Operații cu limite de șiruri. Cazuri de nedeterminare — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să calculezi limita unui șir pornind de la limitele șirurilor mai simple din care este construit: suma, produsul, câtul și puterea se comportă „cum te aștepți”, cu excepția a șapte cazuri de nedeterminare, pe care le ridici prin transformări (factor forțat, amplificare cu conjugatul, numărul $e$). Aceste tehnici le folosești imediat la limitele de funcții, iar la Bacalaureat (M1) apar la Subiectul al III-lea, la șirurile de integrale.

Teorie

Ce știm deja: limita unui șir

Șirul $(x_n{)}_{n\ge 1}$ are limita $l\in \bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ dacă orice vecinătate a lui $l$ conține toți termenii șirului, cu excepția unui număr finit dintre ei. Scriem $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=l$. Dacă limita există, ea este unică. Un șir cu limită finită se numește convergent; un șir care are limita $\pm \mathrm{\infty }$ sau nu are limită se numește divergent.

Operații cu șiruri care au limită

Dacă $x_n\to a$ și $y_n\to b$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, atunci:

$$\begin{array}{rl}& lim(x_n\pm y_n)=a\pm b,lim(x_n{y}_n)=ab,lim(\alpha x_n)=\alpha a,\\ & lim\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}(b\ne 0),lim{x}_n^{y_n}=a^b(x_n>0,a>0),lim\sqrt[k]{x_n}=\sqrt[k]{a}.\end{array}$$

Regulile rămân adevărate și când una dintre limite este infinită, cu convențiile de calcul din $\bar{\mathbb{R}}$:

Operația	Rezultat
$a+\mathrm{\infty }$, cu $a\in \mathbb{R}$ sau $a=+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
$a\cdot (+\mathrm{\infty })$	$+\mathrm{\infty }$ dacă $a>0$; $-\mathrm{\infty }$ dacă $a<0$
${\displaystyle \frac{a}{\pm \mathrm{\infty }}}$, cu $a\in \mathbb{R}$	$0$
${\displaystyle \frac{a}{0_{+}}}$, cu $a>0$ (numitorul tinde la 0 prin valori pozitive)	$+\mathrm{\infty }$
$q^{+\mathrm{\infty }}$	$+\mathrm{\infty }$ dacă $q>1$; $0$ dacă $0\le q<1$
$(+\mathrm{\infty }{)}^b$	$+\mathrm{\infty }$ dacă $b>0$; $0$ dacă $b<0$

Cazurile de nedeterminare

Există șapte situații în care cunoașterea limitelor lui $x_n$ și $y_n$ nu determină rezultatul:

$$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\cdot \mathrm{\infty },\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},1^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\infty }}^0,0^0.$$

De ce „nedeterminare”? Pentru că același tip poate da orice rezultat. Toate produsele de mai jos sunt de tipul $0\cdot \mathrm{\infty }$: $\frac{1}{n}\cdot n=1\to 1$, $\frac{1}{n}\cdot n^2=n\to +\mathrm{\infty }$, $\frac{1}{n^2}\cdot n=\frac{1}{n}\to 0$. Deci nu există o regulă; trebuie să transformi expresia până dispare nedeterminarea.

Limite de referință

• $lim{n}^k=+\mathrm{\infty }$ și $lim\frac{1}{n^k}=0$, pentru $k>0$.
• Șirul geometric: $lim{q}^n=+\mathrm{\infty }$ dacă $q>1$; $=1$ dacă $q=1$; $=0$ dacă $-1<q<1$; nu are limită dacă $q\le -1$ (de exemplu $(-2{)}^n$ alternează semnul).
• Raportul a două polinoame în $n$, cu coeficienții dominanți $a_p\ne 0$, $b_q\ne 0$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_p{n}^p+\cdots +a_0}{b_q{n}^q+\cdots +b_0}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a_p}{b_q}},& p=q\\ 0,& p<q\\ \pm \mathrm{\infty }(\text{semnul lui }\frac{a_p}{b_q}),& p>q\end{array}$$

• Numărul $e$ (din lecția despre teorema lui Weierstrass): $lim{(1+\frac{1}{n})}^n=e\approx \mathrm{2,718}$. Mai general, dacă $u_n\to 0$ și $u_n\ne 0$, atunci

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+u_n)}^{\frac{1}{u_n}}=e.$$

Criterii de existență a limitei

• Criteriul cleștelui: dacă $a_n\le x_n\le b_n$ (de la un rang încolo) și $lim{a}_n=lim{b}_n=l$, atunci $lim{x}_n=l$.
• Criteriul majorării: dacă $|x_n-l|\le {\alpha }_n$ și ${\alpha }_n\to 0$, atunci $x_n\to l$. Dacă $x_n\ge a_n$ și $a_n\to +\mathrm{\infty }$, atunci $x_n\to +\mathrm{\infty }$.
• Mărginit ori „tinde la 0”: dacă $(x_n)$ este mărginit și $y_n\to 0$, atunci $x_n{y}_n\to 0$. Exemplu: $\frac{\sin n}{n}\to 0$, pentru că $|\sin n|\le 1$.

Cum ridici nedeterminările

1. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ la polinoame, radicali, puteri: factor forțat cu termenul dominant (cea mai mare putere a lui $n$, respectiv cea mai mare bază la exponențiale).
2. $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ cu radicali: amplifici cu conjugatul: $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$.
3. $1^{\mathrm{\infty }}$: scrii baza ca $1+u_n$, cu $u_n\to 0$, și formezi limita lui $e$: $$(1+u_n{)}^{v_n}={[(1+u_n{)}^{\frac{1}{u_n}}]}^{u_n{v}_n}\to e^{lim{u}_n{v}_n}.$$
4. Sume cu $n$ termeni: fie calculezi suma cu o formulă ($1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$), fie o încadrezi și aplici criteriul cleștelui.

De reținut

• Întâi înlocuiești „formal” limitele; doar dacă obții o nedeterminare, transformi expresia.
• $1^{\mathrm{\infty }}$ nu este 1, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ nu este 0, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ nu este 1.
• La raport de polinoame contează doar gradele și coeficienții dominanți.
• $q^n\to 0$ pentru $|q|<1$, iar pentru $q\le -1$ șirul nu are limită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2-5n+1}{2n^2+n}$; b) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n^2+2}$; c) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Cazul $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Dai factor forțat $n^2$: $\frac{n^2(3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n})}=\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}\to \frac{3}{2}$ (grade egale: raportul coeficienților dominanți).
2. b) Gradul numărătorului (1) este mai mic decât al numitorului (2): $\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{2}{n^2})}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^2}}\to 0\cdot 1=0$.
3. c) Suma are $n$ termeni, deci nu poți aplica regula sumei „termen cu termen”. Folosești formula lui Gauss: $\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n^2+n}{2n^2}\to \frac{1}{2}$.

Răspuns: a) $\frac{3}{2}$; b) $0$; c) $\frac{1}{2}$

Exemplul 2. Calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n^2+3n}-n)$.

Vezi rezolvarea

1. Cazul $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. Amplifici cu conjugatul $\sqrt{n^2+3n}+n$:

$$\sqrt{n^2+3n}-n=\frac{n^2+3n-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{n(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1)}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}.$$

2. Cum $\sqrt{1+\frac{3}{n}}\to 1$, limita este $\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$.

Răspuns: $\frac{3}{2}$

Exemplul 3. Calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3^{n+1}+2^n}{3^n-5\cdot 2^n}$.

Vezi rezolvarea

1. Cazul $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Baza cea mai mare este 3; dai factor forțat $3^n$ sus și jos:

$$\frac{3^n(3+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n)}{3^n(1-5{\left(\frac{2}{3}\right)}^n)}=\frac{3+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-5{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}.$$

2. Cum $0<\frac{2}{3}<1$, ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$, deci limita este $\frac{3+0}{1-0}=3$.

Răspuns: $3$

Exemplul 4. Calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n+2}{n-1}\right)}^n$.

Vezi rezolvarea

1. Baza tinde la 1, exponentul la $+\mathrm{\infty }$: cazul $1^{\mathrm{\infty }}$. Scrii baza ca $1+u_n$: $\frac{n+2}{n-1}=1+\frac{3}{n-1}$, cu $u_n=\frac{3}{n-1}\to 0$.
2. Formezi limita lui $e$:

$${(1+\frac{3}{n-1})}^n={\left[{(1+\frac{3}{n-1})}^{\frac{n-1}{3}}\right]}^{\frac{3n}{n-1}}.$$

3. Paranteza dreaptă tinde la $e$, iar exponentul $\frac{3n}{n-1}\to 3$. Limita este $e^3$.

Răspuns: $e^3$ (nu 1!)

Exemplul 5. Calculează limita șirului $S_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$.

Vezi rezolvarea

1. Suma are $n$ termeni care nu se pot aduna cu o formulă. Îi încadrezi: pentru $k=1,2,\dots ,n$, $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$, deci $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$.
2. Aduni cele $n$ inegalități: $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$.
3. $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\to 1$ și $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to 1$. Din criteriul cleștelui, $S_n\to 1$.

Răspuns: $lim{S}_n=1$

Exemplul 6. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{4n^2+n}-an-b)=0$.

Vezi rezolvarea

1. Scrii $\sqrt{4n^2+n}-an=n(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-a)$. Paranteza tinde la $2-a$. Dacă $a\ne 2$, produsul tinde la $+\mathrm{\infty }$ (pentru $a<2$) sau $-\mathrm{\infty }$ (pentru $a>2$), iar scăzând $b$ limita rămâne infinită. Deci obligatoriu $a=2$.
2. Pentru $a=2$ ai cazul $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$; amplifici cu conjugatul:

$$\sqrt{4n^2+n}-2n=\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}=\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+2}\to \frac{1}{4}.$$

3. Limita din enunț este $\frac{1}{4}-b$, care este 0 pentru $b=\frac{1}{4}$.

Răspuns: $a=2$, $b=\frac{1}{4}$

Greșeli frecvente

• „$1^{\mathrm{\infty }}=1$”. Fals: ${(1+\frac{1}{n})}^n\to e$, iar ${(1+\frac{2}{n})}^n\to e^2$. Cazul $1^{\mathrm{\infty }}$ se rezolvă formând limita lui $e$.
• „$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=0$”. Fals: $\sqrt{n^2+3n}-n\to \frac{3}{2}$, iar $n^2-n\to +\mathrm{\infty }$. Folosește factorul forțat sau conjugatul.
• Regula sumei aplicată unei sume cu $n$ termeni. $\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots +\frac{1}{n}$ (de $n$ ori) este 1, nu $0+0+\cdots =0$. Regulile de operații sunt pentru un număr fix de termeni.
• „$q^n\to +\mathrm{\infty }$ pentru orice $|q|>1$”. Pentru $q=-2$ termenii $-2,4,-8,16,\dots$ alternează semnul, deci șirul nu are limită.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: limite de șiruri, clasa a 11-a (trei niveluri, cu răspunsuri).
• Teorie de bază: șiruri: monotonie, mărginire, convergență, teorema lui Weierstrass, criteriul cleștelui.
• La Bacalaureat (M1), limitele de șiruri apar în clasa a XII-a, la șirurile de integrale, unde se încheie cu exact regulile din această lecție: Bac M1 2021, sesiunea iunie, Subiectul al III-lea, 2 c) ($0\le I_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n(b-a)$ și criteriul cleștelui, rezolvat aici) și Bac M1 2022, sesiunea iunie, Subiectul al III-lea, 2 c) ($0\le I_n\le \frac{1}{2(n+1)}$, rezolvat aici).
• Următorul pas: limite de funcții și limite remarcabile; verifică-ți rezultatele cu calculatorul de limite.

Lecția este în programa de clasa a XI-a la profilul mate-info (M1). La științele naturii (M2) limitele de șiruri nu fac parte din programă; acolo se studiază direct limitele de funcții.

Întrebări frecvente

Ce este un caz de nedeterminare la limite de șiruri? Este o operație al cărei rezultat nu se poate stabili doar din limitele șirurilor componente: $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $1^{\mathrm{\infty }}$, ${\mathrm{\infty }}^0$, $0^0$. În aceste cazuri transformi expresia (factor forțat, conjugat, numărul $e$) până obții o formă determinată.

Cum calculez limita unui raport de polinoame în n? Compari gradele: dacă sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă numărătorul are grad mai mic, limita este 0; dacă are grad mai mare, limita este $+\mathrm{\infty }$ sau $-\mathrm{\infty }$, după semnul raportului coeficienților dominanți.

Cât este limita lui (1 + 1/n) la puterea n? Este numărul $e\approx \mathrm{2,718}$. Mai general, ${(1+\frac{a}{n})}^n\to e^a$, iar orice caz $1^{\mathrm{\infty }}$ se aduce la forma ${(1+u_n)}^{\frac{1}{u_n}}$, cu $u_n\to 0$.