Date statistice și reprezentări grafice — lecție clasa a 10-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cum se culeg, se clasifică și se prezintă datele statistice: populație și eșantion, tipuri de variabile, tabele de frecvențe absolute, relative și cumulate, gruparea pe intervale, histograma, poligonul frecvențelor și diagrama circulară. Le folosești la sondaje, la bugetul unei familii sau al unei firme și la orice raport cu grafice.

Teorie

Noțiuni de bază

• Populația statistică este mulțimea pe care o studiem (de exemplu toți elevii unui liceu); un element al ei este o unitate statistică.
• Un eșantion (o selecție) este o parte a populației pe care se fac efectiv măsurătorile, când populația este prea mare. Ca să tragi concluzii corecte, eșantionul trebuie ales la întâmplare, nu doar din „cei la îndemână”.
• Caracteristica (variabila statistică) este proprietatea urmărită. Ea poate fi calitativă (culoarea preferată, mijlocul de transport) sau cantitativă; cea cantitativă este discretă dacă ia valori izolate, de obicei numere întregi (numărul de frați, nota), sau continuă dacă poate lua orice valoare dintr-un interval (înălțimea, timpul, masa).
• Culegerea datelor se face prin observare totală (recensământ, toată populația) sau prin sondaj (pe un eșantion), cu chestionare, măsurători, înregistrări.

Tabelul de frecvențe

Fie o serie de $N$ date în care apar valorile $x_1,x_2,\dots ,x_k$. Pentru fiecare valoare:

• frecvența absolută $n_i$ = de câte ori apare $x_i$; $n_1+n_2+\dots +n_k=N$;
• frecvența relativă $f_i=\frac{n_i}{N}$, adesea în procente; $f_1+f_2+\dots +f_k=1=100\mathrm{\%}$;
• frecvența cumulată crescător a lui $x_i$ = câte date sunt mai mici sau egale cu $x_i$: $n_1+n_2+\dots +n_i$; cumulată descrescător = câte date sunt mai mari sau egale cu $x_i$: $n_i+n_{i+1}+\dots +n_k$.

Frecvențele cumulate răspund direct la întrebări de tipul „câți elevi au cel mult…” sau „câți au cel puțin…”.

Gruparea datelor pe clase (intervale)

Când datele sunt numeroase sau variabila este continuă, le grupezi în clase: intervale de aceeași lungime, de forma $[a,b)$, care nu se suprapun și acoperă toate datele. Fiecare dată intră într-o singură clasă (valoarea 170 intră în $[170,180)$, nu în $[160,170)$). Clasa este reprezentată de centrul ei $\frac{a+b}{2}$; clasa cu frecvența cea mai mare este clasa modală.

Reprezentări grafice

• Diagrama cu bare (prin batoane): pentru variabile discrete sau calitative; câte o bară pentru fiecare valoare, cu înălțimea egală cu frecvența, barele separate între ele.
• Histograma: pentru date grupate pe intervale; dreptunghiuri alăturate (fără spații, pentru că intervalele se continuă), cu baza egală cu intervalul și înălțimea egală cu frecvența (la intervale de aceeași lungime).
• Poligonul frecvențelor: linia frântă care unește punctele $(x_i,n_i)$; pe histogramă unește mijloacele laturilor de sus ale dreptunghiurilor (punctele de la centrele claselor).
• Diagrama circulară: discul reprezintă totalul, iar valoarea $x_i$ primește un sector cu unghiul $f_i\cdot {360}^{\circ }=\frac{n_i}{N}\cdot {360}^{\circ }$.
• Cronograma (graficul cu linii în timp): pentru o mărime urmărită în timp (prețuri, temperaturi, vânzări pe luni).

Cum alegi și cum citești un grafic

Bare pentru a compara valori, histogramă pentru date grupate pe intervale, disc pentru părțile unui întreg, cronogramă pentru evoluții în timp. Când citești un grafic, uită-te întâi la axe: dacă axa verticală nu pornește de la 0, diferențele dintre bare par mult mai mari decât sunt (vezi exemplul 5).

De reținut

• $\sum n_i=N$, $\sum f_i=100\mathrm{\%}$ (cu mici abateri doar din cauza rotunjirilor).
• Cumulat crescător = „cel mult”, cumulat descrescător = „cel puțin”; ultima frecvență cumulată crescător este $N$.
• Clasele $[a,b)$: capătul din dreapta aparține clasei următoare.
• Histograma are dreptunghiuri lipite; diagrama cu bare are bare separate.
• Unghiul sectorului circular = frecvența relativă $\cdot {360}^{\circ }$ ($1\mathrm{\%}$ înseamnă $3,6^{\circ }$).

Prelucrarea datelor continuă cu parametrii statistici (media, mediana, modul, dispersia), în lecția următoare din cuprins.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Într-un liceu cu 1200 de elevi, s-au chestionat 150 de elevi aleși la întâmplare despre: a) culoarea ochilor; b) numărul de frați; c) timpul zilnic petrecut pe telefon; d) nota la purtare. Precizează populația, eșantionul și tipul fiecărei variabile.

Vezi rezolvarea

1. Populația: cei 1200 de elevi ai liceului; eșantionul: cei 150 de elevi chestionați ($12,5\mathrm{\%}$ din populație).
2. a) Culoarea ochilor: variabilă calitativă (valorile nu sunt numere).
3. b) Numărul de frați: cantitativă discretă (0, 1, 2, …).
4. c) Timpul pe telefon: cantitativă continuă (poate fi orice valoare dintr-un interval).
5. d) Nota la purtare: cantitativă discretă (numere întregi de la 1 la 10).

Răspuns: a) calitativă; b) discretă; c) continuă; d) discretă

Exemplul 2. 25 de elevi au spus câte cărți au citit în vacanță: 0 cărți – 3 elevi, 1 carte – 7, 2 cărți – 8, 3 cărți – 5, 4 cărți – 2. Completează tabelul cu frecvențele relative și cumulate și află câți elevi au citit cel mult 2 cărți și ce procent au citit cel puțin 3.

Vezi rezolvarea

1. Verifici totalul: $3+7+8+5+2=25=N$.
2. Frecvența relativă: $\frac{n_i}{25}\cdot 100\mathrm{\%}$, de exemplu $\frac{7}{25}=28\mathrm{\%}$.

cărți	0	1	2	3	4
$n_i$	3	7	8	5	2
$f_i$	12%	28%	32%	20%	8%
cumulat crescător	3	10	18	23	25
cumulat descrescător	25	22	15	7	2

3. „Cel mult 2 cărți”: frecvența cumulată crescător a valorii 2, adică 18 elevi.
4. „Cel puțin 3 cărți”: cumulat descrescător al valorii 3: 7 elevi, adică $\frac{7}{25}=28\mathrm{\%}$.

Răspuns: 18 elevi au citit cel mult 2 cărți; 28% au citit cel puțin 3

Exemplul 3. Înălțimile (în cm) a 20 de elevi sunt: 171, 158, 166, 183, 175, 163, 188, 172, 169, 152, 178, 161, 174, 185, 165, 176, 172, 181, 168, 179. Grupează datele în clasele $[150,160)$, $[160,170)$, $[170,180)$, $[180,190)$, calculează frecvențele relative, precizează clasa modală și desenează histograma.

Vezi rezolvarea

1. Numeri datele din fiecare clasă: $[150,160)$: 158, 152 – 2 elevi; $[160,170)$: 166, 163, 169, 161, 165, 168 – 6 elevi; $[170,180)$: 171, 175, 172, 178, 174, 176, 172, 179 – 8 elevi; $[180,190)$: 183, 188, 185, 181 – 4 elevi. Total $2+6+8+4=20$.
2. Frecvențele relative: $\frac{2}{20}=10\mathrm{\%}$, $\frac{6}{20}=30\mathrm{\%}$, $\frac{8}{20}=40\mathrm{\%}$, $\frac{4}{20}=20\mathrm{\%}$.
3. Clasa modală este $[170,180)$, cu centrul $175$ cm.
4. Histograma este figura din teorie: patru dreptunghiuri alăturate cu înălțimile 2, 6, 8, 4; poligonul frecvențelor unește punctele $(155,2)$, $(165,6)$, $(175,8)$, $(185,4)$.

Răspuns: frecvențe 2, 6, 8, 4 (10%, 30%, 40%, 20%); clasa modală $[170,180)$

Exemplul 4. Cei 40 de elevi ai unei clase vin la școală astfel: 14 pe jos, 12 cu autobuzul, 10 cu mașina, 4 cu bicicleta. Calculează unghiurile sectoarelor diagramei circulare.

Vezi rezolvarea

1. Unghiul sectorului: $\frac{n_i}{40}\cdot {360}^{\circ }=n_i\cdot 9^{\circ }$.
2. Pe jos: $14\cdot 9^{\circ }={126}^{\circ }$; autobuz: $12\cdot 9^{\circ }={108}^{\circ }$; mașină: ${90}^{\circ }$; bicicletă: ${36}^{\circ }$.
3. Verificare: ${126}^{\circ }+{108}^{\circ }+{90}^{\circ }+{36}^{\circ }={360}^{\circ }$.

Răspuns: ${126}^{\circ }$, ${108}^{\circ }$, ${90}^{\circ }$, ${36}^{\circ }$

Exemplul 5. Într-un sondaj, candidatul A are 52%, iar candidatul B 48%. Într-o diagramă cu bare, axa verticală începe de la 45%. De câte ori pare mai înaltă bara lui A decât a lui B și de câte ori este de fapt mai mare procentul lui A?

Vezi rezolvarea

1. Pe grafic se văd doar porțiunile de deasupra lui 45%: $52-45=7$ și $48-45=3$ unități. Bara lui A pare de $\frac{7}{3}\approx 2,33$ ori mai înaltă.
2. În realitate $\frac{52}{48}=\frac{13}{12}\approx 1,08$: A are doar cu aproximativ 8% mai mult decât B (o diferență de 4 puncte procentuale).

Răspuns: pare de aproximativ 2,33 ori mai mare, dar este doar de aproximativ 1,08 ori mai mare — graficul este înșelător

Exemplul 6 (buget familial). Cheltuielile lunare ale unei familii sunt: chirie 1500 lei, alimente 2000 lei, utilități 800 lei, transport 500 lei, alte cheltuieli 1200 lei. a) Calculează ce procent din total reprezintă fiecare categorie. b) Calculează unghiurile diagramei circulare. c) Ce tip de grafic alegi ca să arăți cum au evoluat cheltuielile cu utilitățile de-a lungul unui an?

Vezi rezolvarea

1. Totalul: $1500+2000+800+500+1200=6000$ lei.
2. a) Chirie $\frac{1500}{6000}=25\mathrm{\%}$; alimente $\frac{2000}{6000}\approx 33,3\mathrm{\%}$; utilități $\approx 13,3\mathrm{\%}$; transport $\approx 8,3\mathrm{\%}$; altele $20\mathrm{\%}$.
3. b) Unghiul = $\frac{\text{suma}}{6000}\cdot {360}^{\circ }$: chirie ${90}^{\circ }$, alimente ${120}^{\circ }$, utilități ${48}^{\circ }$, transport ${30}^{\circ }$, altele ${72}^{\circ }$; suma lor este ${360}^{\circ }$.
4. c) O evoluție în timp se reprezintă printr-o cronogramă (grafic cu linii pe luni), nu printr-o diagramă circulară.

Răspuns: a) 25%, 33,3%, 13,3%, 8,3%, 20%; b) ${90}^{\circ },{120}^{\circ },{48}^{\circ },{30}^{\circ },{72}^{\circ }$; c) cronogramă

Greșeli frecvente

• Histograma cu spații între bare: intervalele $[150,160)$, $[160,170)$ se continuă, deci dreptunghiurile se lipesc. Barele separate sunt pentru valori discrete sau categorii.
• O dată numărată de două ori: la clasele $[a,b)$, valoarea $b$ aparține clasei următoare. Verifică mereu că suma frecvențelor este $N$.
• Confuzia dintre frecvențele cumulate: „cel mult 2” se citește din cumulatul crescător, „cel puțin 3” din cel descrescător, nu invers.
• Diagrama circulară pentru o evoluție în timp: discul arată părțile unui întreg la un moment dat; pentru evoluție pe luni sau ani folosește o cronogramă.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: matematici financiare, statistică și probabilități, clasa a 10-a (cu răspunsuri).
• Teorie înrudită: probabilități și elemente de statistică, medii (pentru parametrii statistici) și calculatorul de procente, calculatorul de medie ponderată.
• Recapitulare din gimnaziu: elemente de statistică, clasa a 8-a și statistică și grafice la Evaluarea Națională.

Statistica este în programa de clasa a X-a pentru M1 și M2 și în programa de Bacalaureat (cu aplicații din domeniul financiar), dar în subiectele de Bac M1 și M2 din 2020–2026 nu a apărut niciun item de statistică; la Bac, din acest capitol se dau de obicei probabilități și procente.

Întrebări frecvente

Ce este o histogramă? Este reprezentarea grafică a datelor grupate pe intervale: pe fiecare interval se desenează un dreptunghi cu înălțimea egală cu frecvența clasei (la intervale de aceeași lungime). Dreptunghiurile sunt alăturate, pentru că intervalele se continuă.

Care este diferența dintre frecvența absolută și frecvența relativă? Frecvența absolută spune de câte ori apare o valoare; frecvența relativă este frecvența absolută împărțită la numărul total de date, de obicei scrisă în procente. Suma frecvențelor relative este 100%.

Ce grafic aleg pentru un set de date? Diagrama cu bare pentru valori discrete sau categorii, histograma pentru date grupate pe intervale, diagrama circulară pentru părțile unui întreg și cronograma pentru evoluția unei mărimi în timp.