Fișă de lucru inele și corpuri clasa a 12-a — 17 exerciții cu răspunsuri
Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 12-a despre inele și corpuri: calcul și ecuații în \(\mathbb{Z}_n\), elemente inversabile, divizori ai lui zero, inele de matrice și subinele. Exercițiile marcate (M1) sunt pentru programa M1; răspunsurile sunt la final.
Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________
Fișă de lucru — inele și corpuri, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Exercițiile marcate (M1) sunt pentru programa M1 (mate-info).
I. Nivel ușor
- Calculează în \(\mathbb{Z}_5\): \(\hat{3}+\hat{4}\), \(\hat{3}\cdot\hat{4}\) și \(\hat{2}^3\).
- Determină inversul fiecărui element nenul din \(\mathbb{Z}_5\).
- Determină divizorii lui zero din inelul \(\mathbb{Z}_6\).
- Adevărat sau fals? a) \(\mathbb{Z}_7\) este corp; b) \(\mathbb{Z}_8\) este corp; c) \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) este corp.
- Rezolvă în \(\mathbb{Z}_5\) ecuația \(\hat{2}x+\hat{3}=\hat{4}\).
- Determină elementele inversabile ale inelului \(\mathbb{Z}_{12}\).
II. Nivel mediu
- Rezolvă în \(\mathbb{Z}_7\) ecuația \(x^2=\hat{2}\).
- Rezolvă în \(\mathbb{Z}_6\) ecuația \(x^2+x=\hat{0}\). Câte soluții are?
- Rezolvă în \(\mathbb{Z}_5\) sistemul \(\begin{cases}\hat{2}x+\hat{3}y=\hat{1}\\x+y=\hat{3}\end{cases}\).
- Fie \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\) și \(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&-1\end{pmatrix}\). Calculează \(AB\). Ce arată rezultatul despre inelul \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)?
- (M1) Arată că \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\) este subinel al lui \((\mathbb{R},+,\cdot)\).
- Câte elemente inversabile are inelul \(\mathbb{Z}_{15}\)? Enumeră-le.
III. Nivel greu
- (M1) Arată că \(1+\sqrt{2}\) este inversabil în \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) și determină inversul său.
- Calculează în \(\mathbb{Z}_7\): \(S=\hat{1}+\hat{2}+\ldots+\hat{6}\) și \(P=\hat{1}\cdot\hat{2}\cdot\ldots\cdot\hat{6}\).
- (M1) Arată că \(K=\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}\) este parte stabilă a lui \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) față de adunare și înmulțire și că orice matrice nenulă din \(K\) este inversabilă.
- (M1) Pe \(\mathbb{Z}\) se definesc \(x\oplus y=x+y-1\) și \(x\odot y=xy-x-y+2\). Determină elementele neutre ale celor două legi și arată că \(f(x)=x+1\) verifică \(f(x+y)=f(x)\oplus f(y)\) și \(f(xy)=f(x)\odot f(y)\).
- (M1) Rezolvă în \(\mathbb{Z}_8\) ecuația \(\hat{4}x=\hat{0}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Răspunsuri
- \(\hat{2}\), \(\hat{2}\), \(\hat{3}\)
- \(\hat{1}^{-1}=\hat{1}\), \(\hat{2}^{-1}=\hat{3}\), \(\hat{3}^{-1}=\hat{2}\), \(\hat{4}^{-1}=\hat{4}\)
- \(\hat{2}\), \(\hat{3}\), \(\hat{4}\) (\(\hat{2}\cdot\hat{3}=\hat{0}\), \(\hat{4}\cdot\hat{3}=\hat{0}\))
- a) A (7 e prim); b) F (\(\hat{2}\cdot\hat{4}=\hat{0}\)); c) F (2 nu e inversabil în \(\mathbb{Z}\))
- \(x=\hat{3}\) (\(\hat{2}x=\hat{1}\))
- \(\hat{1}\), \(\hat{5}\), \(\hat{7}\), \(\hat{11}\) (clasele numerelor prime cu 12)
- \(x\in\{\hat{3},\hat{4}\}\)
- \(x\in\{\hat{0},\hat{2},\hat{3},\hat{5}\}\) — 4 soluții (\(\mathbb{Z}_6\) are divizori ai lui zero)
- \(x=\hat{3}\), \(y=\hat{0}\)
- \(AB=O_2\), deși \(A\ne O_2\), \(B\ne O_2\): \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) are divizori ai lui zero
- Conține 1; e stabilă la scădere; \((a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=\) \((ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\)
- 8: \(\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{7},\hat{8},\hat{11},\hat{13},\hat{14}\)
- \((1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})=1\), deci inversul este \(-1+\sqrt{2}\)
- \(S=\hat{0}\) (21); \(P=\hat{6}\) (720 = 7·102 + 6)
- Produsul are forma \(\begin{pmatrix}ac-bd&-(ad+bc)\\ad+bc&ac-bd\end{pmatrix}\in K\); \(\det=a^2+b^2\gt 0\) pentru matricea nenulă (\(K\) este corp, izomorf cu \(\mathbb{C}\))
- Neutrul lui \(\oplus\): 1; neutrul lui \(\odot\): 2 (\(x\odot y=(x-1)(y-1)+1\)); \(f(x)\oplus f(y)=x+y+1\), \(f(x)\odot f(y)=xy+1\)
- \(x\in\{\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6}\}\)