Înmulțirea matricelor — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți regula „linie înmulțită cu coloană” prin care se înmulțesc două matrice, când are sens produsul și ce proprietăți are: este asociativ și distributiv, dar nu este comutativ. Înmulțirea matricelor apare în aproape fiecare Subiect II.1 de la Bacalaureat (M1 și M2), în cerințe de tipul $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$.

Teorie

De unde vine regula

Două librării au vândut într-o zi caiete, pixuri și creioane conform matricei $Q=\left(\begin{array}{ccc}10& 4& 6\\ 8& 5& 3\end{array}\right)$ (linia = librăria, coloana = produsul), iar prețurile sunt 3, 5 și 2 lei. Încasarea librăriei 1 este $10\cdot 3+4\cdot 5+6\cdot 2=62$ lei: am înmulțit linia librăriei cu coloana prețurilor, element cu element, și am adunat. Exact așa se definește produsul a două matrice.

Definiția produsului

Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$ și $B=(b_{jk})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ — numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$. Produsul $AB$ este matricea $C=(c_{ik})\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{R})$ cu

$$c_{ik}=a_{i1}{b}_{1k}+a_{i2}{b}_{2k}+\cdots +a_{in}{b}_{nk}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}.$$

Elementul de pe linia $i$ și coloana $k$ al produsului se obține înmulțind linia $i$ a lui $A$ cu coloana $k$ a lui $B$. Schema tipurilor: $(m,n)\cdot (n,p)=(m,p)$ — cele două „$n$” din mijloc trebuie să coincidă. Pentru ordinul 2:

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ax+bz& ay+bt\\ cx+dz& cy+dt\end{array}\right).$$

Proprietăți

Pentru matrice ale căror produse au sens și pentru orice număr $\alpha$:

• asociativitate: $(AB)C=A(BC)$ — pe poziția $(i,l)$ ambele dau $\sum _j\sum _k{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{kl}$, deci putem scrie simplu $ABC$;
• distributivitate: $A(B+C)=AB+AC$ și $(A+B)C=AC+BC$;
• element neutru: $I_{m}A=A{I}_n=A$ pentru $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$; în ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$: $A{I}_n=I_{n}A=A$;
• $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$ și ${}^t(AB)={}^{t}B{}^{t}A$ (ordinea se inversează).

Ce NU este adevărat

• Înmulțirea nu este comutativă: în general $AB\ne BA$ (vezi exemplul 1); uneori $AB$ există și $BA$ nici nu are sens. Matricele cu $AB=BA$ se numesc matrice care comută.
• Produsul a două matrice nenule poate fi matricea nulă (exemplul 3), deci din $AB=O_n$ nu rezultă $A=O_n$ sau $B=O_n$, iar din $AB=AC$ nu rezultă automat $B=C$.
• Formulele de calcul prescurtat se schimbă: $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, care este $A^2+2AB+B^2$ numai dacă $AB=BA$.

Forma matriceală a unui sistem

Sistemul $\{\begin{array}{l}2x+y-z=1\\ x-3y+2z=1\\ 3x+z=6\end{array}$ se scrie $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& -3& 2\\ 3& 0& 1\end{array}\right)$ (matricea sistemului), $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 6\end{array}\right)$. Vei folosi această scriere la capitolul „Sisteme de ecuații liniare”.

De reținut

• $AB$ există doar dacă (nr. coloane $A$) = (nr. linii $B$); $(m,n)\cdot (n,p)=(m,p)$.
• $c_{ik}$ = linia $i$ a lui $A$ „ori” coloana $k$ a lui $B$.
• Asociativă, distributivă, cu element neutru $I_n$ — dar necomutativă.
• Ordinea factorilor contează mereu: $AB$ și $BA$ sunt, în general, diferite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$. Calculează $AB$ și $BA$.

Vezi rezolvarea

1. $AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+2\cdot 1& 1\cdot 1+2\cdot (-1)\\ 3\cdot 0+4\cdot 1& 3\cdot 1+4\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -1\end{array}\right)$.
2. $BA=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 1+1\cdot 3& 0\cdot 2+1\cdot 4\\ 1\cdot 1-1\cdot 3& 1\cdot 2-1\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$.
3. Rezultatele diferă: $AB\ne BA$.

Răspuns: $AB=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -1\end{array}\right)$, $BA=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$

Exemplul 2. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\\ 1& 4\end{array}\right)$. Ce tip au $AB$ și $BA$? Calculează-le.

Vezi rezolvarea

1. $(2,3)\cdot (3,2)=(2,2)$ și $(3,2)\cdot (2,3)=(3,3)$: ambele produse există, dar au tipuri diferite.
2. $AB=\left(\begin{array}{cc}2+0+2& 1+0+8\\ -2+0+1& -1-3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ -1& 0\end{array}\right)$ (elementul $c_{12}=9$ este cel din figură).
3. $BA=\left(\begin{array}{ccc}2-1& 0+3& 4+1\\ 0+1& 0-3& 0-1\\ 1-4& 0+12& 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 1& -3& -1\\ -3& 12& 6\end{array}\right)$.

Răspuns: $AB=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ -1& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $BA=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 1& -3& -1\\ -3& 12& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

Exemplul 3. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Calculează $AB$ și $A\cdot A$.

Vezi rezolvarea

1. $AB=\left(\begin{array}{cc}1-1& -1+1\\ 1-1& -1+1\end{array}\right)=O_2$, deși $A\ne O_2$ și $B\ne O_2$.
2. $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1+1& 1+1\\ 1+1& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)=2A$.

Răspuns: $AB=O_2$, $A\cdot A=2A$

Exemplul 4. Determină toate matricele $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ care comută cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Fie $X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$. Atunci $AX=\left(\begin{array}{cc}p+r& q+s\\ r& s\end{array}\right)$ și $XA=\left(\begin{array}{cc}p& p+q\\ r& r+s\end{array}\right)$.
2. Egalăm: $p+r=p\Rightarrow r=0$; $q+s=p+q\Rightarrow s=p$; celelalte poziții dau $r=r$, $s=r+s$ (adică tot $r=0$).

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 0& p\end{array}\right)$, cu $p,q\in \mathbb{R}$

Exemplul 5 (tip Bac). Se consideră $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$ și $A(x)=I_2+xB=\left(\begin{array}{cc}1+x& x\\ 2x& 1+2x\end{array}\right)$, $x\in \mathbb{R}$. a) Arată că $B\cdot B=3B$. b) Arată că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y+3xy)$, pentru orice $x,y$ reali. c) Determină $x$ pentru care $A(x)\cdot A(1)=A(9)$.

Vezi rezolvarea

1. a) $B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1+2& 1+2\\ 2+4& 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 6& 6\end{array}\right)=3B$.
2. b) Folosind distributivitatea și faptul că $I_2$ este element neutru: $(I_2+xB)(I_2+yB)=I_2+yB+xB+xyB\cdot B=I_2+(x+y+3xy)B=A(x+y+3xy)$.
3. c) $A(x)\cdot A(1)=A(x+1+3x)=A(4x+1)$. Cum $A(u)=A(v)$ implică $u=v$ (elementul $(1,2)$), avem $4x+1=9$, deci $x=2$.

Răspuns: c) $x=2$

Exemplul 6 (aplicație). Cu datele din „De unde vine regula” (cantitățile $Q=\left(\begin{array}{ccc}10& 4& 6\\ 8& 5& 3\end{array}\right)$ și prețurile 3, 5, 2 lei), calculează încasările celor două librării printr-un produs de matrice.

Vezi rezolvarea

1. Scriem prețurile ca matrice coloană $P=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$; produsul $QP$ are tipul $(2,3)\cdot (3,1)=(2,1)$.
2. $QP=\left(\begin{array}{c}30+20+12\\ 24+25+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}62\\ 55\end{array}\right)$.

Răspuns: librăria 1 încasează 62 de lei, librăria 2 încasează 55 de lei

Greșeli frecvente

• Înmulțești element cu element: $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}ax& by\\ cz& dt\end{array}\right)$; regula este linie cu coloană.
• Schimbi ordinea factorilor: $AB$ și $BA$ sunt de obicei diferite; în ecuații, „înmulțirea la stânga” și „la dreapta” trebuie păstrate.
• Folosești $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$ avem $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ 12& 10\end{array}\right)$, dar $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 12& 4\end{array}\right)$.
• Simplifici: din $AB=AC$ nu rezultă $B=C$ (de exemplu, cu $A$ din exemplul 3, $AB=A\cdot O_2$ deși $B\ne O_2$).

Verifică-te

Exersează

• Matrice și determinanți — exerciții rezolvate pas cu pas și fișa de lucru de clasa a 11-a.
• La Bacalaureat: Bac M1 2022, sesiunea iunie, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) ($A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ pentru o matrice de ordinul 3, rezolvat aici) și Bac M2 2024, sesiunea august, Subiectul al II-lea, ex. 1 c) ($x$ pentru care $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$, matrice care comută, rezolvat aici).
• Toate cerințele de la Subiectul II.1: matrice și determinanți la Bacalaureat.
• Lecțiile vecine: adunarea matricelor și transpusa · puterile unei matrice.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două matrice? Elementul de pe linia $i$ și coloana $k$ al produsului $AB$ se obține înmulțind linia $i$ a lui $A$ cu coloana $k$ a lui $B$: produsele element cu element se adună.

Când se pot înmulți două matrice? Produsul $AB$ există numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$; din $(m,n)\cdot (n,p)$ rezultă o matrice de tipul $(m,p)$.

De ce înmulțirea matricelor nu este comutativă? Pentru că în $AB$ se combină liniile lui $A$ cu coloanele lui $B$, iar în $BA$ liniile lui $B$ cu coloanele lui $A$ — calcule diferite. De exemplu, $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$.