Proprietatea lui Darboux — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți proprietatea lui Darboux: o funcție continuă pe un interval nu „sare” peste valori, deci dacă ia valorile $f(a)$ și $f(b)$, ia și orice valoare dintre ele. Consecințele le folosești des: arăți că o ecuație are soluții (dacă $f(a)\cdot f(b)<0$), stabilești semnul unei funcții între zerourile ei și afli imaginea unei funcții, inclusiv la Bacalaureat, Subiectul al III-lea.

Teorie

Definiția

Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$. Spunem că $f$ are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice $a,b\in I$, $a<b$, și orice număr $\lambda$ cuprins între $f(a)$ și $f(b)$ există cel puțin un $c\in [a,b]$ astfel încât $f(c)=\lambda$.

Altfel spus: imaginea oricărui interval $J\subseteq I$ este tot un interval.

Grafic: dacă $f(a)<\lambda <f(b)$, orice dreaptă orizontală $y=\lambda$ dintre ele taie graficul (o dată sau de mai multe ori).

Funcțiile continue au proprietatea lui Darboux

$$f\text{ continuă pe intervalul }I⟹f\text{ are proprietatea lui Darboux pe }I.$$

Rezultatul se folosește fără demonstrație (de aceea programa spune „proprietatea lui Darboux”). Intuitiv: graficul unei funcții continue pe un interval se trasează fără a ridica creionul, deci nu poate trece de pe o parte pe alta a dreptei $y=\lambda$ fără să o intersecteze. Ipoteza „pe un interval” este esențială: $f(x)=\frac{1}{x}$ este continuă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, ia valorile $-1$ și $1$, dar nu ia niciodată valoarea 0.

Consecința 1: existența soluțiilor unei ecuații

$$f\text{ continuă pe }[a,b],f(a)\cdot f(b)<0⟹\mathrm{\exists }c\in (a,b)\text{ cu }f(c)=0.$$

Dacă, în plus, $f$ este strict monotonă pe $[a,b]$, soluția este unică (o funcție strict monotonă este injectivă). Pentru a arăta monotonia fără derivate folosești faptul că suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare.

Consecința 2: semnul unei funcții continue

O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează pe acel interval, are semn constant pe el (dacă ar lua o valoare negativă și una pozitivă, ar lua și valoarea 0). Așadar, între două zerouri consecutive ale unei funcții continue semnul nu se schimbă, iar semnul se află dintr-o singură valoare de test. Așa se rezolvă inecuațiile $f(x)\ge 0$ pentru funcții care nu sunt polinomiale.

Consecința 3: imaginea unei funcții

Dacă $f$ este continuă și strict crescătoare pe $[a,b]$, atunci $f([a,b])=[f(a),f(b)]$; pe un interval deschis $(a,b)$, imaginea este intervalul dintre limitele la capete. Pentru funcții strict descrescătoare capetele se inversează.

O funcție cu salt nu are proprietatea lui Darboux

Dacă $f$ are un punct de discontinuitate de prima speță (un salt), atunci $f$ nu are proprietatea lui Darboux: valorile din „golul” saltului sunt sărite (vezi exemplul 5). Reciproca teoremei de mai sus nu este adevărată: există funcții care au proprietatea lui Darboux fără să fie continue (de exemplu $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$, $f(0)=0$).

Metoda înjumătățirii intervalului

Proprietatea lui Darboux permite și aproximarea unei soluții: dacă $f(a)\cdot f(b)<0$, calculezi $f$ în mijlocul $m=\frac{a+b}{2}$ și păstrezi jumătatea $[a,m]$ sau $[m,b]$ la capetele căreia $f$ are semne contrare. După $k$ pași soluția este localizată într-un interval de lungime $\frac{b-a}{2^k}$.

De reținut

• Continuă pe interval $\Rightarrow$ Darboux $\Rightarrow$ imaginea unui interval este un interval.
• $f(a)\cdot f(b)<0$ și $f$ continuă pe $[a,b]$ $\Rightarrow$ ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$; strict monotonă $\Rightarrow$ exact una.
• Între două zerouri consecutive o funcție continuă are semn constant.
• Domeniul trebuie să fie un interval; o funcție cu salt nu are proprietatea lui Darboux.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Arată că ecuația $x^3+x-1=0$ are o soluție unică în $(0,1)$ și găsește un interval de lungime $\frac{1}{4}$ care o conține.

Vezi rezolvarea

1. Fie $f(x)=x^3+x-1$, continuă pe $\mathbb{R}$ (polinomială). $f(0)=-1<0$, $f(1)=1>0$, deci $f(0)\cdot f(1)<0$: există $c\in (0,1)$ cu $f(c)=0$.
2. Unicitate: $x^3$ și $x-1$ sunt strict crescătoare, deci suma lor $f$ este strict crescătoare, injectivă; soluția este unică.
3. Înjumătățire: $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{8}<0$, deci $c\in (\frac{1}{2},1)$; $f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{64}+\frac{3}{4}-1=\frac{11}{64}>0$, deci $c\in (\frac{1}{2},\frac{3}{4})$.

Răspuns: soluția unică $c\in (\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ (de fapt $c\approx \mathrm{0,682}$)

Exemplul 2. Arată că ecuația $\ln x=2-x$ are o soluție unică și că aceasta se află în intervalul $(1,2)$.

Vezi rezolvarea

1. Ecuația este echivalentă cu $f(x)=0$, unde $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x+x-2$, continuă (sumă de funcții elementare).
2. $f(1)=0+1-2=-1<0$ și $f(2)=\ln 2>0$ (pentru că $2>1$). Din consecința 1, există $c\in (1,2)$ cu $f(c)=0$.
3. $\ln x$ și $x-2$ sunt strict crescătoare, deci $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$ și se anulează o singură dată.

Răspuns: ecuația are o soluție unică, $c\in (1,2)$ ($c\approx \mathrm{1,557}$)

Exemplul 3. Arată că ecuația $x^3-3x+1=0$ are trei soluții reale și localizează-le.

Vezi rezolvarea

1. $f(x)=x^3-3x+1$ este continuă pe $\mathbb{R}$. Calculezi câteva valori: $f(-2)=-1$, $f(0)=1$, $f(1)=-1$, $f(2)=3$.
2. Semnul se schimbă pe fiecare dintre intervalele $(-2,0)$, $(0,1)$, $(1,2)$, deci pe fiecare există cel puțin o soluție.
3. Intervalele sunt disjuncte, deci soluțiile sunt distincte; o ecuație de gradul al III-lea are cel mult trei soluții reale, deci are exact trei.

Răspuns: exact trei soluții, câte una în $(-2,0)$, $(0,1)$ și $(1,2)$

Exemplul 4. Rezolvă inecuația $\frac{(x-2)(e^x-1)}{x+1}\le 0$.

Vezi rezolvarea

1. Domeniul: $x\ne -1$. Funcția $f(x)=\frac{(x-2)(e^x-1)}{x+1}$ este continuă pe $(-\mathrm{\infty },-1)$ și pe $(-1,+\mathrm{\infty })$.
2. Zerourile: $x-2=0⟺x=2$; $e^x-1=0⟺x=0$. Pe fiecare dintre intervalele $(-\mathrm{\infty },-1)$, $(-1,0)$, $(0,2)$, $(2,+\mathrm{\infty })$ funcția este continuă și nu se anulează, deci are semn constant.
3. Valori de test: $f(-2)=\frac{(-4)(e^{-2}-1)}{-1}<0$ (numărătorul este pozitiv, numitorul negativ); $f(-\frac{1}{2})=\frac{(-\frac{5}{2})(e^{-\frac{1}{2}}-1)}{\frac{1}{2}}>0$; $f(1)=\frac{(-1)(e-1)}{2}<0$; $f(3)=\frac{e^3-1}{4}>0$.
4. Adaugi zerourile $0$ și $2$ (inegalitatea este nestrictă) și excluzi $-1$.

Răspuns: $x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [0,2]$

Exemplul 5. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ x^2,& x\ge 0\end{array}$ nu are proprietatea lui Darboux.

Vezi rezolvarea

1. Alegi $a=-\frac{1}{2}$ și $b=0$: $f(a)=\frac{1}{2}$, $f(b)=0$. Valoarea $\lambda =\frac{1}{4}$ este cuprinsă între ele.
2. Pe $[-\frac{1}{2},0)$, $f(x)=x+1\in [\frac{1}{2},1)$, deci $f(x)\ne \frac{1}{4}$; iar $f(0)=0\ne \frac{1}{4}$.
3. Nu există $c\in [a,b]$ cu $f(c)=\frac{1}{4}$. Cauza: în 0 funcția are un salt ($l_s(0)=1$, $f(0)=0$).

Răspuns: $f$ nu are proprietatea lui Darboux (valoarea $\frac{1}{4}$ este „sărită”)

Exemplul 6 (tip M1). Fie $f:[0,1]\to [0,1]$ o funcție continuă. Arată că există $c\in [0,1]$ cu $f(c)=c$.

Vezi rezolvarea

1. Consideri $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-x$, continuă (diferență de funcții continue).
2. Cum valorile lui $f$ sunt în $[0,1]$: $g(0)=f(0)\ge 0$ și $g(1)=f(1)-1\le 0$.
3. Dacă $g(0)=0$ sau $g(1)=0$, ai găsit $c$. Altfel $g(0)>0>g(1)$ și, din proprietatea lui Darboux, există $c\in (0,1)$ cu $g(c)=0$, adică $f(c)=c$.

Răspuns: există întotdeauna un punct fix $c\in [0,1]$ (grafic: graficul lui $f$ taie prima bisectoare)

Greșeli frecvente

• Uiți ipoteza de continuitate sau de interval. $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f(-1)\cdot f(1)<0$, dar nu se anulează: domeniul ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval.
• Din $f(a)\cdot f(b)<0$ deduci „exact o soluție”. Proprietatea lui Darboux dă cel puțin o soluție; unicitatea cere monotonie strictă.
• Din $f(a)\cdot f(b)>0$ deduci „nicio soluție”. Fals: $f(x)=x^2-1$ are $f(-2)\cdot f(2)=9>0$, dar se anulează de două ori în $(-2,2)$.
• Iei valoarea de test chiar într-un zero sau sari peste un punct în care funcția nu este definită: împarte întâi domeniul după zerouri și după punctele excluse.

Verifică-te

Exersează

• Înainte: funcții continue (lecția precedentă) și fișa de lucru cu continuitate și asimptote.
• La Bacalaureat (M1), proprietatea lui Darboux apare la Subiectul al III-lea, 1 c), combinată cu monotonia aflată cu derivata: Bac M1 2025, sesiunea iunie, 1 c) (funcția este bijectivă: continuă, deci are proprietatea lui Darboux, și ia toate valorile reale, rezolvat aici) și Bac M1 2022, sesiunea iunie, 1 c) (ecuația $f(x)=m$ are soluție unică, rezolvat aici). Similar: Bac M1 2026, sesiunea august, 1 c) (rezolvat aici).
• Toate cerințele de acest tip: derivate și studiul funcțiilor la Bacalaureat.

Proprietatea lui Darboux și semnul unei funcții continue sunt în programa de clasa a XI-a atât la mate-info (M1), cât și la științele naturii (M2).

Întrebări frecvente

Ce spune proprietatea lui Darboux? O funcție care o are, definită pe un interval, nu sare peste valori: dacă ia valorile $f(a)$ și $f(b)$, ia și orice valoare dintre ele, într-un punct din $[a,b]$. Orice funcție continuă pe un interval are această proprietate.

Cum arăt că o ecuație are cel puțin o soluție? Scrii ecuația sub forma $f(x)=0$, cu $f$ continuă pe un interval $[a,b]$, și găsești două valori cu semne contrare, $f(a)\cdot f(b)<0$. Atunci există $c\in (a,b)$ cu $f(c)=0$; dacă $f$ este strict monotonă, soluția este unică.

Orice funcție cu proprietatea lui Darboux este continuă? Nu. Continuitatea implică proprietatea lui Darboux, dar reciproca este falsă: funcția $\sin \frac{1}{x}$ prelungită cu $f(0)=0$ are proprietatea lui Darboux, deși nu este continuă în 0. În schimb, o funcție cu un salt nu are proprietatea lui Darboux.