Conicele: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cele patru conice: cercul, elipsa, hiperbola și parabola, fiecare definită printr-o proprietate a distanțelor și descrisă printr-o ecuație de gradul al doilea în $x$ și $y$. Le reprezinți grafic ca reuniune de grafice de funcții (de tipul $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$), cu ce ai învățat la derivate și asimptote. Conicele descriu orbitele planetelor, oglinzile parabolice și antenele de satelit.

Teorie

Lucrăm într-un reper cartezian $xOy$. Distanța dintre punctele $M(x,y)$ și $P(x_1,y_1)$ este $MP=\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}$ (din clasa a X-a). O curbă nu este graficul unei funcții dacă o dreaptă verticală o taie în două puncte; de aceea fiecare conică se desenează ca reuniunea a două grafice de funcții.

Cercul

Cercul de centru $C(a,b)$ și rază $r>0$ este mulțimea punctelor $M$ cu $MC=r$. Ridicând la pătrat $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=r$ obții ecuația cercului:

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

Desfăcând parantezele, orice cerc are o ecuație de forma $x^2+y^2+mx+ny+p=0$. Reciproc, prin formarea de pătrate, ${(x+\frac{m}{2})}^2+{(y+\frac{n}{2})}^2=\frac{m^2+n^2-4p}{4}$: ecuația este a unui cerc dacă și numai dacă $m^2+n^2-4p>0$, cu centrul $(-\frac{m}{2},-\frac{n}{2})$ și raza $r=\frac{1}{2}\sqrt{m^2+n^2-4p}$.

Grafic: cercul este reuniunea graficelor funcțiilor $y=b+\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$ (semicercul de sus) și $y=b-\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$ (semicercul de jos), definite pe $[a-r,a+r]$.

Elipsa

Fie două puncte fixe $F(c,0)$ și $F^{\prime }(-c,0)$, numite focare, și un număr $a>c>0$. Elipsa este mulțimea punctelor $M$ pentru care $MF+M{F}^{\prime }=2a$. Cu $b^2=a^2-c^2$, ecuația ei (ecuația redusă) este:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

De unde vine? Scrii $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ și ridici de două ori la pătrat:

$$\begin{array}{rl}(x+c{)}^2+y^2& =4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2\\ a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}& =a^2-cx\\ a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)& =a^4-2a^{2}cx+c^2{x}^2\\ (a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2& =a^2(a^2-c^2),\end{array}$$

apoi împarți cu $a^2{b}^2$. Pe drum ai obținut și o formulă utilă: $MF=a-\frac{c}{a}x$, iar $M{F}^{\prime }=a+\frac{c}{a}x$.

Elementele elipsei: centrul $O$; vârfurile $A(a,0)$, $A^{\prime }(-a,0)$, $B(0,b)$, $B^{\prime }(0,-b)$; axa mare $A{A}^{\prime }=2a$, axa mică $B{B}^{\prime }=2b$; distanța focală $F{F}^{\prime }=2c$, cu $c^2=a^2-b^2$. Dacă $a=b$, elipsa este cercul de rază $a$.

Reprezentarea grafică. Din ecuație, $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, cu $x\in [-a,a]$. Funcția $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ (jumătatea de sus) are:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}},f^{″}(x)=-\frac{ab}{{(a^2-x^2)}^{3/2}}<0,x\in (-a,a),$$

deci este crescătoare pe $[-a,0]$, descrescătoare pe $[0,a]$, cu maximul $f(0)=b$, concavă; în $\pm a$ derivatele laterale sunt infinite, deci tangentele în $A$ și $A^{\prime }$ sunt verticale. Jumătatea de jos este simetrica față de $Ox$.

Hiperbola

Fie focarele $F(c,0)$, $F^{\prime }(-c,0)$ și $0<a<c$. Hiperbola este mulțimea punctelor $M$ pentru care $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$. Cu $b^2=c^2-a^2$, ecuația redusă este:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Elementele hiperbolei: vârfurile $A(a,0)$, $A^{\prime }(-a,0)$ (hiperbola nu taie axa $Oy$); focarele $F(\pm c,0)$, cu $c^2=a^2+b^2$; două ramuri, pentru $x\ge a$ și $x\le -a$; asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$.

Reprezentarea grafică. $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$, cu $|x|\ge a$. Pentru $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$: $f^{\prime }(x)=\frac{bx}{a\sqrt{x^2-a^2}}$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },-a]$ și crescătoare pe $[a,+\mathrm{\infty })$; $f^{″}(x)=-\frac{ab}{{(x^2-a^2)}^{3/2}}<0$, deci concavă pe fiecare interval. Asimptota oblică spre $+\mathrm{\infty }$:

$$m=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\frac{b}{a},n=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{b}{a}x)=\frac{b}{a}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}+x}=0.$$

Spre $-\mathrm{\infty }$ asimptota este $y=-\frac{b}{a}x$. Dacă $a=b$, hiperbola $x^2-y^2=a^2$ se numește echilateră și are asimptotele $y=\pm x$ (perpendiculare). Graficul funcției $y=\frac{k}{x}$ este tot o hiperbolă echilateră, rotită, cu asimptotele $Ox$ și $Oy$.

Parabola

Fie un punct $F$, numit focar, și o dreaptă $d$, numită directoare, cu $F\notin d$. Parabola este mulțimea punctelor $M$ egal depărtate de $F$ și de $d$. Pentru $F(\frac{p}{2},0)$ și $d:x=-\frac{p}{2}$, cu $p>0$, condiția $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}$ devine, după ridicarea la pătrat:

$$y^2=2px.$$

Elementele parabolei: vârful $O(0,0)$, axa de simetrie $Ox$, focarul $F(\frac{p}{2},0)$, directoarea $x=-\frac{p}{2}$. Grafic: $y=\pm \sqrt{2px}$, $x\ge 0$; funcția $f(x)=\sqrt{2px}$ este crescătoare și concavă, iar în 0 are tangenta verticală ($f_d^{\prime }(0)=+\mathrm{\infty }$). Graficul funcției de gradul al II-lea $y=a{x}^2+bx+c$ din clasa a IX-a este tot o parabolă, cu axa de simetrie verticală.

De reținut

• Cercul: $MC=r$; ecuația $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.
• Elipsa: $MF+M{F}^{\prime }=2a$; ecuația $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $c^2=a^2-b^2$.
• Hiperbola: $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$; ecuația $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $c^2=a^2+b^2$; asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$.
• Parabola: $MF=d(M,d)$; ecuația $y^2=2px$, focarul $F(\frac{p}{2},0)$, directoarea $x=-\frac{p}{2}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Arată că $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ este ecuația unui cerc, află centrul și raza și verifică dacă punctul $P(5,1)$ este pe cerc.

Vezi rezolvarea

1. Formezi pătrate: $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ și $y^2+6y=(y+3{)}^2-9$.
2. Ecuația devine $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2-4-9-12=0$, adică $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$.
3. Centrul $C(2,-3)$, raza $r=5$. Pentru $P(5,1)$: $(5-2{)}^2+(1+3{)}^2=9+16=25$, deci $P$ este pe cerc.

Răspuns: $C(2,-3)$, $r=5$; $P$ aparține cercului

Exemplul 2. Scrie ecuația cercului de diametru $[AB]$, unde $A(1,2)$ și $B(5,-4)$.

Vezi rezolvarea

1. Centrul este mijlocul diametrului: $C(\frac{1+5}{2},\frac{2-4}{2})=C(3,-1)$.
2. $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(-4-2{)}^2}=\sqrt{52}$, adică $AB=2\sqrt{13}$, deci $r=\sqrt{13}$.
3. Verificare cu $A$: $(1-3{)}^2+(2+1{)}^2=4+9=13$.

Răspuns: $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=13$

Exemplul 3. Pentru elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ află vârfurile și focarele, apoi verifică definiția pentru punctul $M(4,\frac{9}{5})$.

Vezi rezolvarea

1. $a^2=25$, $b^2=9$, deci $a=5$, $b=3$, $c^2=a^2-b^2=16$, $c=4$.
2. Vârfurile: $A(5,0)$, $A^{\prime }(-5,0)$, $B(0,3)$, $B^{\prime }(0,-3)$; focarele: $F(4,0)$, $F^{\prime }(-4,0)$.
3. $M$ este pe elipsă: $\frac{16}{25}+\frac{81}{225}=\frac{144+81}{225}=1$.
4. $MF=\sqrt{0+\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$, $M{F}^{\prime }=\sqrt{64+\frac{81}{25}}=\sqrt{\frac{1681}{25}}=\frac{41}{5}$, iar $MF+M{F}^{\prime }=\frac{50}{5}=10=2a$.

Răspuns: vârfurile $(\pm 5,0)$, $(0,\pm 3)$; focarele $(\pm 4,0)$; $MF+M{F}^{\prime }=10$

Exemplul 4. a) Ce curbă are ecuația $4x^2+9y^2=36$? b) Scrie ecuația elipsei cu focarele $(\pm 3,0)$ și un vârf în $A(5,0)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Împarți cu 36: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, o elipsă cu $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$, deci focarele $(\pm \sqrt{5},0)$.
2. b) $c=3$ și $a=5$ (vârful de pe axa focarelor), deci $b^2=a^2-c^2=25-9=16$.

Răspuns: a) elipsa $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, cu focarele $(\pm \sqrt{5},0)$; b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Exemplul 5. Pentru hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ află vârfurile, focarele și asimptotele; verifică definiția pentru $M(5,\frac{9}{4})$.

Vezi rezolvarea

1. $a=4$, $b=3$, $c^2=a^2+b^2=25$, $c=5$. Vârfurile $(\pm 4,0)$, focarele $(\pm 5,0)$.
2. Pentru ramura de sus, $f(x)=\frac{3}{4}\sqrt{x^2-16}$: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\frac{3}{4}$ și $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-\frac{3}{4}x)=0$, deci asimptota $y=\frac{3}{4}x$; prin simetrie, și $y=-\frac{3}{4}x$.
3. $M$ este pe hiperbolă: $\frac{25}{16}-\frac{81}{16\cdot 9}=\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$. $MF=\frac{9}{4}$ ($M$ și $F$ au aceeași abscisă), $M{F}^{\prime }=\sqrt{100+\frac{81}{16}}=\frac{41}{4}$, $|MF-M{F}^{\prime }|=\frac{32}{4}=8=2a$.

Răspuns: vârfurile $(\pm 4,0)$, focarele $(\pm 5,0)$, asimptotele $y=\pm \frac{3}{4}x$

Exemplul 6. Pentru parabola $y^2=8x$ află focarul și directoarea, verifică definiția pentru $M(2,4)$ și studiază funcția $f(x)=\sqrt{8x}$, $x\ge 0$.

Vezi rezolvarea

1. $2p=8$, deci $p=4$: focarul $F(2,0)$, directoarea $x=-2$.
2. $M(2,4)$: $4^2=16=8\cdot 2$, deci e pe parabolă; $MF=4$ (aceeași abscisă) și distanța la directoare este $2-(-2)=4$.
3. $f^{\prime }(x)=\frac{8}{2\sqrt{8x}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}>0$ pe $(0,+\mathrm{\infty })$: crescătoare; $f^{″}(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2x\sqrt{x}}<0$: concavă; $\underset{x\searrow 0}{lim}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{\infty }$: tangenta în $O$ este verticală.

Răspuns: $F(2,0)$, $d:x=-2$; $MF=d(M,d)=4$; $f$ crescătoare și concavă

Greșeli frecvente

• Confunzi relația dintre $a$, $b$, $c$. La elipsă $c^2=a^2-b^2$ (focarele sunt în interior, $c<a$); la hiperbolă $c^2=a^2+b^2$ ($c>a$).
• Iei raza egală cu $r^2$. Din $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ raza este 5, nu 25; iar centrul are semnele schimbate: $C(2,-3)$.
• Socotești orice $x^2+y^2+mx+ny+p=0$ un cerc. Trebuie $m^2+n^2-4p>0$; de exemplu $x^2+y^2+4=0$ nu are niciun punct.
• Desenezi conica drept graficul unei singure funcții. Cercul, elipsa, hiperbola și parabola $y^2=2px$ nu sunt grafice de funcții; fiecare este reuniunea a două grafice, $y=\pm (\dots )$.

Verifică-te

Exersează

• Instrumentele: studiul funcțiilor cu derivate, asimptote și fișa de lucru: reprezentarea grafică a funcțiilor.
• Distanțe și coordonate: coordonatele unui punct, distanța dintre două puncte; parabola funcției de gradul al II-lea: funcția de gradul al II-lea.
• La Bacalaureat: geometrie analitică la Bac (dreapta, distanțe, arii).

Programă și Bac. „Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)” este în programa de clasa a XI-a la mate-info (M1), la capitolul despre reprezentarea grafică a funcțiilor, și în programa de Bacalaureat M1; la științele naturii (M2) nu este. Spunem cinstit: în subiectele de Bacalaureat M1 din 2020–2027 rezolvate pe site nu a apărut niciun item despre conice, deci lecția contează mai ales pentru notele din clasă și pentru studiul complet al funcțiilor cu radicali.

Întrebări frecvente

Care este ecuația elipsei? Ecuația redusă este $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, unde $2a$ este axa mare și $2b$ axa mică. Focarele sunt $(\pm c,0)$, cu $c^2=a^2-b^2$, iar orice punct $M$ al elipsei are $MF+M{F}^{\prime }=2a$.

Care sunt asimptotele hiperbolei? Pentru $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, asimptotele sunt dreptele $y=\frac{b}{a}x$ și $y=-\frac{b}{a}x$. Se obțin ca asimptote oblice ale funcțiilor $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$.

Conicele intră la Bacalaureat? Sunt în programa de Bacalaureat M1 (clasa a XI-a), dar în subiectele oficiale din ultimii ani nu au apărut. La M2, M3 și M4 nu sunt în programă.