Propoziții, operații logice și cuantificatori — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este o propoziție și un predicat, cum se calculează valoarea de adevăr pentru negație, conjuncție, disjuncție, implicație și echivalență, cum se folosesc cuantificatorii „oricare” și „există” și cum se neagă corect un enunț. Limbajul logicii îl folosești în toată matematica de liceu: la mulțimi, la ecuații și inecuații, la demonstrații prin reducere la absurd și prin inducție.

Teorie

1. Propoziții

O propoziție este un enunț despre care se poate spune cu certitudine că este adevărat sau fals, dar nu ambele în același timp. Notăm propozițiile cu litere mici $p,q,r,\dots$. Valoarea de adevăr a unei propoziții este 1 (adevărat, A) sau 0 (fals, F).

• $p$: „$\sqrt{16}=4$” este o propoziție adevărată: $v(p)=1$.
• $q$: „$2^5<30$” este o propoziție falsă, pentru că $2^5=32$: $v(q)=0$.
• „Ce oră este?” și „$x+2=5$” nu sunt propoziții: prima nu afirmă nimic, iar a doua depinde de $x$.

2. Predicate (propoziții cu variabile)

Un predicat este un enunț care conține una sau mai multe variabile și care devine propoziție de fiecare dată când variabilele sunt înlocuite cu elemente dintr-o mulțime dată. De exemplu, $p(x)$: „$x+2=5$”, $x\in \mathbb{N}$: $p(3)$ este adevărată, $p(4)$ este falsă.

Mulțimea elementelor pentru care predicatul devine propoziție adevărată se numește mulțimea de adevăr a predicatului: $A=\{x\in E\mid p(x)\text{ adevărată}\}$. Pentru $p(x)$ de mai sus, $A=\{3\}$.

3. Operații logice

Din propoziții date obținem propoziții noi:

• negația lui $p$: $\bar{p}$ (se citește „non $p$”) este adevărată exact când $p$ este falsă;
• conjuncția $p\wedge q$ („$p$ și $q$”) este adevărată doar când ambele sunt adevărate;
• disjuncția $p\vee q$ („$p$ sau $q$”) este falsă doar când ambele sunt false — „sau” din matematică este inclusiv;
• implicația $p\to q$ („dacă $p$, atunci $q$”) este falsă doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă; $p$ se numește ipoteză, $q$ concluzie;
• echivalența $p\leftrightarrow q$ („$p$ dacă și numai dacă $q$”) este adevărată când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr.

$p$	$q$	$\bar{p}$	$p\wedge q$	$p\vee q$	$p\to q$	$p\leftrightarrow q$
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

De ce este adevărată implicația cu ipoteza falsă? O promisiune „dacă iei 10 la teză, primești o bicicletă” este încălcată doar dacă iei 10 și nu primești bicicleta. Dacă nu iei 10, promisiunea nu a fost încălcată, orice s-ar întâmpla. La fel, $p\to q$ „greșește” doar în cazul 1 → 0.

4. Formule echivalente. Legile lui De Morgan

Două formule logice sunt echivalente (scriem $\equiv$) dacă au aceeași valoare de adevăr pentru orice valori ale propozițiilor din care sunt formate; se verifică cu tabelul de adevăr. O formulă adevărată pentru orice valori se numește tautologie. Cele mai folosite echivalențe:

$$\begin{array}{rlrl}\overline{p\wedge q}& \equiv \bar{p}\vee \bar{q},& \overline{p\vee q}& \equiv \bar{p}\wedge \bar{q}\text{(De Morgan)},\\ p\to q& \equiv \bar{p}\vee q,& \overline{p\to q}& \equiv p\wedge \bar{q},\\ p\to q& \equiv \bar{q}\to \bar{p}\text{(contrapoziția)},& \overline{\stackrel{―}{p}}& \equiv p.\end{array}$$

5. Legătura cu mulțimile

Dacă predicatele $p(x)$ și $q(x)$, $x\in E$, au mulțimile de adevăr $A$ și $B$, atunci operațiile logice corespund operațiilor cu mulțimi:

Logică	Mulțimi
$\overline{p(x)}$	complementara ${\complement }_{E}A$
$p(x)\wedge q(x)$ („și” = sistem de condiții)	intersecția $A\cap B$
$p(x)\vee q(x)$ („sau” = reuniune de cazuri)	reuniunea $A\cup B$
$p(x)\to q(x)$ adevărată pentru orice $x$	incluziunea $A\subseteq B$
$p(x)\leftrightarrow q(x)$ adevărată pentru orice $x$	egalitatea $A=B$

De aceea, când rezolvi un sistem de inecuații intersectezi soluțiile (este un „și”), iar când o ecuație se desparte în cazuri reunești soluțiile (este un „sau”).

6. Cuantificatori

Dintr-un predicat $p(x)$, $x\in E$, obținem propoziții și cu ajutorul cuantificatorilor:

• cuantificatorul universal $\mathrm{\forall }$ („oricare ar fi”, „pentru orice”): $(\mathrm{\forall }x\in E)p(x)$ este adevărată dacă $p(x)$ este adevărată pentru toate elementele lui $E$ (adică $A=E$);
• cuantificatorul existențial $\mathrm{\exists }$ („există”, „cel puțin un”): $(\mathrm{\exists }x\in E)p(x)$ este adevărată dacă $p(x)$ este adevărată pentru cel puțin un element (adică $A\ne \mathrm{\varnothing }$). Varianta $\mathrm{\exists }!$ înseamnă „există un unic”.

Ca să arăți că un enunț cu $\mathrm{\exists }$ e adevărat ajunge un exemplu; ca să arăți că un enunț cu $\mathrm{\forall }$ e fals ajunge un contraexemplu. Un enunț cu $\mathrm{\forall }$ adevărat nu se demonstrează prin exemple, ci printr-un raționament valabil pentru orice $x$.

Reguli de negare:

$$\overline{(\mathrm{\forall }x)p(x)}\equiv (\mathrm{\exists }x)\overline{p(x)},\overline{(\mathrm{\exists }x)p(x)}\equiv (\mathrm{\forall }x)\overline{p(x)}.$$

Adică: „nu toți elevii au trecut” înseamnă „există un elev care nu a trecut”. La negare, cuantificatorii se schimbă între ei, iar predicatul se neagă; ordinea cuantificatorilor se păstrează. Ordinea contează: $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R})y>x$ este adevărată (luăm $y=x+1$), dar $(\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})y>x$ este falsă (nu există un număr real mai mare decât toate).

7. Reducerea la absurd

Ca să demonstrezi $p\to q$ prin reducere la absurd, presupui că ipoteza $p$ este adevărată și concluzia $q$ este falsă și ajungi la o contradicție (cu ipoteza sau cu un adevăr cunoscut). Metoda se bazează pe echivalența $p\to q\equiv \bar{q}\to \bar{p}$: dacă din $\bar{q}$ rezultă $\bar{p}$, atunci din $p$ rezultă $q$.

De reținut

• Propoziție = enunț adevărat sau fals; predicat = enunț cu variabile, care devine propoziție după înlocuire.
• $p\wedge q$ adevărată doar 1–1; $p\vee q$ falsă doar 0–0; $p\to q$ falsă doar 1–0.
• Negația lui „și” este „sau” (și invers); negația lui $p\to q$ este $p\wedge \bar{q}$.
• La negare, $\mathrm{\forall }$ devine $\mathrm{\exists }$, $\mathrm{\exists }$ devine $\mathrm{\forall }$, iar predicatul se neagă; negația lui $x>3$ este $x\le 3$.
• „Și” ↔ intersecție, „sau” ↔ reuniune, „non” ↔ complementară, „implică” ↔ incluziune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie propozițiile $p$: „$\sqrt{16}=4$” și $q$: „$2^5<30$”. Află valoarea de adevăr a propozițiilor $\bar{q}$, $p\wedge q$, $p\vee q$, $p\to q$, $q\to p$, $p\leftrightarrow q$.

Vezi rezolvarea

1. $\sqrt{16}=4$, deci $v(p)=1$; $2^5=32>30$, deci $v(q)=0$.
2. $v(\bar{q})=1$; $v(p\wedge q)=0$ (o componentă e falsă); $v(p\vee q)=1$ (una e adevărată).
3. $p\to q$ are forma 1 → 0, deci e falsă; $q\to p$ are forma 0 → 1, deci e adevărată.
4. $p$ și $q$ au valori diferite, deci $v(p\leftrightarrow q)=0$.

Răspuns: $\bar{q}$: 1; $p\wedge q$: 0; $p\vee q$: 1; $p\to q$: 0; $q\to p$: 1; $p\leftrightarrow q$: 0

Exemplul 2. Arată cu ajutorul tabelului de adevăr că $\overline{p\wedge q}\equiv \bar{p}\vee \bar{q}$.

Vezi rezolvarea

$p$	$q$	$p\wedge q$	$\overline{p\wedge q}$	$\bar{p}$	$\bar{q}$	$\bar{p}\vee \bar{q}$
1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1
0	0	0	1	1	1	1

Coloanele a 4-a și a 7-a coincid pe toate cele 4 rânduri, deci formulele sunt echivalente (formula $\overline{p\wedge q}\leftrightarrow (\bar{p}\vee \bar{q})$ este o tautologie).

Răspuns: coloanele coincid, deci $\overline{p\wedge q}\equiv \bar{p}\vee \bar{q}$

Exemplul 3. Fie predicatele $p(x)$: „$2x+1\le 9$” și $q(x)$: „$x^2\ge 5$”, cu $x\in \mathbb{N}$. Determină mulțimile de adevăr ale predicatelor $p(x)$, $q(x)$, $p(x)\wedge q(x)$, $p(x)\vee q(x)$ și $\overline{p(x)}$.

Vezi rezolvarea

1. $2x+1\le 9⟺x\le 4$, deci $A=\{0,1,2,3,4\}$.
2. Pentru numere naturale: $0^2,1^2,2^2<5$, iar $3^2=9\ge 5$ și pătratele cresc, deci $B=\{3,4,5,\dots \}=\{x\in \mathbb{N}\mid x\ge 3\}$.
3. „Și” = intersecție: $A\cap B=\{3,4\}$.
4. „Sau” = reuniune: $A\cup B=\mathbb{N}$ (orice număr natural este $\le 4$ sau $\ge 3$).
5. „Non” = complementara: $\mathbb{N}\setminus A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\ge 5\}$.

Răspuns: $\{0,1,2,3,4\}$; $\{x\in \mathbb{N}\mid x\ge 3\}$; $\{3,4\}$; $\mathbb{N}$; $\{x\in \mathbb{N}\mid x\ge 5\}$

Exemplul 4. Stabilește valoarea de adevăr a propozițiilor:
a) $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})x^2+1>0$; b) $(\mathrm{\exists }x\in \mathbb{N})3x=7$; c) $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z})x^2\ge x$; d) $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})x^2\ge x$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, deci $x^2+1\ge 1>0$: adevărată.
2. b) $3x=7⟺x=\frac{7}{3}\notin \mathbb{N}$: nu există niciun număr natural, deci falsă.
3. c) $x^2-x=x(x-1)$. Pentru $x\in \mathbb{Z}$: dacă $x\le 0$, ambii factori sunt $\le 0$; dacă $x\ge 1$, ambii sunt $\ge 0$. În ambele cazuri produsul este $\ge 0$: adevărată (raționament pentru orice $x$, nu exemple).
4. d) Contraexemplu: $x=\frac{1}{2}$, $x^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$: falsă. Între 0 și 1 nu există numere întregi, de aceea c) e adevărată.

Răspuns: a) A; b) F; c) A; d) F

Exemplul 5. Scrie negația propozițiilor și stabilește care dintre propoziție și negația ei este adevărată:
a) $p$: „$(\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N})n^2+n$ este număr impar”;
b) $q$: „$(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R})y>x^2$”.

Vezi rezolvarea

1. a) $\bar{p}$: „$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})n^2+n$ este număr par”. Cum $n^2+n=n(n+1)$ este produsul a două numere naturale consecutive, unul dintre ele este par, deci produsul este par: $\bar{p}$ este adevărată, $p$ este falsă.
2. b) $\bar{q}$: „$(\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R})y\le x^2$”. Propoziția $q$ este adevărată: pentru orice $x$ luăm $y=x^2+1>x^2$. Deci $\bar{q}$ este falsă.

Răspuns: a) $\bar{p}$ (adevărată): „orice $n\in \mathbb{N}$ are $n^2+n$ par”; b) $\bar{q}$ (falsă): $(\mathrm{\exists }x)(\mathrm{\forall }y)y\le x^2$

Exemplul 6 (reducere la absurd). a) Arată că, dacă $n\in \mathbb{N}$ și $n^2$ este par, atunci $n$ este par.
b) Deduce că $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Presupunem prin absurd că $n^2$ este par, dar $n$ este impar: $n=2k+1$, $k\in \mathbb{N}$. Atunci $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ este impar — contradicție. Deci $n$ este par.
2. b) Presupunem prin absurd că $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, cu $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și fracția ireductibilă. Ridicând la pătrat: $a^2=2b^2$, deci $a^2$ este par și, din a), $a=2c$.
3. Înlocuim: $4c^2=2b^2\Rightarrow b^2=2c^2$, deci $b^2$ este par și $b$ este par.
4. Atunci $a$ și $b$ se divid amândouă cu 2, contradicție cu faptul că fracția $\frac{a}{b}$ este ireductibilă. Presupunerea este falsă.

Răspuns: a) $n$ este par; b) $\sqrt{2}$ este irațional (presupunerea contrară duce la contradicție)

Greșeli frecvente

• Negi doar predicatul, nu și cuantificatorul: negația lui „$(\mathrm{\forall }x)x>0$” nu este „$(\mathrm{\forall }x)x\le 0$”, ci „$(\mathrm{\exists }x)x\le 0$”.
• Negi „și” tot cu „și”: $\overline{p\wedge q}$ este $\bar{p}\vee \bar{q}$. Negația lui „$x>1$ și $x<5$” este „$x\le 1$ sau $x\ge 5$”.
• Negația lui $x>3$ scrisă $x<3$: se pierde cazul $x=3$. Corect: $x\le 3$.
• Crezi că o implicație cu ipoteza falsă este falsă: „dacă $2+2=5$, atunci $1=1$” este adevărată; implicația e falsă doar în cazul 1 → 0. Iar un enunț cu $\mathrm{\forall }$ nu se demonstrează cu două-trei exemple.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: logică matematică și inducție, clasa a 9-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Operațiile cu mulțimi, pe care le „traduc” operațiile logice: mulțimi — operații și proprietăți și intervale de numere reale.
• Următoarea lecție din capitol: metoda inducției matematice.
• La Bacalaureat logica nu are un item separat, dar enunțurile folosesc cuantificatori. Exemplu: Simulare Bac 2022 M1, Subiectul II.2.c) cere să arăți că „există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule” cu o proprietate — un enunț cu $\mathrm{\exists }$, demonstrat prin exemple (rezolvat aici).

Programa: capitolul 1 din programa nouă de clasa a IX-a, mate-info (OMEC 6930/2025). Propozițiile, operațiile logice, cuantificatorii și regulile de negare sunt și în trunchiul comun, deci se învață și la științele naturii (M2); reducerea la absurd este cerută explicit în programa de mate-info.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre o propoziție și un predicat? Propoziția are o valoare de adevăr fixă (adevărată sau falsă). Predicatul conține variabile și devine propoziție abia după ce înlocuiești variabilele cu valori sau după ce pui în fața lui un cuantificator.

Cum se neagă o propoziție cu cuantificatori? Schimbi fiecare $\mathrm{\forall }$ în $\mathrm{\exists }$ și fiecare $\mathrm{\exists }$ în $\mathrm{\forall }$, păstrând ordinea lor, apoi negi predicatul de la final. De exemplu, negația lui „$(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\exists }y)y>x$” este „$(\mathrm{\exists }x)(\mathrm{\forall }y)y\le x$”.

Când este falsă implicația p → q? Numai când ipoteza $p$ este adevărată și concluzia $q$ este falsă. În celelalte trei cazuri (1 → 1, 0 → 1, 0 → 0) implicația este adevărată.