Fișă de lucru reprezentarea grafică a funcțiilor clasa a 11-a — 14 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 14 exerciții pentru clasa a 11-a despre reprezentarea grafică a funcțiilor: intersecții cu axele, asimptote, studiul derivatelor întâi și a doua, tabelul de variație complet și folosirea graficului pentru numărul de soluții ale unei ecuații. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — reprezentarea grafică a funcțiilor, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Pași: domeniu, intersecții cu axele, paritate, limite și asimptote, \(f'\) (monotonie, extreme), \(f''\) (convexitate, inflexiune), tabel de variație, grafic.

I. Nivel ușor

  1. Determină punctele de intersecție ale graficului funcției \(f(x)=x^3-3x^2\) cu axele de coordonate.
  2. Determină asimptotele graficului funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\).
  3. Arată că funcția \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) este impară. Ce simetrie are graficul?
  4. Determină asimptotele graficului funcției \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\).

II. Nivel mediu

  1. Realizează tabelul de variație complet (monotonie, extreme, convexitate, inflexiune, limite la \(\pm\infty\)) și trasează graficul funcției \(f(x)=x^3-3x^2\).
  2. Realizează tabelul de variație și trasează graficul funcției \(f(x)=x^3-3x+2\).
  3. Realizează tabelul de variație și trasează graficul funcției \(f(x)=x^4-2x^2\).
  4. Realizează tabelul de variație al funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\), și trasează graficul.
  5. Realizează tabelul de variație al funcției \(f(x)=x\,e^x\) și trasează graficul.

III. Nivel greu

  1. Studiază complet și reprezintă grafic funcția \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\).
  2. Studiază complet și reprezintă grafic funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\).
  3. Studiază complet și reprezintă grafic funcția \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).
  4. Studiază complet și reprezintă grafic funcția \(f(x)=e^{-x^2}\).
  5. Folosind tabelul de variație al funcției \(f(x)=x\,e^x\), discută după \(m\in\mathbb{R}\) numărul soluțiilor reale ale ecuației \(x\,e^x=m\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(Ox\): \((0,0)\) și \((3,0)\); \(Oy\): \((0,0)\)
  2. Asimptotă verticală \(x=1\); asimptotă orizontală \(y=2\) (spre \(\pm\infty\))
  3. \(f(-x)=-f(x)\); graficul este simetric față de origine
  4. Asimptotă verticală \(x=0\); asimptotă oblică \(y=x\) (spre \(\pm\infty\))
  5. \(f'(x)=3x(x-2)\): crescătoare pe \((-\infty,0]\), descrescătoare pe \([0,2]\), crescătoare pe \([2,\infty)\); maxim \(f(0)=0\), minim \(f(2)=-4\); \(f''(x)=6x-6\): inflexiune \((1,-2)\); \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\)
  6. \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\): maxim \(f(-1)=4\), minim \(f(1)=0\); \(f''(x)=6x\): inflexiune \((0,2)\); \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\): intersecții \((-2,0)\), \((1,0)\) (graficul e tangent la \(Ox\)), \((0,2)\)
  7. Pară; zerouri \(0,\pm\sqrt{2}\); \(f'(x)=4x(x-1)(x+1)\): minime \(f(\pm 1)=-1\), maxim \(f(0)=0\); \(f''(x)=12x^2-4\): inflexiune în \(x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\), \(f=-\frac{5}{9}\); limite \(+\infty\) la \(\pm\infty\)
  8. \(f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}\lt 0\): descrescătoare pe \((-\infty,1)\) și pe \((1,\infty)\); \(f''(x)=\frac{6}{(x-1)^3}\): concavă pe \((-\infty,1)\), convexă pe \((1,\infty)\); asimptote \(x=1\), \(y=2\); intersecții \(\left(-\frac{1}{2},0\right)\), \((0,-1)\)
  9. \(f'(x)=(x+1)e^x\): minim \(f(-1)=-\frac{1}{e}\); \(f''(x)=(x+2)e^x\): inflexiune \(\left(-2,-\frac{2}{e^2}\right)\); \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\) (asimptotă orizontală \(y=0\) spre \(-\infty\)), \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\); trece prin \((0,0)\)
  10. Impară; \(f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\): crescătoare pe \((-\infty,-1]\) și \([1,\infty)\), descrescătoare pe \([-1,0)\) și \((0,1]\); maxim \(f(-1)=-2\), minim \(f(1)=2\); \(f''(x)=\frac{2}{x^3}\): concavă pe \((-\infty,0)\), convexă pe \((0,\infty)\); asimptote \(x=0\) și \(y=x\); nu intersectează axele
  11. Zero în \(x=1\); \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\): maxim \(f(e)=\frac{1}{e}\); \(f''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}\): inflexiune în \(x=e\sqrt{e}\), \(f=\frac{3}{2e\sqrt{e}}\); asimptote \(x=0\) (\(\lim\limits_{x\searrow 0}f(x)=-\infty\)) și \(y=0\) spre \(\infty\)
  12. \(f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\): maxim local \(f(0)=0\), minim local \(f(2)=4\); \(f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}\): concavă pe \((-\infty,1)\), convexă pe \((1,\infty)\); asimptote \(x=1\) și \(y=x+1\)
  13. Pară, \(f(x)\gt 0\); \(f'(x)=-2x\,e^{-x^2}\): maxim \(f(0)=1\); \(f''(x)=2(2x^2-1)e^{-x^2}\): inflexiune în \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(f=\frac{1}{\sqrt{e}}\); asimptotă orizontală \(y=0\) spre \(\pm\infty\)
  14. Nicio soluție pentru \(m\lt -\frac{1}{e}\); o soluție pentru \(m=-\frac{1}{e}\); două soluții pentru \(m\in\left(-\frac{1}{e},0\right)\); o soluție pentru \(m\ge 0\)

Teorie: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor · Asimptote — orizontale, verticale, oblice · Calculator asimptote · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru