Puterile unei matrice — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cum se calculează $A^n$ pentru o matrice pătratică: prin inducție matematică, cu relația $A^2=kA$, cu binomul lui Newton pentru matrice care comută și cu relația Hamilton–Cayley pentru matricele de ordinul 2. Puterile de matrice apar la Bacalaureat la Subiectul II.1 (M1 și M2), de obicei la cerința c).

Teorie

Definiție și proprietăți

Pentru $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ definim $A^0=I_n$, $A^1=A$ și $A^{k+1}=A^k\cdot A$ pentru $k\in \mathbb{N}$. Deci $A^2=A\cdot A$, $A^3=A\cdot A\cdot A$ etc. Puterile au sens doar pentru matrice pătratice (altfel $A\cdot A$ nu există).

Din asociativitatea înmulțirii rezultă, pentru $p,q\in \mathbb{N}$:

$$A^p\cdot A^q=A^{p+q},{\left(A^p\right)}^q=A^{pq},A^p{A}^q=A^q{A}^p.$$

Atenție: $(AB{)}^n=A^n{B}^n$ și binomul lui Newton $(A+B{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$ sunt adevărate numai dacă $AB=BA$. Matricea $I_n$ comută cu orice matrice, de aceea $(a{I}_n+B{)}^n$ se poate dezvolta mereu cu binomul.

Metoda 1: calculez câteva puteri, intuiesc forma, demonstrez prin inducție

Calculezi $A^2$, $A^3$, observi regula, apoi o demonstrezi prin inducție matematică (clasa a IX-a): verifici pentru $n=1$ și arăți că din $P(k)$ rezultă $P(k+1)$, folosind $A^{k+1}=A^k\cdot A$.

Metoda 2: dacă $A^2=kA$

Atunci $A^3=A^2\cdot A=kA\cdot A=k{A}^2=k^{2}A$ și, prin inducție, $A^n=k^{n-1}A$ pentru orice $n\ge 1$.

Metoda 3: $A=a{I}_n+N$, cu $N^2=O_n$ (sau $N^3=O_n$)

Cum $a{I}_n$ comută cu $N$, aplicăm binomul lui Newton; toți termenii cu $N^2,N^3,\dots$ dispar:

$$A^n=(a{I}_n+N{)}^n=a^n{I}_n+C_n^1{a}^{n-1}N=a^n{I}_n+n{a}^{n-1}N(\text{dacă }{N}^2=O_n).$$

Dacă $N^2\ne O_n$ dar $N^3=O_n$, mai rămâne un termen: $A^n=a^n{I}_n+n{a}^{n-1}N+C_n^2{a}^{n-2}{N}^2$. O matrice $N$ cu o putere nulă se numește nilpotentă; matricele triunghiulare cu zerouri pe diagonală sunt nilpotente.

Metoda 4: relația Hamilton–Cayley (ordinul 2)

Pentru orice $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ are loc

$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=O_2.$$

De ce? Calcul direct: $A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)$, iar $(a+d)A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+bd\\ ac+cd& ad+d^2\end{array}\right)$; diferența este $\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& bc-ad\end{array}\right)=-(ad-bc)I_2$. Aici $a+d=\mathrm{tr}A$, iar numărul $ad-bc$ se va numi, în capitolul următor, determinantul matricei. Relația permite să scrii orice putere ca $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$: înlocuiești mereu $A^2$ cu $(a+d)A-(ad-bc)I_2$.

Matrice diagonale și matrice de rotație

• ${\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}^n& 0\\ 0& b^n\end{array}\right)$: o matrice diagonală se ridică la putere element cu element pe diagonală (doar ea!).
• $R(t)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$ verifică $R(t)R(u)=R(t+u)$ (formulele lui $\cos (t+u)$ și $\sin (t+u)$), deci $R(t{)}^n=R(nt)$.

De reținut

• $A^n$ se definește doar pentru matrice pătratice; $A^0=I_n$.
• În general $(A^n{)}_{ij}\ne (a_{ij}{)}^n$ — excepție: matricele diagonale.
• $A^2=kA\Rightarrow A^n=k^{n-1}A$; $A=aI+N$, $N^2=O\Rightarrow A^n=a^{n}I+n{a}^{n-1}N$.
• Ordinul 2: $A^2=(a+d)A-(ad-bc)I_2$.
• Binom și $(AB{)}^n=A^n{B}^n$ doar pentru matrice care comută.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculează $A^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi rezolvarea

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$. Intuim $P(n):A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$.
2. $P(1)$ este adevărată. Dacă $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$, atunci $A^{k+1}=A^{k}A=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& k+1\\ 0& 1\end{array}\right)$, adică $P(k+1)$.
3. Prin inducție, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$.

Răspuns: $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$

Exemplul 2. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$. Arată că $A^2=3A$, calculează $A^5$ și suma $S=A+A^2+\cdots +A^n$.

Vezi rezolvarea

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}4+2& 4+2\\ 2+1& 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ 3& 3\end{array}\right)=3A$.
2. Prin metoda 2, $A^n=3^{n-1}A$, deci $A^5=3^{4}A=81A=\left(\begin{array}{cc}162& 162\\ 81& 81\end{array}\right)$.
3. $S=(1+3+3^2+\cdots +3^{n-1})A=\frac{3^n-1}{2}A$ (suma unei progresii geometrice).

Răspuns: $A^5=\left(\begin{array}{cc}162& 162\\ 81& 81\end{array}\right)$, $S=\frac{3^n-1}{2}A$

Exemplul 3. Calculează $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. $A=I_3+N$, cu $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$; $N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $N^3=O_3$.
2. $I_3$ comută cu $N$, deci $A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2$.
3. Elementul $(1,3)$: $3n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 4=3n+2n^2-2n=2n^2+n$.

Răspuns: $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 2n& 2n^2+n\\ 0& 1& 2n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ (de exemplu, $A^{10}$ are în colțul din dreapta sus $210$).

Exemplul 4. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$. Scrie $A^2$, $A^3$ și $A^4$ sub forma $xA+y{I}_2$.

Vezi rezolvarea

1. Hamilton–Cayley: $a+d=5$, $ad-bc=4-6=-2$, deci $A^2-5A-2I_2=O_2$, adică $A^2=5A+2I_2$.
2. $A^3=A^2\cdot A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$.
3. $A^4=A^3\cdot A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A=145A+54I_2$.
4. Verificare: $A^3=27\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)+10I_2=\left(\begin{array}{cc}37& 54\\ 81& 118\end{array}\right)$, la fel ca prin înmulțire directă.

Răspuns: $A^2=5A+2I_2$, $A^3=27A+10I_2$, $A^4=145A+54I_2$

Exemplul 5. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{3}& -\sin \frac{\pi }{3}\\ \sin \frac{\pi }{3}& \cos \frac{\pi }{3}\end{array}\right)$. Calculează $A^6$ și $A^{2026}$.

Vezi rezolvarea

1. $A=R\left(\frac{\pi }{3}\right)$, deci $A^n=R\left(\frac{n\pi }{3}\right)$. Pentru $n=6$: $R(2\pi )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$.
2. $2026=6\cdot 337+4$, deci $A^{2026}=(A^6{)}^{337}\cdot A^4=A^4=R\left(\frac{4\pi }{3}\right)$.
3. $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Răspuns: $A^6=I_2$, $A^{2026}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Exemplul 6 (tip Bac). Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. a) Arată că $A^2=2A-I_2$. b) Arată că $A^n=\left(\begin{array}{cc}n+1& -n\\ n& 1-n\end{array}\right)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. c) Determină $n$ pentru care $A^n=\left(\begin{array}{cc}11& -10\\ 10& -9\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}4-1& -2\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$, iar $2A-I_2=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$. (Este chiar relația Hamilton–Cayley: $a+d=2$, $ad-bc=1$.)
2. b) Din a): $(A-I_2{)}^2=A^2-2A+I_2=O_2$. Notăm $N=A-I_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$, $N^2=O_2$, deci $A^n=(I_2+N{)}^n=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1+n& -n\\ n& 1-n\end{array}\right)$.
3. c) Comparând elementul $(1,1)$: $n+1=11$, deci $n=10$; celelalte elemente se potrivesc: $-10,10,-9$.

Răspuns: c) $n=10$

Greșeli frecvente

• Ridici fiecare element la putere: ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)}^2\ne \left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 9& 16\end{array}\right)$ (corect: $\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right)$). Regula element cu element merge doar la matrice diagonale.
• Scrii $(AB{)}^2=A^2{B}^2$ sau aplici binomul lui Newton pentru $(A+B{)}^n$ fără să verifici că $AB=BA$.
• Din $A^2=O_2$ deduci $A=O_2$: ${\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)}^2=O_2$, deși matricea nu e nulă.
• Te oprești la intuiție: forma lui $A^n$ ghicită din $A^2,A^3$ trebuie demonstrată (de obicei prin inducție) — la Bac fără demonstrație nu primești punctajul întreg.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: puteri de matrice și ecuații matriceale, clasa a 11-a (cu răspunsuri).
• La Bacalaureat: Simulare Bac M1 2022, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) ($B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^{3}B(1)$, rezolvat aici) și Model Bac 2027 M1, Subiectul al II-lea, ex. 1 c) ($a,b$ pentru care $A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=aA(x)+b{I}_3$, rezolvat aici).
• Toate cerințele cu puteri de matrice: matrice și determinanți la Bacalaureat.
• Lecția anterioară: înmulțirea matricelor; ce urmează: determinanți.

Întrebări frecvente

Cum se calculează puterea n a unei matrice? Calculezi $A^2$, $A^3$, intuiești forma lui $A^n$ și o demonstrezi prin inducție. Scurtături: dacă $A^2=kA$, atunci $A^n=k^{n-1}A$; dacă $A=aI+N$ cu $N^2=O$, atunci $A^n=a^{n}I+n{a}^{n-1}N$.

Ce spune relația Hamilton–Cayley? Pentru o matrice de ordinul 2, $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, are loc $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=O_2$. Cu ea, orice putere $A^n$ se scrie ca $x_{n}A+y_n{I}_2$.

Se poate folosi binomul lui Newton pentru matrice? Da, dar numai pentru două matrice care comută ($AB=BA$). Cazul cel mai des întâlnit este $(a{I}_n+N{)}^n$, pentru că $I_n$ comută cu orice matrice.