Teorema lui Menelaus și teorema lui Ceva — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți teorema lui Menelaus (când sunt coliniare trei puncte situate pe laturile unui triunghi sau pe prelungirile lor) și teorema lui Ceva (când sunt concurente trei ceviene), cu demonstrații bazate pe teorema lui Thales și cu reciprocele lor. Le folosești ca să afli rapoarte de segmente și ca să demonstrezi concurențe, de exemplu a medianelor sau a bisectoarelor; sunt în programa de clasa a IX-a și apar des la olimpiadă.

Teorie

În toată lecția, $\frac{MB}{MC}$ înseamnă raportul lungimilor segmentelor $[MB]$ și $[MC]$. O ceviană a triunghiului $ABC$ este un segment care unește un vârf cu un punct de pe latura opusă, de exemplu $[AD]$ cu $D\in (BC)$.

Teorema lui Menelaus

Teoremă. Fie triunghiul $ABC$ și o dreaptă $d$ care nu trece prin niciun vârf și intersectează dreptele $BC$, $CA$, $AB$ în punctele $M$, $N$, respectiv $P$. Atunci

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

Cum reții ordinea: pornești dintr-un vârf și mergi în jurul triunghiului $B\to C\to A\to B$; fiecare raport are la numărător vârful de unde pleci și la numitor vârful spre care mergi, iar la mijloc punctul de pe acea latură.

Demonstrație (cu teorema lui Thales). Ducem prin $C$ paralela la $d$, care taie dreapta $AB$ în $Q$. Pe dreptele $BA$ și $BC$, care pleacă din $B$, paralelele $PM$ și $QC$ determină segmente proporționale: $\frac{MB}{MC}=\frac{PB}{PQ}$. Pe dreptele $AB$ și $AC$, care pleacă din $A$, paralelele $PN$ și $QC$ dau $\frac{NC}{NA}=\frac{PQ}{PA}$. Înmulțind:

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=\frac{PB}{PQ}\cdot \frac{PQ}{PA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

Poziția punctelor. O dreaptă care nu trece prin vârfuri taie fie exact două laturi (în interior) și prelungirea celei de-a treia, ca în figură, fie numai prelungirile tuturor celor trei laturi. Nu poate tăia toate trei laturile în interior.

Reciproca teoremei lui Menelaus. Fie $M\in BC$, $N\in CA$, $P\in AB$, diferite de vârfuri, astfel încât fie exact unul, fie toate trei sunt pe prelungirile laturilor. Dacă $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, atunci punctele $M,N,P$ sunt coliniare. (Ideea: dreapta $NP$ taie $BC$ într-un punct $M^{\prime }$ exterior segmentului $[BC]$, cu același raport $\frac{M^{\prime }B}{M^{\prime }C}=\frac{MB}{MC}$ după teorema directă; pe prelungirile segmentului $[BC]$ un singur punct are acest raport, deci $M^{\prime }=M$. Dacă raportul ar fi 1, ar rezulta $NP\parallel BC$ și niciun punct $M$ nu ar exista.)

Teorema lui Ceva

Teoremă. Fie triunghiul $ABC$ și punctele $D\in (BC)$, $E\in (CA)$, $F\in (AB)$. Cevienele $AD$, $BE$, $CF$ sunt concurente dacă și numai dacă

$$\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1.$$

Demonstrație. „$\Rightarrow$”: fie $O$ punctul comun. Aplicăm Menelaus în triunghiul $ABD$ cu dreapta $CF$ (care trece prin $F\in AB$, $O\in AD$ și $C$ de pe prelungirea lui $BD$): $\frac{FA}{FB}\cdot \frac{CB}{CD}\cdot \frac{OD}{OA}=1$. Apoi în triunghiul $ADC$ cu dreapta $BE$: $\frac{EC}{EA}\cdot \frac{OA}{OD}\cdot \frac{BD}{BC}=1$. Înmulțind cele două egalități, rapoartele $\frac{OD}{OA}\cdot \frac{OA}{OD}$ și $\frac{CB}{BC}$ se simplifică și rămâne $\frac{FA}{FB}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{BD}{CD}=1$.

„$\Leftarrow$” (reciproca): fie $O=AD\cap BE$ și $F^{\prime }=CO\cap AB$, cu $F^{\prime }\in (AB)$. După partea directă, $\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{F^{\prime }A}{F^{\prime }B}=1$, deci $\frac{F^{\prime }A}{F^{\prime }B}=\frac{FA}{FB}$. Pe segmentul $(AB)$ un singur punct împarte segmentul într-un raport dat, deci $F^{\prime }=F$ și cele trei ceviene trec prin $O$.

De reținut

• Menelaus = coliniaritate (o dreaptă care taie dreptele laturilor); Ceva = concurență (trei ceviene).
• În ambele, produsul celor trei rapoarte „în jurul triunghiului” este 1.
• La Menelaus: 0 sau 2 puncte în interiorul laturilor; la Ceva (cum o folosim aici): toate trei în interior.
• Reciprocele demonstrează coliniarități și concurențe; teoremele directe dau rapoarte de segmente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $[BC]$, iar $N\in (AC)$ cu $\frac{AN}{NC}=2$. Dreptele $AM$ și $BN$ se intersectează în $P$. Află $\frac{AP}{PM}$.

Vezi rezolvarea

1. Aplicăm Menelaus în triunghiul $AMC$ cu dreapta $BN$: ea trece prin $P\in (AM)$, $N\in (CA)$ și prin $B$, de pe prelungirea lui $[MC]$.
2. $\frac{BM}{BC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PM}=1$, cu $\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$ și $\frac{NC}{NA}=\frac{1}{2}$.
3. $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{PA}{PM}=1\Rightarrow \frac{PA}{PM}=4$.

Răspuns: $\frac{AP}{PM}=4$ (dacă $N$ ar fi mijlocul lui $[AC]$, am obține $2$: centrul de greutate împarte mediana în raportul $2:1$)

Exemplul 2. În triunghiul $ABC$ se iau $P\in (AB)$ cu $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$ și $N\in (AC)$ cu $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}$. Dreapta $PN$ taie dreapta $BC$ în $M$. Află $\frac{MB}{MC}$ și precizează poziția lui $M$.

Vezi rezolvarea

1. Menelaus în triunghiul $ABC$ cu dreapta $PN$: $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, adică $\frac{MB}{MC}\cdot 3\cdot \frac{1}{2}$ $=1$.
2. $\frac{MB}{MC}=\frac{2}{3}$.
3. Dreapta taie laturile $(AB)$ și $(AC)$, deci $M$ este pe prelungirea lui $[BC]$; cum $MB<MC$, $M$ este de partea lui $B$ (iar $B$ este între $M$ și $C$). Din $MB=2k$, $MC=3k$ rezultă $BC=k$, deci $MB=2\cdot BC$.

Răspuns: $\frac{MB}{MC}=\frac{2}{3}$; $M$ este pe prelungirea lui $[CB]$ dincolo de $B$, cu $MB=2BC$

Exemplul 3. În triunghiul $ABC$, $D\in (BC)$ cu $\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$ și $E\in (CA)$ cu $\frac{CE}{EA}=\frac{3}{4}$. Dreapta $CO$, unde $O=AD\cap BE$, taie $AB$ în $F$. Află $\frac{AF}{FB}$.

Vezi rezolvarea

1. Cevienele $AD$, $BE$, $CF$ sunt concurente în $O$, deci după teorema lui Ceva: $\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1$.
2. $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{FA}{FB}=1\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{FA}{FB}=1$.

Răspuns: $\frac{AF}{FB}=2$ (este chiar situația din figura de mai sus)

Exemplul 4. Demonstrează cu teorema lui Ceva că medianele unui triunghi sunt concurente și că bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente.

Vezi rezolvarea

1. Medianele: $D,E,F$ sunt mijloacele laturilor, deci fiecare raport este 1, iar produsul este $1\cdot 1\cdot 1=1$. După reciproca teoremei lui Ceva, medianele sunt concurente (în centrul de greutate $G$).
2. Bisectoarele: notăm $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Teorema bisectoarei dă $\frac{DB}{DC}=\frac{c}{b}$, $\frac{EC}{EA}=\frac{a}{c}$, $\frac{FA}{FB}=\frac{b}{a}$.
3. Produsul: $\frac{c}{b}\cdot \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{a}=1$, deci bisectoarele sunt concurente (în centrul cercului înscris $I$).

Concluzie: în ambele cazuri produsul rapoartelor este 1, deci cevienele sunt concurente.

Exemplul 5. Demonstrează cu teorema lui Ceva că înălțimile unui triunghi ascuțitunghic sunt concurente.

Vezi rezolvarea

1. Fie $AD$, $BE$, $CF$ înălțimile; triunghiul fiind ascuțitunghic, picioarele lor sunt în interiorul laturilor.
2. În triunghiul dreptunghic $ABD$: $BD=c\cos B$; în $ACD$: $DC=b\cos C$. Analog $EC=a\cos C$, $EA=c\cos A$, $FA=b\cos A$, $FB=a\cos B$.
3. $\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}$ $=\frac{c\cos B}{b\cos C}\cdot \frac{a\cos C}{c\cos A}\cdot \frac{b\cos A}{a\cos B}$ $=1$.

Concluzie: după reciproca teoremei lui Ceva, înălțimile sunt concurente (în ortocentrul $H$).

Exemplul 6 (nivel olimpiadă, etapa locală). În triunghiul $ABC$, punctul $D\in (BC)$ verifică $\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$, iar $E$ este mijlocul segmentului $[AD]$. Dreapta $BE$ taie latura $AC$ în $F$. Află $\frac{AF}{FC}$.

Vezi rezolvarea

1. Aplicăm Menelaus în triunghiul $ADC$ cu dreapta $BF$: ea trece prin $E\in (AD)$, $F\in (AC)$ și $B$, de pe prelungirea lui $[DC]$.
2. $\frac{BD}{BC}\cdot \frac{FC}{FA}\cdot \frac{EA}{ED}=1$. Din $BD=k$, $DC=2k$ avem $BC=3k$, deci $\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}$; $\frac{EA}{ED}=1$.
3. $\frac{1}{3}\cdot \frac{FC}{FA}=1\Rightarrow \frac{FC}{FA}=3$.

Răspuns: $\frac{AF}{FC}=\frac{1}{3}$

Greșeli frecvente

• Încurci ordinea rapoartelor. Rapoartele se scriu „în jurul triunghiului”: $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}$; dacă scrii $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NA}{NC}\cdot \dots$, produsul nu mai este 1.
• Aplici Menelaus în triunghiul greșit. Alege un triunghi în care dreapta folosită (secanta) taie câte o dată dreptele celor trei laturi și nu trece prin vârfuri (în exemplul 1: triunghiul $AMC$ și dreapta $BN$).
• Folosești reciproca fără să verifici poziția punctelor. La reciproca lui Menelaus trebuie ca 1 sau 3 puncte să fie pe prelungiri; la reciproca lui Ceva (aici) toate trei pe laturi.
• Confunzi cele două teoreme. Ceva vorbește despre trei drepte prin vârfuri care trec printr-un punct; Menelaus despre trei puncte pe o dreaptă.

Verifică-te

Exersează

• Recapitulează instrumentele folosite în demonstrații: teorema lui Thales (cu exerciții rezolvate) și liniile importante în triunghi (mediane, bisectoare, înălțimi, teorema bisectoarei).
• Fișă de lucru: aplicații ale trigonometriei în geometrie, clasa a 9-a (același capitol din programă; nu conține încă probleme cu Menelaus sau Ceva).
• La olimpiadă: Olimpiada Națională de Matematică 2024, etapa națională, clasa a IX-a, Problema 1 (puncte pe o latură și teorema lui Menelau, rezolvată aici).
• Bacalaureat: teoremele lui Menelaus și Ceva sunt în programa de Bac M1 și M2 (clasa a IX-a, la capitolul despre vectori), dar în subiectele 2020–2026 rezolvate pe site nu a apărut niciun item cu ele.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Menelaus? Dacă o dreaptă care nu trece prin vârfurile triunghiului $ABC$ taie dreptele $BC$, $CA$, $AB$ în $M$, $N$, $P$, atunci $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$. Reciproca este folosită pentru a demonstra că trei puncte sunt coliniare.

Ce spune teorema lui Ceva? Pentru $D\in (BC)$, $E\in (CA)$, $F\in (AB)$, dreptele $AD$, $BE$, $CF$ sunt concurente dacă și numai dacă $\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1$.

Când folosesc Menelaus și când Ceva? Menelaus, când ai trei puncte pe o dreaptă (o secantă) sau vrei un raport în care o dreaptă împarte un segment; Ceva, când ai trei drepte prin vârfuri care trec prin același punct sau vrei să arăți că trec printr-un punct.