Adunarea matricelor, înmulțirea cu un scalar, transpusa — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să aduni și să scazi matrice, să înmulțești o matrice cu un număr (scalar) și să scrii transpusa unei matrice, împreună cu proprietățile acestor operații. Cu ele rezolvi ecuații de tipul $2X+A=3B$ și cerințe de Bac de forma „arătați că $A(x)+A(y)=\dots$”; lecția este în programa M1 și M2.

Teorie

Adunarea matricelor

Se pot aduna numai matrice de același tip. Dacă $A=(a_{ij})$ și $B=(b_{ij})$ sunt din ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$, suma lor este matricea de același tip obținută adunând elementele de pe aceleași poziții:

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+x& b+y\\ c+z& d+t\end{array}\right).$$

Proprietăți (pentru orice $A,B,C\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$):

• asociativitate: $(A+B)+C=A+(B+C)$;
• comutativitate: $A+B=B+A$;
• element neutru: $A+O_{m,n}=A$;
• opusa: matricea $-A=(-a_{ij})$ verifică $A+(-A)=O_{m,n}$.

De ce sunt adevărate? Pe fiecare poziție $(i,j)$ se adună numere reale, iar adunarea numerelor are exact aceste proprietăți. (În clasa a XII-a vei spune că $({\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R}),+)$ este un grup comutativ.) Diferența se definește prin $A-B=A+(-B)=(a_{ij}-b_{ij})$.

Înmulțirea unei matrice cu un scalar

Dacă $\alpha$ este un număr (scalar) și $A=(a_{ij})$, atunci $\alpha A=(\alpha a_{ij})$: fiecare element se înmulțește cu $\alpha$.

$$3\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 0& 12\end{array}\right).$$

Proprietăți ($\alpha ,\beta$ numere, $A,B$ de același tip): $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$; $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$; $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$; $1\cdot A=A$; $0\cdot A=O_{m,n}$. Toate se verifică element cu element. Din ele rezultă că ecuațiile cu matrice de forma $\alpha X+A=B$ se rezolvă ca ecuațiile de gradul I: $X=\frac{1}{\alpha }(B-A)$, pentru $\alpha \ne 0$.

Transpusa unei matrice

Transpusa matricei $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$ este matricea ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{R})$ obținută scriind liniile lui $A$ drept coloane: elementul de pe poziția $(i,j)$ al lui ${}^{t}A$ este $a_{ji}$.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\Rightarrow {}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right).$$

Proprietăți: ${}^t({}^{t}A)=A$; ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$; ${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A$. (Proprietatea pentru produs, ${}^t(AB)={}^{t}B{}^{t}A$, o vezi la lecția despre înmulțire.)

O matrice pătratică se numește simetrică dacă ${}^{t}A=A$, adică $a_{ij}=a_{ji}$ (elementele sunt „în oglindă” față de diagonala principală), și antisimetrică dacă ${}^{t}A=-A$, adică $a_{ij}=-a_{ji}$. La o matrice antisimetrică, pentru $i=j$ obținem $a_{ii}=-a_{ii}$, deci diagonala principală are numai zerouri.

Despre programă: transpusa nu este scrisă separat în programa de Bacalaureat, dar apare în manualele de clasa a XI-a și o folosești la calculul inversei unei matrice (capitolul „Matrice inversabile”). În variantele de Bac 2020–2027 rezolvate pe site nu a fost cerută direct.

De reținut

• Adunare/scădere: doar pentru matrice de același tip, element cu element.
• $\alpha A$: se înmulțește fiecare element cu $\alpha$.
• ${}^{t}A$: liniile devin coloane; tipul $(m,n)$ devine $(n,m)$.
• Simetrică: ${}^{t}A=A$; antisimetrică: ${}^{t}A=-A$ (diagonală nulă).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 5\end{array}\right)$. Calculează $A+B$, $A-B$ și $3A-2B$.

Vezi rezolvarea

1. $A+B=\left(\begin{array}{cc}1+4& -2+1\\ 3-1& 0+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& 5\end{array}\right)$.
2. $A-B=\left(\begin{array}{cc}1-4& -2-1\\ 3+1& 0-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ 4& -5\end{array}\right)$.
3. $3A-2B=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 9& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& 2\\ -2& 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& -8\\ 11& -10\end{array}\right)$.

Răspuns: $A+B=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& 5\end{array}\right)$, $A-B=\left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ 4& -5\end{array}\right)$, $3A-2B=\left(\begin{array}{cc}-5& -8\\ 11& -10\end{array}\right)$

Exemplul 2. Rezolvă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $2X+A=3B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -6& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 4\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Ca la o ecuație de gradul I: $2X=3B-A$, deci $X=\frac{1}{2}(3B-A)$.
2. $3B-A=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ -6& 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -6& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& 12\end{array}\right)$.
3. $X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 6\end{array}\right)$. Verificare: $2X+A=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ -6& 12\end{array}\right)=3B$.

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 6\end{array}\right)$

Exemplul 3. Determină matricele $X,Y\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X+Y=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& 6\end{array}\right)$ și $X-Y=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 2& 0\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Adunăm cele două egalități: $2X=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 2& 6\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$.
2. Le scădem: $2Y=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ -2& 6\end{array}\right)$, deci $Y=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 3\end{array}\right)$.

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$, $Y=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 3\end{array}\right)$

Exemplul 4. a) Determină $x,y,z$ reale pentru care $A=\left(\begin{array}{ccc}1& x& 2\\ 3& 0& y\\ z& -1& 5\end{array}\right)$ este simetrică. b) Determină $a,b,c,d,e$ pentru care $B=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& b\\ c& 0& 4\\ -1& d& e\end{array}\right)$ este antisimetrică.

Vezi rezolvarea

1. a) ${}^{t}A=A$ înseamnă $a_{12}=a_{21}$, $a_{13}=a_{31}$, $a_{23}=a_{32}$: $x=3$, $2=z$, $y=-1$.
2. b) ${}^{t}B=-B$: diagonala este nulă, $a=0$, $e=0$; apoi $c=-2$, $b=-(-1)=1$, $d=-4$.

Răspuns: a) $x=3$, $y=-1$, $z=2$; b) $a=e=0$, $b=1$, $c=-2$, $d=-4$

Exemplul 5 (tip Bac). Se consideră matricele $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$ și $A(x)=I_2+xB$, unde $x$ este număr real. a) Scrie $A(x)$. b) Arată că $A(x)+A(y)=A(x+y)+I_2$, pentru orice $x,y$ reali. c) Determină numărul real $a$ pentru care $A(1)+2A(3)=3A(a)$.

Vezi rezolvarea

1. a) $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& 2x\\ -x& -x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x& 2x\\ -x& 1-x\end{array}\right)$.
2. b) $A(x)+A(y)=2I_2+(x+y)B=(I_2+(x+y)B)+I_2=A(x+y)+I_2$.
3. c) $A(1)+2A(3)=I_2+B+2I_2+6B=3I_2+7B$, iar $3A(a)=3I_2+3aB$. Egalând elementele de pe poziția $(1,2)$: $14=6a$, deci $a=\frac{7}{3}$ (și celelalte poziții se verifică).

Răspuns: c) $a=\frac{7}{3}$

Exemplul 6. Scrie matricea $M=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$ ca sumă dintre o matrice simetrică $S$ și una antisimetrică $N$.

Vezi rezolvarea

1. Dacă $M=S+N$, atunci ${}^{t}M={}^{t}S+{}^{t}N=S-N$. Adunând și scăzând: $S=\frac{1}{2}(M+{}^{t}M)$, $N=\frac{1}{2}(M-{}^{t}M)$ (deci descompunerea este unică).
2. ${}^{t}M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 4\end{array}\right)$; $S=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 4\end{array}\right)$, $N=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$.

Răspuns: $S=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 4\end{array}\right)$, $N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

Greșeli frecvente

• Aduni matrice de tipuri diferite: $A+{}^{t}A$ nu are sens dacă $A$ nu este pătratică (de exemplu $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}$, ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{3,2}$).
• Înmulțești cu scalarul doar o linie: la $\alpha A$ se înmulțesc toate elementele (spre deosebire de determinanți, unde vei scoate factor comun de pe o singură linie).
• Scrii $A+2$ în loc de $A+2I_2$: nu se adună un număr cu o matrice; „numărul 2” în calcul matriceal este $2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$.
• La transpusă schimbi doar diagonala secundară: se schimbă între ele toate elementele simetrice față de diagonala principală ($a_{ij}\leftrightarrow a_{ji}$).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: matrice și determinanți, clasa a 11-a și matrice și determinanți — exerciții rezolvate.
• La Bacalaureat: Bac M2 2022, sesiunea iunie, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) ($B(x)-B(0)=xA$, rezolvat aici) și Bac M2 2025, sesiunea august, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) ($xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2$, rezolvat aici).
• Toate cerințele cu operații cu matrice: matrice și determinanți la Bacalaureat.
• Lecțiile vecine: matrice — definiție și tipuri · înmulțirea matricelor.

Întrebări frecvente

Cum se adună două matrice? Numai dacă au același tip: aduni elementele de pe aceleași poziții. Rezultatul are același tip ca matricele adunate.

Cum se înmulțește o matrice cu un număr? Înmulțești fiecare element al matricei cu acel număr: $\alpha (a_{ij})=(\alpha a_{ij})$.

Ce este transpusa unei matrice? Este matricea obținută transformând liniile în coloane: elementul de pe poziția $(i,j)$ al lui ${}^{t}A$ este $a_{ji}$. Dacă $A$ are tipul $(m,n)$, transpusa are tipul $(n,m)$.