Convexitate și concavitate (lecturi grafice) — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce înseamnă că o funcție este convexă sau concavă pe un interval: graficul „se curbează în sus” (coarda dintre oricare două puncte ale graficului stă deasupra lui) sau „în jos”. La clasa a IX-a convexitatea se recunoaște din grafic și, pentru liniile frânte, din pantele segmentelor; în clasa a XI-a o vei studia cu derivata a doua, iar la Bacalaureat apare în Subiectul al III-lea.

Teorie

Coarda unui grafic

Fie $f:I\to \mathbb{R}$, unde $I$ este un interval. Pentru două puncte $x_1<x_2$ din $I$, segmentul care unește punctele $A(x_1,f(x_1))$ și $B(x_2,f(x_2))$ ale graficului se numește coardă. Orice număr dintre $x_1$ și $x_2$ se scrie $x=(1-t)x_1+t{x}_2$, cu $t\in [0,1]$ (pentru $t=0$ obții $x_1$, pentru $t=1$ obții $x_2$, pentru $t=\frac{1}{2}$ mijlocul). Punctul coardei care are abscisa $x$ are ordonata $(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$.

Definiții

Funcția $f:I\to \mathbb{R}$ este convexă pe intervalul $I$ dacă, pentru orice $x_1,x_2\in I$ și orice $t\in [0,1]$,

$$f((1-t)x_1+t{x}_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2),$$

adică orice coardă a graficului se află deasupra graficului (sau pe el). Funcția este concavă pe $I$ dacă inegalitatea are loc cu $\ge$, adică orice coardă se află sub grafic. Dacă pentru $x_1\ne x_2$ și $t\in (0,1)$ inegalitatea este strictă, spunem că $f$ este strict convexă (respectiv strict concavă).

• $f$ este concavă pe $I$ exact atunci când $-f$ este convexă pe $I$ (graficul lui $-f$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Ox$).
• O funcție afină $f(x)=ax+b$ este și convexă, și concavă pe $\mathbb{R}$: graficul este o dreaptă, iar coarda coincide cu graficul.
• Convexitatea este o proprietate pe un interval: o funcție poate fi convexă pe un interval și concavă pe altul (de exemplu $x^3$, pe care o vei studia la funcția putere).

Criteriul pantelor pentru linii frânte

Programa clasei a IX-a lucrează mai ales cu funcții definite pe ramuri afine, al căror grafic este o linie frântă fără întreruperi. Pentru ele există un criteriu foarte simplu. Panta segmentului (rata creșterii) dintre $x_1$ și $x_2$ este

$$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

Criteriu. O funcție al cărei grafic pe intervalul $I$ este o linie frântă fără întreruperi este convexă pe $I$ dacă și numai dacă pantele segmentelor cresc (nu scad) de la stânga la dreapta, și concavă pe $I$ dacă și numai dacă pantele scad (nu cresc).

De ce? Dacă pantele cresc, la fiecare vârf linia frântă „cotește în sus”, iar fiecare segment, prelungit, rămâne sub grafic; atunci o coardă care sare peste un vârf trece deasupra lui. Dacă într-un vârf panta scade, coarda dintre două puncte vecine vârfului trece pe sub vârf, deci funcția nu mai este convexă pe un interval care conține acel vârf. Același raționament funcționează pentru un tabel de valori: dacă ratele de creștere dintre valori consecutive cresc, punctele se așază pe o curbă convexă.

Monotonie și convexitate în lecturi grafice

Graficul	Ce înseamnă	Exemplu din viață
crește convex	crește din ce în ce mai repede	distanța parcursă de o mașină care accelerează
crește concav	crește din ce în ce mai încet	temperatura unei căni de apă pusă pe foc, aproape de fierbere
scade convex	scade din ce în ce mai încet	temperatura unui ceai care se răcește
scade concav	scade din ce în ce mai repede	înălțimea unei pietre lăsate să cadă

De reținut

• Convexă pe $I$: coardele sunt deasupra graficului; concavă: coardele sunt dedesubt.
• Funcția afină este și convexă, și concavă.
• Linie frântă: pantele cresc ⇒ convexă; pantele scad ⇒ concavă.
• Monotonia și convexitatea sunt proprietăți diferite: o funcție crescătoare poate fi convexă sau concavă.
• Pentru $t=\frac{1}{2}$ definiția dă: $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ pentru o funcție convexă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+4,& x\le -1\\ x+3,& -1<x\le 1\\ 3x+1,& x>1\end{array}$. Stabilește pe ce intervale funcția este convexă și pe ce intervale este concavă.

Vezi rezolvarea

1. Ramurile se „lipesc”: $2\cdot (-1)+4=2=-1+3$ și $1+3=4=3\cdot 1+1$, deci graficul este o linie frântă fără întreruperi, cu vârfurile $(-1,2)$ și $(1,4)$.
2. Pantele sunt, de la stânga la dreapta: $2$, $1$, $3$.
3. Pe $(-\mathrm{\infty },1]$ pantele sunt $2,1$: scad, deci $f$ este concavă.
4. Pe $[-1,+\mathrm{\infty })$ pantele sunt $1,3$: cresc, deci $f$ este convexă.
5. Pe $\mathbb{R}$ nu este nici convexă, nici concavă (pantele scad, apoi cresc). Pe $[-1,1]$ este afină, deci și convexă, și concavă.

Răspuns: concavă pe $(-\mathrm{\infty },1]$, convexă pe $[-1,+\mathrm{\infty })$

Exemplul 2. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|+|x+1|$ este convexă și află valoarea ei minimă.

Vezi rezolvarea

1. Explicităm modulele: pentru $x\le -1$, $f(x)=(2-x)+(-x-1)=-2x+1$; pentru $-1\le x\le 2$, $f(x)=(2-x)+(x+1)=3$; pentru $x\ge 2$, $f(x)=(x-2)+(x+1)=2x-1$.
2. Graficul este o linie frântă fără întreruperi (în $-1$ ambele formule dau 3, în $2$ dau tot 3), cu pantele $-2,0,2$.
3. Pantele cresc, deci $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.
4. Funcția scade pe $(-\mathrm{\infty },-1]$, este constantă pe $[-1,2]$ și crește pe $[2,+\mathrm{\infty })$, deci minimul este 3.

Răspuns: $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$; valoarea minimă este 3, atinsă pentru $x\in [-1,2]$

Exemplul 3. Demonstrează, folosind definiția, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ este convexă.

Vezi rezolvarea

1. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$. Calculăm diferența dintre ordonata coardei și ordonata graficului: $$\begin{array}{rl}D& =(1-t)x_1^2+t{x}_2^2-((1-t)x_1+t{x}_2{)}^2\\ & =(1-t)x_1^2+t{x}_2^2-(1-t{)}^2{x}_1^2-2t(1-t)x_1{x}_2-t^2{x}_2^2\\ & =t(1-t)x_1^2-2t(1-t)x_1{x}_2+t(1-t)x_2^2\\ & =t(1-t)(x_1-x_2{)}^2.\end{array}$$ (Am folosit $(1-t)-(1-t{)}^2=t(1-t)$ și $t-t^2=t(1-t)$.)
2. Cum $t\ge 0$, $1-t\ge 0$ și $(x_1-x_2{)}^2\ge 0$, avem $D\ge 0$, adică inegalitatea din definiție.
3. Pentru $x_1\ne x_2$ și $t\in (0,1)$ avem $D>0$: funcția este chiar strict convexă.

Răspuns: $D=t(1-t)(x_1-x_2{)}^2\ge 0$, deci $f(x)=x^2$ este convexă pe $\mathbb{R}$

Exemplul 4 (lectură dintr-un tabel). Distanța $d$ (în metri) parcursă de o mașină în primele secunde după pornire este dată în tabel.

$t$ (s)	0	1	2	3	4
$d$ (m)	0	5	20	45	80

Descrie monotonia și forma graficului. Ce poți spune despre viteza mașinii?

Vezi rezolvarea

1. Ratele de creștere pe fiecare secundă: $5-0=5$, $20-5=15$, $45-20=25$, $80-45=35$ (metri pe secundă).
2. Toate sunt pozitive, deci distanța crește.
3. Ratele cresc (5, 15, 25, 35), deci linia frântă prin aceste puncte are pantele crescătoare: graficul crește convex.
4. Interpretare: în fiecare secundă mașina parcurge mai mult decât în secunda anterioară, adică viteza medie crește — mașina accelerează.

Răspuns: $d$ crește convex; viteza medie crește (5, 15, 25, 35 m/s), mașina accelerează

Exemplul 5. Determină numerele reale $a$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}(a-1)x+2,& x\le 0\\ (3-a)x+2,& x>0\end{array}$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

Vezi rezolvarea

1. În $x=0$ ambele ramuri dau 2, deci graficul este o linie frântă fără întreruperi, cu vârful $(0,2)$.
2. Pantele sunt $a-1$ (în stânga) și $3-a$ (în dreapta).
3. $f$ este convexă exact când pantele cresc: $a-1\le 3-a⟺2a\le 4$ $⟺a\le 2$.
4. Observație: pentru $a\ge 2$ funcția este concavă, iar pentru $a=2$ este afină, $f(x)=x+2$ (și convexă, și concavă).

Răspuns: $a\in (-\mathrm{\infty },2]$

Exemplul 6 (aplicație). Folosind convexitatea funcției $f(x)=x^2$ (exemplul 3), arată că ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le \frac{a^2+b^2}{2}$ pentru orice numere reale $a$ și $b$. Când are loc egalitatea?

Vezi rezolvarea

1. Aplicăm definiția convexității pentru $x_1=a$, $x_2=b$, $t=\frac{1}{2}$: $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{f(a)+f(b)}{2}$, adică exact inegalitatea cerută.
2. Verificare directă: $\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{(a+b{)}^2}{4}$ $=\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}$ $=\frac{(a-b{)}^2}{4}\ge 0$.
3. Egalitatea are loc pentru $a=b$. Interpretare: media aritmetică este cel mult egală cu media pătratică.

Răspuns: inegalitatea rezultă din convexitate; egalitate pentru $a=b$

Greșeli frecvente

• Confunzi convexitatea cu monotonia: „convex” nu înseamnă „crescător”. Funcția din exemplul 2 este convexă, dar întâi scade, apoi crește.
• Spui că o funcție este convexă „în general”, fără interval: funcția din exemplul 1 este convexă pe $[-1,+\mathrm{\infty })$, dar nu pe $\mathbb{R}$. Precizează mereu intervalul.
• Inversezi sensurile: la funcția convexă coarda este deasupra graficului (graficul „ține apă”, ca un bol); la cea concavă coarda este dedesubt.
• Aplici criteriul pantelor unei funcții cu „salt”: criteriul este valabil doar dacă ramurile se lipesc (graficul fără întreruperi). Verifică întâi valorile în punctele de racord.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: proprietățile funcțiilor, clasa a 9-a (monotonie, paritate, mărginire, injectivitate — printabilă, cu răspunsuri).
• Teorie despre celelalte proprietăți ale funcțiilor: monotonie, paritate, injectivitate, funcția inversă.
• La Bacalaureat (M1 și M2) convexitatea apare în Subiectul al III-lea, studiată cu derivata a doua (clasa a XI-a): de exemplu Bac M2 2020, sesiunea august, Subiectul al III-lea, ex. 1.b („Arătați că funcția $f$ este convexă”, rezolvat aici) și Simularea Bac M1 2022, Subiectul al III-lea, ex. 2.b (primitivă convexă, rezolvat aici). Ce înveți acum (coarda deasupra graficului) este exact interpretarea geometrică folosită acolo.
• Pentru mai târziu: fișă convexitate, concavitate, puncte de inflexiune (clasa a 11-a).

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție este convexă? Înseamnă că, pe intervalul considerat, segmentul care unește oricare două puncte ale graficului se află deasupra graficului (sau pe el). Intuitiv, graficul este „curbat în sus”, ca un bol.

Cum îmi dau seama din grafic dacă o funcție este convexă sau concavă? Alegi două puncte ale graficului și le unești: dacă segmentul este mereu deasupra graficului, funcția este convexă; dacă este mereu dedesubt, este concavă. La o linie frântă e suficient să compari pantele: cresc pentru convexă, scad pentru concavă.

Se studiază convexitatea cu derivate în clasa a IX-a? Nu. În clasa a IX-a convexitatea se recunoaște din grafic, din tabele de valori și din definiție (cu coarda). Caracterizarea cu derivata a doua se învață în clasa a XI-a.