Scrierea în baza 10 și în baza 2 — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să scrii un număr natural ca sumă de unități, zeci, sute (scrierea în baza 10) și să treci un număr din baza 10 în baza 2 și înapoi. Scrierea $\overline{ab}=10a+b$ este cheia multor probleme cu cifre necunoscute, inclusiv la Evaluarea Națională, iar baza 2 este felul în care calculatoarele memorează numerele.

Teorie

Scrierea în baza 10

Numerele noastre sunt scrise în baza 10: grupăm unitățile câte 10. Fiecare cifră se înmulțește cu valoarea poziției ei: 1, 10, 100, 1 000, ..., adică puteri ale lui 10 (${10}^0=1$, ${10}^1=10$, ${10}^2=100$, ${10}^3=1000$).

$$4073=4\cdot 1000+0\cdot 100+7\cdot 10+3=4\cdot {10}^3+0\cdot {10}^2+7\cdot 10+3.$$

Pentru numere cu cifre necunoscute (cifra din stânga nenulă):

$$\overline{ab}=10\cdot a+b,\overline{abc}=100\cdot a+10\cdot b+c,\overline{abcd}=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d.$$

Atenție: $\overline{ab}$ (bară deasupra) este un număr de două cifre, iar $ab$ fără bară înseamnă produsul $a\cdot b$. De exemplu, pentru $a=3$, $b=5$: $\overline{ab}=35$, dar $a\cdot b=15$.

Scrierea în baza 2

În baza 2 grupăm unitățile câte 2. Se folosesc doar cifrele $0$ și $1$, iar pozițiile valorează puteri ale lui 2:

Poziția (de la dreapta)	a 8-a	a 7-a	a 6-a	a 5-a	a 4-a	a 3-a	a 2-a	1-a
Valoarea	$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$

Ca să nu confundăm, scriem baza ca indice: ${\overline{1011}}_{(2)}$ este un număr scris în baza 2, iar $1011$ fără indice este „o mie unsprezece”, în baza 10.

Din baza 2 în baza 10: adunăm valorile pozițiilor pe care se află cifra 1.

$${\overline{1011}}_{(2)}=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2+1=8+2+1=11.$$

Din baza 10 în baza 2 (două metode):

1. Împărțiri succesive la 2: împărțim numărul la 2, apoi câtul la 2 și tot așa, până obținem câtul 0. Resturile (0 sau 1), citite de jos în sus, sunt cifrele în baza 2.
2. Cu puteri ale lui 2: scădem cea mai mare putere a lui 2 care încape în număr, apoi repetăm cu ce a rămas; pe pozițiile puterilor folosite punem 1, pe celelalte 0.

De ce citim resturile de jos în sus? Primul rest spune dacă numărul este par sau impar, adică cifra unităților (poziția cu valoarea 1). Câtul numără perechile, deci următorul rest dă cifra perechilor (valoarea 2), apoi a grupelor de 4 și așa mai departe. Primul rest obținut este ultima cifră din dreapta.

Programa clasei a V-a cere doar scrierea în baza 2 (trecerea dintr-o bază în alta), fără operații de adunare sau înmulțire în baza 2.

De reținut

• $\overline{ab}=10a+b$; $\overline{abc}=100a+10b+c$; prima cifră este nenulă.
• În baza 2 sunt doar cifrele 0 și 1; pozițiile valorează 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
• Baza 2 → baza 10: aduni puterile lui 2 de pe pozițiile cu cifra 1.
• Baza 10 → baza 2: împărțiri repetate la 2, resturile citite de jos în sus.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Scrie numărul $30516$ ca sumă de produse cu puteri ale lui 10.

Vezi rezolvarea

1. Cifrele, de la stânga: 3 zeci de mii, 0 mii, 5 sute, 1 zece, 6 unități.
2. $30516=3\cdot 10000+0\cdot 1000+5\cdot 100+1\cdot 10+6$.

Răspuns: $30516=3\cdot {10}^4+0\cdot {10}^3+5\cdot {10}^2+1\cdot 10+6$

Exemplul 2. Află numerele de forma $\overline{ab}$, cu cifre nenule, pentru care $\overline{ab}+\overline{ba}=121$.

Vezi rezolvarea

1. Scriem în baza 10: $\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11\cdot (a+b)$.
2. $11\cdot (a+b)=121$, deci $a+b=121:11=11$.
3. Perechi de cifre nenule cu suma 11: $(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5),(7,4),(8,3),(9,2)$.

Răspuns: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Exemplul 3. Scrie în baza 10 numărul ${\overline{101101}}_{(2)}$.

Vezi rezolvarea

1. Pozițiile de la dreapta valorează $1,2,4,8,16,32$. Cifrele, de la dreapta: $1,0,1,1,0,1$.
2. Adunăm valorile pozițiilor cu cifra 1: $32+8+4+1=45$.

Răspuns: ${\overline{101101}}_{(2)}=45$

Exemplul 4. Scrie numărul 37 în baza 2, prin împărțiri succesive la 2. Verifică rezultatul.

Vezi rezolvarea

1. $37:2=18$ rest $1$; $18:2=9$ rest $0$; $9:2=4$ rest $1$.
2. $4:2=2$ rest $0$; $2:2=1$ rest $0$; $1:2=0$ rest $1$.
3. Citim resturile de jos în sus: $1,0,0,1,0,1$.
4. Verificare: ${\overline{100101}}_{(2)}=32+4+1=37$.

Răspuns: $37={\overline{100101}}_{(2)}$

Exemplul 5. Scrie numărul 100 în baza 2 folosind puterile lui 2.

Vezi rezolvarea

1. Cea mai mare putere a lui 2 care încape în 100 este $64$: $100-64=36$.
2. În 36 încape $32$: $36-32=4$; iar $4=2^2$.
3. Deci $100=64+32+4$: cifra 1 pe pozițiile cu valorile 64, 32, 4 și 0 pe pozițiile 16, 8, 2, 1.

Răspuns: $100={\overline{1100100}}_{(2)}$

Exemplul 6 (nivel concurs / evaluare). a) Arată că $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111\cdot (a+b+c)$, pentru orice cifre nenule $a,b,c$.
b) Calculează suma, știind că $a+b+c=12$.
c) Câte numere naturale se scriu în baza 2 cu exact cinci cifre?

Vezi rezolvarea

1. a) $\overline{abc}=100a+10b+c$, $\overline{bca}=100b+10c+a$, $\overline{cab}=100c+10a+b$.
2. Adunăm: fiecare literă apare o dată cu 100, o dată cu 10 și o dată cu 1, deci suma este $111a+111b+111c=111\cdot (a+b+c)$.
3. b) $111\cdot 12=1332$ (de exemplu $345+453+534=1332$).
4. c) Cel mai mic este ${\overline{10000}}_{(2)}=16$, iar cel mai mare ${\overline{11111}}_{(2)}=16+8+4+2+1=31$. De la 16 la 31 sunt $31-16+1=16$ numere.

Răspuns: b) $1332$; c) 16 numere (de la 16 la 31)

Greșeli frecvente

• Scrii $\overline{ab}=a+b$ sau $\overline{ab}=a\cdot b$: corect $\overline{ab}=10a+b$. Pentru $\overline{ab}=47$: $10\cdot 4+7=47$, dar $4+7=11$.
• Citești resturile de sus în jos: pentru 37 ai obține $101001$, adică 41. Primul rest este ultima cifră din dreapta, deci citești de jos în sus.
• Uiți zerourile în baza 2: $100=64+32+4$ nu se scrie $111$, ci ${\overline{1100100}}_{(2)}$: fiecare putere „sărită” primește cifra 0.
• Începi pozițiile cu 2 în loc de 1: poziția din dreapta valorează $2^0=1$, nu 2.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: puteri, clasa a 5-a (puterile lui 10 și ale lui 2, printabilă, cu răspunsuri) și fișa cu operații cu numere naturale.
• Teorie despre puteri: puteri cu exponent natural; exerciții: puteri — exerciții rezolvate, clasa a 5-a.
• La Evaluarea Națională: testul de antrenament 5 din 2022, Subiectul al III-lea, problema 1 (numărul $\overline{abc}$ împărțit la $\overline{ac}$ dă câtul 6 și restul 5, rezolvată cu scrierea în baza 10, rezolvat aici).

Întrebări frecvente

Cum transform un număr din baza 10 în baza 2? Împarți numărul la 2, apoi câtul la 2 și tot așa până obții câtul 0. Resturile, citite de jos în sus, sunt cifrele în baza 2. De exemplu, $37={\overline{100101}}_{(2)}$.

Cum transform un număr din baza 2 în baza 10? Fiecare poziție valorează o putere a lui 2 (1, 2, 4, 8, 16, ... de la dreapta). Aduni valorile pozițiilor pe care este cifra 1: ${\overline{1011}}_{(2)}=8+2+1=11$.

Ce înseamnă $\overline{ab}$ cu bară deasupra? Este numărul de două cifre cu $a$ zeci și $b$ unități, adică $10a+b$, cu $a\ne 0$. Fără bară, $ab$ înseamnă produsul $a\cdot b$.