Funcția modul și partea întreagă — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție studiezi trei funcții definite pe $\mathbb{R}$: funcția modul $f(x)=|x|$, funcția parte întreagă $f(x)=[x]$ și funcția parte fracționară $f(x)=\{x\}$ — cum arată graficele lor, ce proprietăți au și cum rezolvi ecuații și inecuații cu ele. Le folosești la funcții definite pe ramuri, la inecuații și, mai târziu, la limite și la probleme de olimpiadă.

Teorie

1. Modulul unui număr real (recapitulare)

Modulul (valoarea absolută) al numărului real $x$ este

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0,\\ -x,& x<0.\end{array}$$

Geometric, $|x|$ este distanța de la punctul de coordonată $x$ la originea axei, iar $|x-a|$ este distanța dintre punctele de coordonate $x$ și $a$. Proprietăți, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$:

• $|x|\ge 0$, cu $|x|=0⟺x=0$; $|-x|=|x|$; $\sqrt{x^2}=|x|$;
• $|xy|=|x|\cdot |y|$; $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$ pentru $y\ne 0$;
• $|x+y|\le |x|+|y|$ (inegalitatea triunghiului);
• pentru $a>0$: $|x|=a⟺x=\pm a$; $|x|\le a⟺-a\le x\le a$; $|x|\ge a⟺x\le -a$ sau $x\ge a$.

2. Funcția modul

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$ este o funcție definită pe două ramuri, fiecare fiind o funcție afină: $f(x)=-x$ pe $(-\mathrm{\infty },0)$ și $f(x)=x$ pe $[0,+\mathrm{\infty })$. Graficul este format din două semidrepte cu originea în $O$, bisectoarele cadranelor I și II:

Din grafic citim: $f$ este pară ($|-x|=|x|$, graficul e simetric față de $Oy$), descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$ și crescătoare pe $[0,+\mathrm{\infty })$, are minimul 0 în $x=0$, iar imaginea este $\mathrm{Im}f=[0,+\mathrm{\infty })$. Graficul lui $g(x)=|x-a|$ este același „V”, translatat cu vârful în $(a,0)$.

3. Partea întreagă și partea fracționară

Pentru orice număr real $x$ există un unic număr întreg $k$ astfel încât $k\le x<k+1$. Acest număr se numește partea întreagă a lui $x$ și se notează $[x]$: este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$. Partea fracționară a lui $x$ este $\{x\}=x-[x]$.

$$[x]=k⟺k\in \mathbb{Z}\text{și}k\le x<k+1;x=[x]+\{x\},\{x\}\in [0,1).$$

Exemple: $[2,7]=2$, $\{2,7\}=0,7$; $[5]=5$, $\{5\}=0$; dar $[-2,7]=-3$ (nu $-2$!), pentru că $-3\le -2,7<-2$, iar $\{-2,7\}=-2,7-(-3)=0,3$.

Proprietăți, pentru $x\in \mathbb{R}$ și $k\in \mathbb{Z}$:

• $[x]\le x<[x]+1$, echivalent $x-1<[x]\le x$;
• $[x+k]=[x]+k$ și $\{x+k\}=\{x\}$ (un întreg „iese” din partea întreagă);
• $[x]=x⟺x\in \mathbb{Z}⟺\{x\}=0$;
• dacă $x\le y$, atunci $[x]\le [y]$.

4. Funcțiile parte întreagă și parte fracționară

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]$ este constantă pe fiecare interval $[k,k+1)$, $k\in \mathbb{Z}$: $f(x)=k$. Graficul are forma unei „scări” (punctul plin este pe grafic, cel gol nu):

Funcția parte întreagă este crescătoare (dar nu strict: e constantă pe fiecare treaptă), nu este mărginită, iar imaginea ei este $\mathbb{Z}$. Funcția parte fracționară $g(x)=\{x\}$ are pe $[k,k+1)$ expresia $g(x)=x-k$: graficul este format din segmente paralele cu bisectoarea $y=x$, fiecare închis la stânga și deschis la dreapta, iar valorile se repetă din 1 în 1 ($\{x+1\}=\{x\}$). Imaginea lui $g$ este $[0,1)$, deci $g$ este mărginită.

De reținut

• $|x|$ = distanța până la 0; o expresie cu modul se explicitează pe ramuri, după semnul fiecărei expresii din modul.
• $[x]=k⟺k\in \mathbb{Z},k\le x<k+1$; la numere negative partea întreagă „coboară”: $[-0,5]=-1$.
• $\{x\}=x-[x]\in [0,1)$, deci partea fracționară nu este niciodată negativă.
• O ecuație $[E(x)]=k$ se transformă în dubla inegalitate $k\le E(x)<k+1$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează $[3,2]$, $[-3,2]$, $\{-3,2\}$, $[\sqrt{10}]$, $\{\sqrt{10}\}$ și $[-\sqrt{2}]$.

Vezi rezolvarea

1. $3\le 3,2<4\Rightarrow [3,2]=3$; $-4\le -3,2<-3\Rightarrow [-3,2]=-4$ și $\{-3,2\}=-3,2+4=0,8$.
2. $9<10<16\Rightarrow 3<\sqrt{10}<4\Rightarrow [\sqrt{10}]=3$ și $\{\sqrt{10}\}=\sqrt{10}-3$.
3. $1<\sqrt{2}<2\Rightarrow -2<-\sqrt{2}<-1\Rightarrow [-\sqrt{2}]=-2$.

Răspuns: $3$; $-4$; $0,8$; $3$; $\sqrt{10}-3$; $-2$

Exemplul 2. Explicitează funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|+|x+2|$, apoi află valoarea minimă și imaginea ei.

Vezi rezolvarea

1. Expresiile din modul se anulează în $x=-2$ și $x=1$; acestea împart axa în trei intervale.
2. Pentru $x<-2$: ambele expresii sunt negative, $f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1$.
3. Pentru $-2\le x\le 1$: $f(x)=-(x-1)+(x+2)=3$.
4. Pentru $x>1$: $f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1$.
5. Pe $(-\mathrm{\infty },-2)$, $f$ este descrescătoare și $f(x)>3$; pe $(1,+\mathrm{\infty })$ este crescătoare și $f(x)>3$. Deci minimul este 3, atins pe $[-2,1]$ (geometric: suma distanțelor de la $x$ la 1 și la $-2$ este cel puțin distanța dintre ele, 3).

Răspuns: $f(x)=-2x-1$ pentru $x<-2$; $3$ pentru $-2\le x\le 1$; $2x+1$ pentru $x>1$; minimul 3, $\mathrm{Im}f=[3,+\mathrm{\infty })$

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $|2x-3|=5$; b) $|x-2|\le 3$.

Vezi rezolvarea

1. a) $2x-3=5$ sau $2x-3=-5$, deci $x=4$ sau $x=-1$.
2. b) $-3\le x-2\le 3⟺-1\le x\le 5$. Geometric: punctele aflate la distanță cel mult 3 de 2.

Răspuns: a) $x\in \{-1,4\}$; b) $x\in [-1,5]$

Exemplul 4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $|x-1|=2x+1$.

Vezi rezolvarea

1. Modulul este $\ge 0$, deci e necesar $2x+1\ge 0$, adică $x\ge -\frac{1}{2}$.
2. Cazul $x-1=2x+1$: $x=-2$, care nu verifică $x\ge -\frac{1}{2}$ — se respinge (într-adevăr, $|-3|=3\ne -3$).
3. Cazul $x-1=-(2x+1)$: $3x=0$, $x=0$, care convine. Verificare: $|0-1|=1=2\cdot 0+1$.

Răspuns: $x=0$

Exemplul 5. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\left[{\displaystyle \frac{2x+1}{3}}\right]=2$.

Vezi rezolvarea

1. Din definiție: $2\le \frac{2x+1}{3}<3$.
2. Înmulțim cu 3: $6\le 2x+1<9$; scădem 1: $5\le 2x<8$; împărțim la 2: $\frac{5}{2}\le x<4$.
3. Verificare la capăt: pentru $x=\frac{5}{2}$, $\frac{2x+1}{3}=2$ și $[2]=2$; pentru $x=4$, fracția este 3, deci 4 nu convine.

Răspuns: $x\in [\frac{5}{2},4)$

Exemplul 6 (nivel M1). Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\left[{\displaystyle \frac{x+1}{2}}\right]={\displaystyle \frac{x-1}{3}}$.

Vezi rezolvarea

1. Membrul stâng este număr întreg, deci și $\frac{x-1}{3}=k\in \mathbb{Z}$. Atunci $x=3k+1$ și $\frac{x+1}{2}=\frac{3k+2}{2}$.
2. Ecuația devine $\left[\frac{3k+2}{2}\right]=k⟺k\le \frac{3k+2}{2}<k+1⟺2k\le 3k+2<2k+2$.
3. Din $2k\le 3k+2$: $k\ge -2$; din $3k+2<2k+2$: $k<0$. Deci $k\in \{-2,-1\}$.
4. $k=-2\Rightarrow x=-5$; $k=-1\Rightarrow x=-2$. Verificare: $x=-5$: $[-2]=-2=\frac{-6}{3}$; $x=-2$: $[-0,5]=-1=\frac{-3}{3}$.

Răspuns: $x\in \{-5,-2\}$

Greșeli frecvente

• Partea întreagă a unui număr negativ „tăiată”: $[-2,7]$ nu este $-2$, ci $-3$; $[x]$ este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $x$.
• Parte fracționară negativă: $\{-2,7\}=0,3$, nu $-0,7$; partea fracționară este mereu în $[0,1)$.
• Ecuația $|E(x)|=g(x)$ fără condiția $g(x)\ge 0$: apar soluții false, ca $x=-2$ în exemplul 4. Verifică fiecare soluție în ecuația inițială.
• Scrii $|a+b|=|a|+|b|$: egalitatea e adevărată doar dacă $a$ și $b$ au același semn (sau unul e 0); de exemplu $|3+(-5)|=2\ne 8$. La fel, $[x+y]$ nu este întotdeauna $[x]+[y]$: $[0,6+0,6]=1$, dar $[0,6]+[0,6]=0$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: mulțimi, intervale, modul, partea întreagă, clasa a 9-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Soluțiile inecuațiilor cu modul se scriu ca intervale: intervale de numere reale.
• Recapitulare din gimnaziu: modulul unui număr real (clasa a 7-a).
• Funcții definite pe ramuri, grafic, monotonie: funcții — noțiuni introductive, funcția de gradul I, proprietățile funcțiilor.

Programa: capitolul 3 „Funcții”, nota 1 din programa nouă de clasa a IX-a, mate-info (OMEC 6930/2025): „se vor prezenta și funcția modul, funcția parte întreagă, funcția parte fracționară”. Modulul, partea întreagă și partea fracționară sunt și în programa de Bacalaureat M1 și M2 (OMEN 4430/2014, clasa a IX-a), dar în variantele oficiale de Bac 2020–2026 rezolvate pe site nu apare un item dedicat părții întregi; tema e frecventă la olimpiadă.

Întrebări frecvente

Cum se calculează partea întreagă a unui număr negativ? Cauți cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat. De exemplu, $-3\le -2,4<-2$, deci $[-2,4]=-3$, iar partea fracționară este $-2,4-(-3)=0,6$.

Cum arată graficul funcției modul? Este un „V” cu vârful în origine, format din semidreptele $y=-x$ (pentru $x<0$) și $y=x$ (pentru $x\ge 0$). Funcția este pară, descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$, crescătoare pe $[0,+\mathrm{\infty })$ și are minimul 0.

Cum rezolv o ecuație cu partea întreagă? Folosești definiția: $[E(x)]=k$ înseamnă $k\le E(x)<k+1$, cu $k$ întreg. Dacă în membrul drept apare o expresie în $x$, o notezi cu $k\in \mathbb{Z}$, exprimi $x$ în funcție de $k$ și găsești valorile întregi posibile ale lui $k$.