Construcția triunghiurilor; inegalități între elemente — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să construiești un triunghi cu rigla, compasul și raportorul în cele trei cazuri (LUL, ULU, LLL) și descoperi, din aceste construcții, inegalitățile dintre elementele unui triunghi: orice latură este mai mică decât suma celorlalte două, iar unghiului mai mare i se opune latura mai mare. Construcțiile pregătesc criteriile de congruență, iar inegalitățile te ajută să verifici dacă trei lungimi pot fi laturile unui triunghi.

Teorie

Un triunghi are 6 elemente: 3 laturi și 3 unghiuri. Pentru a-l construi nu ai nevoie de toate șase: ajung trei elemente potrivit alese. Instrumente: rigla gradată (pentru lungimi), raportorul (pentru unghiuri) și compasul (pentru a „purta” o lungime).

Cazul LUL (latură–unghi–latură)

Se dau două laturi și unghiul cuprins între ele, de exemplu $AB=5$ cm, $BC=7$ cm și $m(\sphericalangle B)={60}^{\circ }$.

1. Desenezi segmentul $[BC]$ de 7 cm.
2. Cu raportorul, construiești în $B$ unghiul de ${60}^{\circ }$ cu o latură $[BC$.
3. Pe cealaltă latură a unghiului măsori $BA=5$ cm și obții punctul $A$.
4. Unești $A$ cu $C$.

Construcția se poate face pentru orice două lungimi și orice unghi cu măsura între $0^{\circ }$ și ${180}^{\circ }$.

Cazul ULU (unghi–latură–unghi)

Se dau o latură și cele două unghiuri alăturate ei, de exemplu $BC=6$ cm, $m(\sphericalangle B)={40}^{\circ }$, $m(\sphericalangle C)={70}^{\circ }$.

1. Desenezi $[BC]$ de 6 cm.
2. Construiești în $B$ unghiul de ${40}^{\circ }$ și în $C$ unghiul de ${70}^{\circ }$, de aceeași parte a dreptei $BC$.
3. Laturile noi ale celor două unghiuri se intersectează în punctul $A$.

Condiție: cele două semidrepte se întâlnesc doar dacă $m(\sphericalangle B)+m(\sphericalangle C)$ $<{180}^{\circ }$ (știi din lecția anterioară că suma tuturor unghiurilor este ${180}^{\circ }$, deci al treilea unghi trebuie să rămână pozitiv). Aici $m(\sphericalangle A)$ $={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-{70}^{\circ }$ $={70}^{\circ }$.

Cazul LLL (latură–latură–latură)

Se dau toate cele trei laturi, de exemplu $BC=6$ cm, $AB=4$ cm, $AC=5$ cm.

1. Desenezi $[BC]$ de 6 cm.
2. Cu vârful compasului în $B$ și deschiderea de 4 cm, trasezi un arc de cerc deasupra lui $[BC]$.
3. Cu vârful compasului în $C$ și deschiderea de 5 cm, trasezi un al doilea arc. Arcele se taie în punctul $A$.
4. Unești $A$ cu $B$ și cu $C$.

Încearcă același lucru cu lungimile 2 cm, 3 cm și 6 cm (figura din dreapta): cercul cu centrul în $B$ și raza 2 cm și cercul cu centrul în $C$ și raza 3 cm nu se întâlnesc, pentru că $2+3=5<6$. Triunghiul nu se poate construi. De aici vine prima inegalitate.

Inegalitatea triunghiului

În orice triunghi, lungimea fiecărei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi:

$$BC<AB+AC,AC<AB+BC,AB<AC+BC.$$

De ce? Drumul cel mai scurt dintre două puncte $B$ și $C$ este segmentul $[BC]$. Drumul $B\to A\to C$, care ocolește prin $A$ (punct care nu este pe segmentul $[BC]$), este mai lung: $AB+AC>BC$. Construcția LLL confirmă: arcele se taie numai dacă suma razelor depășește lungimea lui $[BC]$.

Cum verifici rapid dacă trei lungimi pot fi laturile unui triunghi: compari cea mai mare lungime cu suma celorlalte două; dacă este mai mică, triunghiul există. Din inegalitate rezultă și că fiecare latură este mai mare decât diferența celorlalte două (de exemplu, dacă $AC>AB$, atunci $BC>AC-AB$).

Laturi și unghiuri: cine se opune cui

Măsurând laturile și unghiurile triunghiurilor construite (rigla și raportorul), observi o regulă care este adevărată în orice triunghi:

• unghiului mai mare i se opune latura mai mare și, reciproc, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare;
• unghiurilor congruente li se opun laturi congruente și reciproc (în exemplul ULU de mai sus, $\sphericalangle A\equiv \sphericalangle C$, deci $BC=AB=6$ cm; vei demonstra această proprietate la triunghiul isoscel).

Consecință: în triunghiul dreptunghic, unghiul drept este cel mai mare unghi (celelalte două au împreună ${90}^{\circ }$), deci ipotenuza este cea mai lungă latură. La fel, în triunghiul obtuzunghic latura opusă unghiului obtuz este cea mai lungă.

De reținut

• Un triunghi se construiește din: două laturi și unghiul dintre ele (LUL), o latură și unghiurile alăturate ei (ULU) sau trei laturi (LLL).
• ULU: suma celor două unghiuri date trebuie să fie mai mică de ${180}^{\circ }$.
• LLL: cea mai mare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două.
• Unghiul mai mare se opune laturii mai mari; ipotenuza este cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Pot fi lungimile următoare laturile unui triunghi? a) 3 cm, 4 cm, 8 cm; b) 5 cm, 7 cm, 11 cm; c) 6 cm, 6 cm, 12 cm.

Vezi rezolvarea

1. a) Cea mai mare lungime este 8, iar $3+4=7<8$: nu.
2. b) Cea mai mare lungime este 11, iar $5+7=12>11$: da.
3. c) $6+6=12$, care nu este mai mare decât 12: nu (cele trei puncte ar fi coliniare, „triunghiul” s-ar turti pe un segment).

Răspuns: a) nu; b) da; c) nu

Exemplul 2. Un triunghi isoscel are două laturi de 4 cm și 9 cm. Află perimetrul lui.

Vezi rezolvarea

1. Laturile congruente pot avea 4 cm sau 9 cm.
2. Cazul 4 cm, 4 cm, 9 cm: $4+4=8<9$, triunghiul nu există.
3. Cazul 9 cm, 9 cm, 4 cm: $9+4=13>9$, triunghiul există. $P=9+9+4=22$ cm.

Răspuns: $P=22$ cm

Exemplul 3. Un triunghi are două laturi de 3 cm și 8 cm, iar a treia latură are lungimea un număr natural de centimetri. Ce valori poate avea a treia latură?

Vezi rezolvarea

1. Notăm a treia latură cu $x$. Ea este mai mică decât suma celorlalte: $x<3+8=11$.
2. Latura de 8 cm este mai mică decât suma celorlalte două: $8<3+x$, deci $x>5$.
3. $5<x<11$, cu $x$ natural: $x\in \{6,7,8,9,10\}$.

Răspuns: 6, 7, 8, 9 sau 10 cm (5 valori)

Exemplul 4. În triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle A)={50}^{\circ }$ și $m(\sphericalangle B)={70}^{\circ }$. Ordonează crescător lungimile laturilor.

Vezi rezolvarea

1. $m(\sphericalangle C)$ $={180}^{\circ }-{50}^{\circ }-{70}^{\circ }$ $={60}^{\circ }$.
2. Unghiurile în ordine crescătoare: $\sphericalangle A$ (${50}^{\circ }$), $\sphericalangle C$ (${60}^{\circ }$), $\sphericalangle B$ (${70}^{\circ }$).
3. Laturile opuse: $\sphericalangle A$ — $[BC]$, $\sphericalangle C$ — $[AB]$, $\sphericalangle B$ — $[AC]$. Unghiului mai mare i se opune latura mai mare.

Răspuns: $BC<AB<AC$

Exemplul 5. Perimetrul triunghiului $ABC$ este de 30 cm, $AB=8$ cm și latura $BC$ este cu 4 cm mai lungă decât $AC$. a) Află $AC$ și $BC$ și verifică inegalitatea triunghiului. b) Care este cel mai mare unghi al triunghiului?

Vezi rezolvarea

1. a) Notăm $AC=x$; atunci $BC=x+4$ și $8+x+x+4$ $=30$ $\Rightarrow 2x$ $=18$ $\Rightarrow x$ $=9$.
2. $AC=9$ cm, $BC=13$ cm. Verificare: cea mai mare latură este 13, iar $8+9=17>13$, deci triunghiul există.
3. b) Cea mai lungă latură este $[BC]$, iar unghiul opus ei este $\sphericalangle A$.

Răspuns: a) $AC=9$ cm, $BC=13$ cm; b) $\sphericalangle A$ (sau $\sphericalangle BAC$)

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Punctul $M$ se află în interiorul triunghiului $ABC$. a) Arată că $MB+MC<AB+AC$. b) Dacă $AB+AC=14$ cm, poate fi $MB+MC=15$ cm?

Vezi rezolvarea

1. a) Prelungim $[BM]$ până intersectează latura $[AC]$ în punctul $N$. Atunci $BN=BM+MN$ și $AC=AN+NC$.
2. În triunghiul $MNC$: $MC<MN+NC$. Adunăm $MB$: $MB+MC$ $<MB+MN+NC$ $=BN+NC$.
3. În triunghiul $ABN$: $BN<AB+AN$. Deci $BN+NC$ $<AB+AN+NC$ $=AB+AC$.
4. Din cele două inegalități: $MB+MC<AB+AC$.
5. b) Ar trebui $MB+MC<14$ cm, iar $15>14$: nu este posibil.

Răspuns: b) nu

Greșeli frecvente

• Verifici o singură sumă, la întâmplare: pentru 3, 4, 8 suma $3+8>4$ este adevărată, dar triunghiul nu există. Compară mereu cea mai mare latură cu suma celorlalte două.
• Accepți egalitatea: dacă $a+b=c$, punctele sunt coliniare și nu se formează un triunghi. Inegalitatea trebuie să fie strictă.
• La ULU iei un unghi care nu e alăturat laturii: în cazul ULU unghiurile date trebuie să aibă vârfurile la capetele laturii date. Dacă se dă un unghi opus, calculezi întâi al treilea unghi din suma de ${180}^{\circ }$.
• Asociezi unghiul cu o latură alăturată: unghiului mai mare i se opune latura mai mare, adică latura care nu trece prin vârful lui (exemplul 4).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Lecția următoare din programă folosește construcțiile de aici: criteriile de congruență a triunghiurilor; liniile importante în triunghi le construiești la fel, cu rigla și compasul: bisectoare, mediană, înălțime, mediatoare.
• La Evaluarea Națională inegalitățile nu apar ca itemi separați, dar te ajută să elimini variantele imposibile; exersează pe problemele cu triunghiuri date la EN, de exemplu Modelul EN 2027, Subiectul al II-lea, itemul 9 (triunghi isoscel cu baza de 12 cm și perimetrul de 32 cm; după ce afli latura, verifici că triunghiul există: $10+10>12$,rezolvat aici).

Întrebări frecvente

Care sunt cazurile de construcție a unui triunghi? Sunt trei: LUL (două laturi și unghiul cuprins între ele), ULU (o latură și cele două unghiuri alăturate ei) și LLL (cele trei laturi). În fiecare caz triunghiul obținut are o singură formă și mărime.

Ce este inegalitatea triunghiului? Este proprietatea că, în orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Din ea verifici dacă trei lungimi pot forma un triunghi: cea mai mare trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două.

Care latură se opune unghiului celui mai mare? Cea mai lungă latură. În orice triunghi, unghiului mai mare i se opune latura mai mare; de aceea, în triunghiul dreptunghic, ipotenuza este cea mai lungă latură.