Matrice: definiție și tipuri de matrice — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli ce este o matrice, cum se citesc elementele ei (linia, apoi coloana), ce tipuri de matrice există — linie, coloană, pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară — și când două matrice sunt egale. Sunt noțiunile cu care începe Subiectul al II-lea, problema 1, la Bacalaureat; lecția este în programa M1 (mate-info) și, cu același conținut, în programa M2 (științele naturii).

Teorie

Tabel de tip matriceal

Multe date se așază natural într-un tabel cu linii și coloane. De exemplu, numărul de caiete, pixuri și creioane vândute de două librării într-o zi:

	caiete	pixuri	creioane
librăria 1	10	4	6
librăria 2	8	5	3

Dacă păstrăm doar numerele, în aceeași ordine, obținem o matrice cu 2 linii și 3 coloane:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}10& 4& 6\\ 8& 5& 3\end{array}\right).$$

Definiția matricei

Fie $m,n$ numere naturale nenule. Un tablou dreptunghiular de numere cu $m$ linii și $n$ coloane se numește matrice de tipul $(m,n)$ (se citește „m pe n”). Elementul aflat pe linia $i$ și coloana $j$ se notează $a_{ij}$:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)={\left(a_{ij}\right)}_{\begin{array}{c}1\le i\le m\\ 1\le j\le n\end{array}}.$$

Primul indice arată linia, al doilea coloana. O matrice de tipul $(m,n)$ are $m\cdot n$ elemente. Formal, matricea este o funcție $A:\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to \mathbb{C}$, $A(i,j)=a_{ij}$ — de aceea poziția fiecărui element contează.

Mulțimea matricelor de tipul $(m,n)$ cu elemente reale se notează ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$. La fel se definesc ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{Z})$, ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{Q})$, ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, după mulțimea din care sunt luate elementele.

Tipuri de matrice

• Matrice linie: are o singură linie, tipul $(1,n)$, de exemplu $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 5\end{array}\right)$.
• Matrice coloană: are o singură coloană, tipul $(m,1)$, de exemplu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$.
• Matrice pătratică de ordinul $n$: are $n$ linii și $n$ coloane. Mulțimea lor se notează ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Elementele $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ formează diagonala principală, iar $a_{1n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n1}$ (cele cu $i+j=n+1$) formează diagonala secundară. Suma elementelor de pe diagonala principală se numește urma matricei: $\mathrm{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$.
• Matricea nulă $O_{m,n}$ (sau $O_n$ dacă e pătratică): toate elementele sunt $0$.
• Matrice diagonală: matrice pătratică în care toate elementele din afara diagonalei principale sunt $0$ ($a_{ij}=0$ pentru $i\ne j$).
• Matricea unitate $I_n$: matricea diagonală cu $1$ pe diagonala principală, de exemplu $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.
• Matrice triunghiulară superior: pătratică, cu $a_{ij}=0$ pentru $i>j$ (sub diagonala principală sunt doar zerouri); triunghiulară inferior: $a_{ij}=0$ pentru $i<j$.

Egalitatea a două matrice

Două matrice $A=(a_{ij})$ și $B=(b_{ij})$ sunt egale dacă au același tip $(m,n)$ și elementele de pe aceleași poziții sunt egale:

$$A=B⟺a_{ij}=b_{ij}\text{ pentru orice }i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}.$$

De ce? O matrice nu este doar o „mulțime de numere”, ci un tabel în care fiecare număr are locul lui (linia și coloana). Matricele $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)$ au aceleași numere, dar sunt diferite; $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ nici nu au același tip. De aceea o egalitate de matrice $2\times 2$ înseamnă patru egalități de numere — un sistem de ecuații.

De reținut

• $a_{ij}$: $i$ = linia, $j$ = coloana; tipul $(m,n)$ = $m$ linii, $n$ coloane, $mn$ elemente.
• Diagonala principală: $i=j$; diagonala secundară: $i+j=n+1$.
• $I_n$ are 1 pe diagonala principală și 0 în rest; $O_n$ are numai zerouri.
• Egalitate de matrice = același tip + egalitate element cu element (toate condițiile simultan).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 5& 3& 7\end{array}\right)$. Precizează tipul matricei, numărul de elemente și elementele $a_{12}$, $a_{23}$, $a_{21}$.

Vezi rezolvarea

1. Are 2 linii și 3 coloane, deci este de tipul $(2,3)$, $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, cu $2\cdot 3=6$ elemente.
2. $a_{12}$ = linia 1, coloana 2: $-1$. $a_{23}$ = linia 2, coloana 3: $7$. $a_{21}$ = linia 2, coloana 1: $5$.

Răspuns: tipul $(2,3)$, 6 elemente; $a_{12}=-1$, $a_{23}=7$, $a_{21}=5$

Exemplul 2. Scrie matricea $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ cu $a_{ij}=2i-j$.

Vezi rezolvarea

1. Linia 1 ($i=1$): $a_{11}=2-1=1$, $a_{12}=2-2=0$, $a_{13}=2-3=-1$.
2. Linia 2 ($i=2$): $a_{21}=4-1=3$, $a_{22}=4-2=2$, $a_{23}=4-3=1$.

Răspuns: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$

Exemplul 3. Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $a_{ij}=i\cdot j$ dacă $i\le j$ și $a_{ij}=0$ dacă $i>j$. Scrie matricea, precizează ce tip de matrice este, calculează urma ei și scrie elementele diagonalei secundare.

Vezi rezolvarea

1. Sub diagonala principală ($i>j$) avem zerouri; în rest $a_{ij}=ij$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 6\\ 0& 0& 9\end{array}\right)$.
2. Toate elementele de sub diagonala principală sunt 0, deci $A$ este triunghiulară superior.
3. $\mathrm{tr}A=1+4+9=14$.
4. Diagonala secundară ($i+j=4$): $a_{13}=3$, $a_{22}=4$, $a_{31}=0$.

Răspuns: triunghiulară superior, $\mathrm{tr}A=14$, diagonala secundară: $3,4,0$

Exemplul 4. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}x+y& 2\\ 3& x-y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Matricele au același tip; egalăm elementele de pe aceleași poziții: $x+y=5$, $2=2$, $3=3$, $x-y=1$.
2. Adunăm ecuațiile: $2x=6$, deci $x=3$; apoi $y=5-3=2$.

Răspuns: $x=3$, $y=2$

Exemplul 5. Determină numărul real $x$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}{x}^2& 1\\ 0& x+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Din poziția $(1,1)$: $x^2=4$, deci $x\in \{-2,2\}$.
2. Din poziția $(2,2)$: $x+2=0$, deci $x=-2$.
3. Ambele condiții trebuie îndeplinite simultan: rămâne doar $x=-2$ (pentru $x=2$ elementul $(2,2)$ ar fi 4, nu 0).

Răspuns: $x=-2$

Exemplul 6 (tip Bac). Se consideră $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a^2-a\\ a^2-1& 3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real. a) Determină $a$ pentru care $A(a)$ este matrice diagonală. b) Determină $a$ pentru care $A(a)$ este triunghiulară superior. c) Câte matrice din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ au toate elementele în mulțimea $\{0,1\}$ și câte dintre ele sunt diagonale?

Vezi rezolvarea

1. a) Diagonală: elementele din afara diagonalei principale sunt 0: $a^2-a=0$ și $a^2-1=0$. Prima dă $a\in \{0,1\}$, a doua $a\in \{-1,1\}$; comun: $a=1$. Verificare: $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$.
2. b) Triunghiulară superior: doar elementul de sub diagonală este 0: $a^2-1=0$, deci $a\in \{-1,1\}$.
3. c) Fiecare dintre cele 4 poziții poate primi 0 sau 1: $2^4=16$ matrice. Diagonale: pozițiile $(1,2)$ și $(2,1)$ sunt 0, iar diagonala se alege în $2^2=4$ moduri.

Răspuns: a) $a=1$; b) $a\in \{-1,1\}$; c) 16 matrice, dintre care 4 diagonale

Greșeli frecvente

• Inversezi indicii: $a_{23}$ este pe linia 2, coloana 3 — nu pe linia 3, coloana 2. Primul indice este mereu linia.
• Confunzi tipul $(m,n)$ cu $(n,m)$: o matrice cu 2 linii și 3 coloane este de tipul $(2,3)$; matricea de tipul $(3,2)$ are 3 linii.
• Egalezi matrice de tipuri diferite: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$, chiar dacă au aceleași numere.
• Păstrezi doar o parte din condiții: la egalitatea de matrice toate egalitățile de elemente trebuie îndeplinite simultan (ca în exemplul 5, unde $x=2$ nu convine).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: matrice și determinanți, clasa a 11-a (printabilă, cu răspunsuri) și matrice și determinanți — exerciții rezolvate pas cu pas.
• La Bacalaureat, egalitatea de matrice transformă cerința într-un sistem: Bac M4 2024, sesiunea iunie, Subiectul al III-lea, ex. 5 ($A(a^2)-A(a)=2I_2$, rezolvat aici) și Bac M2 2020, sesiunea august, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) (matricea care comută cu una diagonală este tot diagonală, rezolvat aici).
• Toate cerințele cu matrice de la Bac 2020–2027: matrice și determinanți la Bacalaureat.
• Lecția următoare: adunarea matricelor, înmulțirea cu un scalar, transpusa.

Întrebări frecvente

Ce este o matrice de tipul (m, n)? Este un tabel de numere cu $m$ linii și $n$ coloane. Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ se notează $a_{ij}$; matricea are $mn$ elemente.

Care este diferența dintre matricea unitate și o matrice diagonală? Orice matrice diagonală are zerouri în afara diagonalei principale; matricea unitate $I_n$ este matricea diagonală care are în plus toate elementele de pe diagonală egale cu 1.

Când sunt egale două matrice? Când au același tip și elementele de pe aceleași poziții sunt egale. O egalitate de matrice $2\times 2$ înseamnă patru egalități de numere, care trebuie să aibă loc simultan.