Unități de volum; volumul cubului și al paralelipipedului — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este volumul unui corp, cum îl măsori cu cubulețe și de ce volumul paralelipipedului dreptunghic este lungime × lățime × înălțime, iar al cubului este muchia la puterea a treia. Înveți și unitățile de volum și de capacitate ($1$ dm³ $=1$ litru), pe care le folosești la acvarii, cutii sau piscine; volumul cubului apare și la Evaluarea Națională.

Teorie

Ce este volumul

Volumul unui corp arată cât spațiu ocupă acesta. Ca să-l măsurăm, folosim ca unitate un cub mic: centimetrul cub ($1$ cm³) este volumul unui cub cu muchia de $1$ cm. Volumul unui corp este numărul de astfel de cubulețe care îl umplu.

Volumul paralelipipedului dreptunghic

Un paralelipiped dreptunghic (forma unei cutii de pantofi) are trei dimensiuni: lungimea $L$, lățimea $l$ și înălțimea $h$. În figură, $L=4$ cm, $l=3$ cm, $h=2$ cm.

Pe fundul cutiei încap $4\cdot 3=12$ cubulețe (un strat), iar înălțimea de $2$ cm permite $2$ straturi. În total sunt $12\cdot 2=24$ cubulețe, deci volumul este $24$ cm³. La fel judecăm pentru orice cutie: un strat are $L\cdot l$ cubulețe și sunt $h$ straturi.

$$V_{\text{paralelipiped}}=L\cdot l\cdot h$$

Volumul cubului

Cubul este un paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale. Dacă muchia are lungimea $l$, atunci

$$V_{\text{cub}}=l\cdot l\cdot l=l^3.$$

De aici vine și numele de „cub” pentru puterea a treia: $5^3=125$ este volumul unui cub cu muchia 5.

Unități de măsură pentru volum

Unitatea principală este metrul cub (m³), volumul unui cub cu muchia de $1$ m. Un cub cu muchia de $1$ dm $=10$ cm se umple cu $10\cdot 10\cdot 10=1000$ de cubulețe de $1$ cm³. Deci fiecare unitate de volum este de 1000 de ori mai mare decât următoarea mai mică:

km³	hm³	dam³	m³	dm³	cm³	mm³
la fiecare pas spre dreapta înmulțim cu 1000; spre stânga împărțim la 1000

Exemple: $1$ m³ $=1000$ dm³, $1$ dm³ $=1000$ cm³, $1$ m³ $=1000000$ cm³; $4500$ cm³ $=4,5$ dm³.

Volum și capacitate

Capacitatea unui vas este volumul de lichid pe care îl poate cuprinde. Unitatea principală este litrul (L), iar legătura cu volumul este:

$$1\text{ L}=1{\text{ dm}}^3,1\text{ mL}=1{\text{ cm}}^3,1{\text{ m}}^3=1000\text{ L}.$$

De reținut

• $V=L\cdot l\cdot h$ pentru paralelipipedul dreptunghic și $V=l^3$ pentru cub.
• Toate dimensiunile trebuie exprimate în aceeași unitate înainte de înmulțire.
• Între două unități de volum vecine se înmulțește sau se împarte cu $1000$ (la lungimi era $10$, la arii $100$).
• $1$ dm³ $=1$ L, $1$ m³ $=1000$ L.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Află volumul unui cub cu muchia de $5$ cm. Exprimă rezultatul și în dm³.

Vezi rezolvarea

1. $V=l^3=5\cdot 5\cdot 5=125$ cm³.
2. $1$ dm³ $=1000$ cm³, deci $125$ cm³ $=125:1000$ dm³ $=\mathrm{0,125}$ dm³.

Răspuns: $125$ cm³ $=\mathrm{0,125}$ dm³

Exemplul 2. Transformă: a) $3$ m³ în dm³; b) $4500$ cm³ în dm³ și în litri; c) $0,25$ m³ în litri; d) $7$ dm³ în mm³.

Vezi rezolvarea

1. a) $3$ m³ $=3\cdot 1000$ dm³ $=3000$ dm³.
2. b) $4500$ cm³ $=4500:1000$ dm³ $=4,5$ dm³ $=4,5$ L.
3. c) $0,25$ m³ $=0,25\cdot 1000$ dm³ $=250$ dm³ $=250$ L.
4. d) De la dm³ la mm³ sunt doi pași (dm³ → cm³ → mm³): $7\cdot 1000\cdot 1000=7000000$ mm³.

Răspuns: a) $3000$ dm³; b) $4,5$ dm³ $=4,5$ L; c) $250$ L; d) $7000000$ mm³

Exemplul 3. Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea $60$ cm, lățimea $30$ cm și înălțimea $40$ cm. a) Câți litri de apă încap în acvariu? b) Câți litri sunt în acvariu dacă apa ajunge până la înălțimea de $35$ cm?

Vezi rezolvarea

1. a) $V=60\cdot 30\cdot 40=72000$ cm³ $=72$ dm³ $=72$ L.
2. b) Apa formează tot un paralelipiped, cu înălțimea de $35$ cm: $60\cdot 30\cdot 35=63000$ cm³ $=63$ L.

Răspuns: a) $72$ L; b) $63$ L

Exemplul 4. O cutie în formă de paralelipiped dreptunghic are baza un dreptunghi cu dimensiunile $12$ cm și $5$ cm, iar volumul ei este $900$ cm³. Află înălțimea cutiei.

Vezi rezolvarea

1. $V=L\cdot l\cdot h$, deci $12\cdot 5\cdot h=900$, adică $60\cdot h=900$.
2. $h=900:60=15$ cm. Verificare: $12\cdot 5\cdot 15=900$.

Răspuns: $h=15$ cm

Exemplul 5. Câte cuburi cu muchia de $2$ cm se pot așeza, fără spații goale, într-o cutie în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $10$ cm, $8$ cm și $6$ cm?

Vezi rezolvarea

1. Pe lungime încap $10:2=5$ cuburi, pe lățime $8:2=4$, pe înălțime $6:2=3$.
2. Numărul de cuburi: $5\cdot 4\cdot 3=60$.
3. Verificare cu volume: cutia are $10\cdot 8\cdot 6=480$ cm³, un cub are $2^3=8$ cm³, iar $480:8=60$.

Răspuns: $60$ de cuburi

Exemplul 6 (problemă). O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea $25$ m, lățimea $10$ m și adâncimea $1,8$ m. a) Câți litri de apă sunt necesari pentru a o umple complet? b) O pompă introduce în piscină $15000$ L de apă pe oră. În câte ore se umple piscina?

Vezi rezolvarea

1. a) $V=25\cdot 10\cdot 1,8=250\cdot 1,8=450$ m³.
2. $1$ m³ $=1000$ L, deci $450$ m³ $=450000$ L.
3. b) $450000:15000=30$ de ore.

Răspuns: a) $450000$ L; b) $30$ de ore

Greșeli frecvente

• Transformi volumele cu 10 sau 100: la volum pasul este $1000$. De exemplu, $2,5$ dm³ $=2500$ cm³, nu $250$ cm³.
• Înmulțești dimensiuni în unități diferite: pentru o cutie de $2$ m $\times$ $50$ cm $\times$ $40$ cm transformi întâi totul în aceeași unitate: $200\cdot 50\cdot 40=400000$ cm³ $=400$ L.
• Calculezi $l\cdot 3$ în loc de $l^3$: cubul cu muchia $4$ cm are $4\cdot 4\cdot 4=64$ cm³, nu $12$ cm³.
• Crezi că, dacă dublezi muchia, volumul se dublează: cubul cu muchia $2$ are volumul $8$, cel cu muchia $4$ are $64$, adică de $8$ ori mai mult.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: unități de măsură, clasa a 5-a (transformări de volum și capacitate, volume, probleme; printabilă, cu răspunsuri).
• Formulele corpurilor: cubul și paralelipipedul dreptunghic; tabel cu toate transformările: unități de măsură — transformări.
• Verifică-ți rezultatele cu calculatorul de arie și volum pentru corpuri.
• La Evaluarea Națională, prima cerință a problemei de geometrie în spațiu este adesea chiar volumul cubului: EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 6 a) (cubul cu muchia $8$ cm are $512$ cm³, rezolvat aici); alte exemple la geometria în spațiu la EN (de exemplu Modelul EN 2025, problema 6 a), cubul cu muchia $6$ cm).

Întrebări frecvente

Cum se calculează volumul unui paralelipiped dreptunghic? Înmulțești cele trei dimensiuni, exprimate în aceeași unitate: $V=L\cdot l\cdot h$. De exemplu, o cutie de $4$ cm $\times$ $3$ cm $\times$ $2$ cm are $24$ cm³.

Câți cm³ are un dm³? Un dm³ are $1000$ cm³, pentru că un cub cu muchia de $10$ cm se umple cu $10\cdot 10\cdot 10=1000$ de cubulețe de $1$ cm³.

Câți litri are un metru cub? Un metru cub are $1000$ de litri, deoarece $1$ m³ $=1000$ dm³ și $1$ dm³ $=1$ L.