Fișă de lucru logică matematică și inducție clasa a 9-a (M1) — 17 exerciții cu răspunsuri
Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 9-a, profil matematică-informatică (M1): valoarea de adevăr a propozițiilor, operații logice, cuantificatori și negații, apoi demonstrații prin metoda inducției matematice. Răspunsurile și ideile de rezolvare sunt la final.
Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________
Fișă de lucru — logică matematică și inducție matematică (M1), clasa a 9-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Capitol din programa nouă M1 (matematică-informatică), aplicată în clasa a 9-a din 2026–2027. Notăm cu \(\bar p\) negația propoziției \(p\).
I. Nivel ușor
- Stabilește valoarea de adevăr a propozițiilor: \(p\): „\(\sqrt{16}=4\)”; \(q\): „5 este număr par”; \(r\): „\(-3\in\mathbb{N}\)”.
- Știind că \(p\) este adevărată și \(q\) este falsă, stabilește valoarea de adevăr pentru \(p\wedge q\), \(p\vee q\), \(\bar p\), \(p\Rightarrow q\) și \(q\Rightarrow p\).
- Scrie negația propozițiilor: a) „Toate numerele prime sunt impare.”; b) „Există un număr natural \(x\) cu \(x^2=2\).”
- Stabilește valoarea de adevăr: a) \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0\); b) \(\exists x\in\mathbb{N},\ x+3=1\); c) \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\gt x\).
- Determină mulțimea de adevăr a predicatului \(p(x)\): „\(x^2-5x+6=0\)”, \(x\in\mathbb{N}\).
- Folosind un tabel de adevăr, arată că \(\overline{p\wedge q}\) și \(\bar p\vee\bar q\) au mereu aceeași valoare de adevăr.
II. Nivel mediu
- Scrie negația propoziției „\(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ y\gt x\)”.
- Stabilește valoarea de adevăr a implicației „Dacă \(x^2=4\), atunci \(x=2\)” (\(x\in\mathbb{R}\)) și a reciprocei ei.
- Determină mulțimea de adevăr a predicatului \(p(x)\): „\(|x-2|\le 1\)”, \(x\in\mathbb{Z}\).
- Demonstrează prin inducție matematică: \(1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).
- Folosind formula de la exercițiul anterior, calculează \(1+2+\dots+50\) și \(2+4+\dots+100\).
- Demonstrează prin inducție: \(1+2+2^2+\dots+2^{n-1}=2^n-1\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).
- Demonstrează prin inducție că \(7^n-1\) se divide cu 6, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
III. Nivel greu
- Demonstrează prin inducție: \(1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), \(n\in\mathbb{N}^*\).
- Demonstrează prin inducție că \(n^3+5n\) se divide cu 6, pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).
- Demonstrează prin inducție că \(2^n\ge n+1\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
- Demonstrează prin inducție: \(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\), \(n\in\mathbb{N}^*\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Răspunsuri
- \(p\) adevărată, \(q\) falsă, \(r\) falsă
- \(p\wedge q\): F; \(p\vee q\): A; \(\bar p\): F; \(p\Rightarrow q\): F; \(q\Rightarrow p\): A
- a) „Există un număr prim care nu este impar” (adevărată: 2); b) „Pentru orice număr natural \(x\), \(x^2\ne 2\)”
- a) A; b) F; c) F (de exemplu \(x=1\))
- \(\{2,3\}\)
- Pentru \((p,q)=(A,A),(A,F),(F,A),(F,F)\) ambele expresii iau valorile F, A, A, A (legea lui De Morgan)
- \(\exists x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\mathbb{R},\ y\le x\)
- Implicația este falsă (\(x=-2\)); reciproca „dacă \(x=2\), atunci \(x^2=4\)” este adevărată
- \(\{1,2,3\}\)
- \(P(1)\): \(1=1\); \(P(k)\Rightarrow P(k+1)\): \(\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\)
- 1275 și 2550
- \(P(1)\): \(1=1\); pasul: \(2^k-1+2^k=2^{k+1}-1\)
- \(P(0)\): \(0\) se divide cu 6; pasul: \(7^{k+1}-1=7\left(7^k-1\right)+6\)
- Pasul: \(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\) \(=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\) \(=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
- \(P(1)\): 6; pasul: \((k+1)^3+5(k+1)\) \(=\left(k^3+5k\right)+3k(k+1)+6\), iar \(k(k+1)\) este par
- \(P(0)\): \(1\ge 1\); pasul: \(2^{k+1}=2\cdot 2^k\ge 2k+2\ge k+2\)
- Pasul: \(\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}\)