătorul: $\frac{3}{4}$ din 48 $=(48:4)\cdot 3=36$.

Cum se calculează un procent dintr-un număr? Scrii procentul ca fracție cu numitorul 100 și îl înmulțești cu numărul: $35\mathrm{\%}$ din 260 $=\frac{35}{100}\cdot 260=91$.

Cât la sută înseamnă o jumătate sau un sfert? O jumătate este $50\mathrm{\%}$, un sfert este $25\mathrm{\%}$, trei sferturi sunt $75\mathrm{\%}$, iar a zecea parte este $10\mathrm{\%}$.