Funcții continue — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți când o funcție este continuă într-un punct: limita funcției în acel punct există și este egală cu valoarea funcției, adică $l_s=l_d=f(x_0)$. Afli că funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor, cum studiezi continuitatea funcțiilor definite pe ramuri și cum clasifici punctele de discontinuitate. Continuitatea este baza proprietății lui Darboux, a derivatelor și a integralelor.

Teorie

Definiția continuității

Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$. Funcția $f$ este continuă în punctul $x_0$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $f(x_0)$ există o vecinătate $U$ a lui $x_0$ astfel încât $f(x)\in V$ pentru orice $x\in U\cap D$.

În practică, dacă $x_0$ este punct de acumulare al domeniului (de exemplu orice punct al unui interval), definiția revine la:

$$f\text{ continuă în }{x}_0⟺\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0).$$

Dacă $x_0$ este un punct interior unui interval inclus în domeniu, condiția se verifică prin limitele laterale:

$$l_s(x_0)=l_d(x_0)=f(x_0),l_s(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{lim}f(x),l_d(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{lim}f(x).$$

Sunt trei condiții: limitele laterale există, sunt egale între ele și sunt egale cu valoarea funcției. Într-un capăt al intervalului (de exemplu $x_0=a$ pentru $[a,b]$) se verifică doar limita laterală care are sens. Într-un punct izolat al domeniului (de exemplu orice punct al lui $\mathbb{N}$) funcția este continuă automat.

Funcția este continuă pe o mulțime $A\subseteq D$ dacă este continuă în fiecare punct din $A$; este continuă dacă este continuă în toate punctele domeniului.

Interpretarea grafică

Pe un interval, graficul unei funcții continue este o curbă „fără rupturi”: poate fi trasat fără a ridica creionul de pe hârtie. Când graficul are un salt, funcția nu este continuă în acel punct:

În figură $l_s(x_0)=1$, iar $l_d(x_0)=f(x_0)=3$: limitele laterale diferă, deci $f$ nu este continuă în $x_0$.

Funcțiile elementare sunt continue

Funcțiile studiate (polinomiale, raționale, putere, radical, exponențiale, logaritmice, trigonometrice directe și inverse, modulul) sunt continue pe domeniul lor de definiție. Atenție: $f(x)=\frac{1}{x}$, $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, este continuă, pentru că $0$ nu aparține domeniului; întrebarea „este continuă în 0?” nu are sens.

Operații cu funcții continue

Dacă $f$ și $g$ sunt continue în $x_0$, atunci $f+g$, $f-g$, $\alpha f$, $f\cdot g$, $|f|$ și $\frac{f}{g}$ (dacă $g(x_0)\ne 0$) sunt continue în $x_0$. Compunerea a două funcții continue este continuă: dacă $u$ este continuă în $x_0$ și $f$ este continuă în $u(x_0)$, atunci $f\circ u$ este continuă în $x_0$. De aceea $e^{x^2+1}$, $\ln (1+x^2)$, $\sin \sqrt{x}$ sunt continue pe domeniul lor, fără alte calcule.

Puncte de discontinuitate

Dacă $f$ nu este continuă în $x_0\in D$, punctul $x_0$ este punct de discontinuitate:

• de prima speță, dacă limitele laterale în $x_0$ există și sunt finite (ca saltul din figură sau ca o valoare „mutată”: $l_s=l_d\ne f(x_0)$);
• de speța a doua, în celelalte cazuri: cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există.

Prelungirea prin continuitate

Dacă $f$ nu este definită în $x_0$, dar $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=l\in \mathbb{R}$, funcția obținută adăugând valoarea $f(x_0)=l$ este continuă în $x_0$ și se numește prelungirea prin continuitate a lui $f$. Exemplu: $\frac{\sin x}{x}$ se prelungește prin continuitate în 0 cu valoarea 1.

De reținut

• Continuitate în $x_0$ (punct interior): $l_s(x_0)=l_d(x_0)=f(x_0)$.
• Funcțiile elementare și toate funcțiile obținute din ele prin operații și compuneri sunt continue pe domeniul lor.
• La funcțiile pe ramuri verifici continuitatea doar în punctele de racord; pe fiecare ramură deschisă funcția este elementară.
• Continuitatea se studiază doar în puncte ale domeniului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Studiază continuitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Pe $(-\mathrm{\infty },1)$ și pe $(1,+\mathrm{\infty })$ funcția este polinomială, deci continuă.
2. În punctul de racord $x_0=1$: $l_s(1)=\underset{x\nearrow 1}{lim}(x^2+1)=2$, $l_d(1)=\underset{x\searrow 1}{lim}(3x-1)=2$, $f(1)=1^2+1=2$ (punctul 1 aparține primei ramuri).
3. Cum $l_s(1)=l_d(1)=f(1)$, $f$ este continuă în 1.

Răspuns: $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$

Exemplul 2. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{x}},& x<0\\ x+m,& x\ge 0\end{array}$ este continuă.

Vezi rezolvarea

1. Limita la stânga, cu limita remarcabilă $\frac{e^u-1}{u}\to 1$ pentru $u\to 0$: $$\begin{array}{rl}{l}_s(0)& =\underset{x\nearrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{x}\\ & =\underset{x\nearrow 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2=1\cdot 2=2.\end{array}$$
2. $l_d(0)=\underset{x\searrow 0}{lim}(x+m)=m$ și $f(0)=m$.
3. Continuitate în 0: $2=m$.

Răspuns: $m=2$

Exemplul 3. Stabilește natura punctului de discontinuitate: a) $f(x)=\frac{x^2-1}{|x-1|}$ pentru $x\ne 1$, $f(1)=2$; b) $g(x)=e^{\frac{1}{x}}$ pentru $x\ne 0$, $g(0)=0$.

Vezi rezolvarea

1. a) Pentru $x<1$, $|x-1|=1-x$, deci $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}=-(x+1)\to -2$. Pentru $x>1$, $f(x)=x+1\to 2$.
2. Limitele laterale există, sunt finite ($-2$ și $2$), dar diferite: $x_0=1$ este punct de discontinuitate de prima speță (salt).
3. b) Pentru $x\nearrow 0$, $\frac{1}{x}\to -\mathrm{\infty }$, deci $e^{\frac{1}{x}}\to 0$; pentru $x\searrow 0$, $\frac{1}{x}\to +\mathrm{\infty }$, deci $e^{\frac{1}{x}}\to +\mathrm{\infty }$.
4. Limita la dreapta este infinită: $x_0=0$ este punct de discontinuitate de speța a doua (chiar dacă $l_s(0)=0=g(0)$).

Răspuns: a) prima speță; b) speța a doua

Exemplul 4. Funcția $f:[-4,0)\cup (0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$, se poate prelungi prin continuitate în 0? Cu ce valoare?

Vezi rezolvarea

1. Cazul $\frac{0}{0}$. Amplifici cu conjugatul: $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$.
2. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$, limită finită.
3. Deci $f$ se prelungește prin continuitate în 0, punând $f(0)=\frac{1}{4}$.

Răspuns: da, cu valoarea $\frac{1}{4}$

Exemplul 5. Studiază continuitatea funcției parte întreagă, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]$.

Vezi rezolvarea

1. Dacă $x_0\notin \mathbb{Z}$, atunci $k<x_0<k+1$ pentru un $k\in \mathbb{Z}$, iar pe intervalul $(k,k+1)$ funcția este constantă $k$; deci este continuă în $x_0$.
2. Dacă $x_0=k\in \mathbb{Z}$: pentru $x\in (k-1,k)$, $[x]=k-1$, deci $l_s(k)=k-1$; pentru $x\in (k,k+1)$, $[x]=k$, deci $l_d(k)=k=f(k)$.
3. $l_s(k)\ne l_d(k)$, ambele finite: în fiecare număr întreg funcția are un salt de mărime 1.

Răspuns: $f$ este continuă pe $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$; fiecare $k\in \mathbb{Z}$ este punct de discontinuitate de prima speță

Exemplul 6 (tip M1). Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{2n}+2x}{x^{2n}+1}$. Explicitează funcția și studiază continuitatea ei.

Vezi rezolvarea

1. Dacă $|x|<1$: $x^{2n}=(x^2{)}^n\to 0$, deci $f(x)=\frac{0+2x}{0+1}=2x$.
2. Dacă $|x|>1$: împarți cu $x^{2n}\to +\mathrm{\infty }$: $f(x)=lim\frac{1+\frac{2x}{x^{2n}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}=1$.
3. Dacă $x=1$: $f(1)=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$; dacă $x=-1$: $f(-1)=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$.
4. Pe $(-\mathrm{\infty },-1)$, $(-1,1)$, $(1,+\mathrm{\infty })$ funcția este polinomială, deci continuă.
5. În $x=1$: $l_s(1)=\underset{x\nearrow 1}{lim}2x=2$, $l_d(1)=1$; în $x=-1$: $l_s(-1)=1$, $l_d(-1)=\underset{x\searrow -1}{lim}2x=-2$. În ambele puncte limitele laterale diferă.

Răspuns: $f(x)=2x$ pentru $|x|<1$, $f(x)=1$ pentru $|x|>1$, $f(1)=\frac{3}{2}$, $f(-1)=-\frac{1}{2}$; $f$ este continuă pe $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$, iar $\pm 1$ sunt puncte de discontinuitate de prima speță

Greșeli frecvente

• Verifici doar $l_s=l_d$. Mai trebuie ca limita să fie egală cu $f(x_0)$. Dacă $f(x)=x$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=5$, limitele laterale în 2 sunt egale (cu 2), dar $f$ nu este continuă în 2.
• „$\frac{1}{x}$ este discontinuă în 0”. Punctul 0 nu este în domeniu, deci nu este nici punct de continuitate, nici de discontinuitate. Funcția $\frac{1}{x}$ este continuă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.
• Calculezi $f(x_0)$ cu ramura greșită. În $\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$, $f(1)$ se calculează cu prima ramură (unde apare „$\le$”).
• Confunzi tipurile de discontinuitate. Prima speță: limitele laterale există și sunt finite. Dacă măcar una este infinită sau nu există, discontinuitatea este de speța a doua.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: continuitate și asimptote, clasa a 11-a (cu răspunsuri).
• Limitele de care ai nevoie: limite de funcții, limite laterale și limite remarcabile și limite de funcții — exerciții rezolvate.
• La Bacalaureat (M1), continuitatea funcțiilor elementare este folosită la aflarea imaginii unei funcții: Simularea Bac M1 2023, Subiectul al III-lea, 1 c) (imaginea funcției din monotonie și continuitate, rezolvat aici) și Simularea Bac M1 2025, Subiectul al III-lea, 1 c) (valorile naturale pe care funcția nu le ia, rezolvat aici). Monotonia se află acolo cu derivata, din capitolul următor.
• Lecția următoare: proprietatea lui Darboux.

Continuitatea este în programa de clasa a XI-a atât la mate-info (M1), cât și la științele naturii (M2). Funcțiile definite printr-o limită de șir (exemplul 6) sunt doar pentru M1.

Întrebări frecvente

Când este o funcție continuă într-un punct? Când limita funcției în acel punct există și este egală cu valoarea funcției. Pentru un punct interior unui interval din domeniu, condiția este $l_s(x_0)=l_d(x_0)=f(x_0)$.

Cum studiez continuitatea unei funcții definite pe ramuri? Pe fiecare ramură funcția este, de regulă, elementară, deci continuă. Rămân punctele de racord: în fiecare calculezi limita la stânga, limita la dreapta și valoarea funcției și verifici că sunt egale.

Ce înseamnă punct de discontinuitate de prima speță? Un punct în care funcția nu este continuă, dar limitele laterale există și sunt finite (de exemplu un salt). Dacă o limită laterală este infinită sau nu există, punctul este de discontinuitate de speța a doua.