Fracții zecimale: scriere și transformări — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este o fracție zecimală, cum citești zecimile, sutimile și miimile și cum treci de la fracția ordinară cu numitorul 10, 100, 1000 la fracția zecimală și invers. Înveți și să înmulțești sau să împarți cu 10, 100, 1000 mutând virgula — exact ce folosești la transformarea unităților de măsură și la Subiectul I al Evaluării Naționale.

Teorie

Ce este o fracție zecimală

Fracțiile ordinare cu numitorul 10, 100, 1000, … (puteri ale lui 10) se pot scrie mai scurt, cu virgulă:

$$\frac{7}{10}=0,7\frac{39}{100}=0,39\frac{1253}{1000}=\mathrm{1,253}\frac{6}{1000}=\mathrm{0,006.}$$

Numărul scris cu virgulă se numește fracție zecimală (sau număr zecimal). Cifrele din stânga virgulei formează partea întreagă, iar cele din dreapta virgulei sunt zecimalele: prima zecimală arată zecimile, a doua sutimile, a treia miimile.

Sute	Zeci	Unități	,	Zecimi	Sutimi	Miimi
	4	7	,	3	0	5

Numărul $\mathrm{47,305}$ se citește „47 întregi și 305 miimi” și înseamnă

$$\mathrm{47,305}=47+\frac{3}{10}+\frac{0}{100}+\frac{5}{1000}=\frac{47305}{1000}.$$

De ce așa? Așa cum 10 unități fac o zece, 10 zecimi fac o unitate, 10 sutimi fac o zecime, 10 miimi fac o sutime. Fiecare poziție spre dreapta valorează de 10 ori mai puțin decât cea din stânga ei. Zerourile de la sfârșitul zecimalelor nu schimbă numărul: $0,5=0,50=\mathrm{0,500}$, pentru că $\frac{5}{10}=\frac{50}{100}=\frac{500}{1000}$ (amplificare cu 10).

Din fracție zecimală în fracție ordinară

Scrii la numărător numărul fără virgulă, iar la numitor 1 urmat de atâtea zerouri câte zecimale are numărul. Apoi simplifici, dacă se poate:

$$2,25=\frac{225}{100}=\frac{9}{4}\mathrm{0,125}=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}1,3=\frac{13}{10}.$$

Din fracție ordinară în fracție zecimală (prin amplificare)

Dacă poți amplifica fracția până obții numitorul 10, 100 sau 1000, o scrii imediat cu virgulă:

$$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0,6\frac{7}{4}=\frac{175}{100}=1,75\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}=\mathrm{0,375.}$$

Pentru fracții ca $\frac{1}{3}$ nu există un astfel de numitor; pe acestea le transformi prin împărțire, în lecția despre împărțirea fracțiilor zecimale și fracțiile periodice.

Înmulțirea și împărțirea cu 10, 100, 1000

• La înmulțirea cu 10, 100, 1000 muți virgula spre dreapta cu 1, 2, 3 poziții: $4,37\cdot 100=437$.
• La împărțirea cu 10, 100, 1000 muți virgula spre stânga cu 1, 2, 3 poziții: $52,8:10=5,28$.
• Dacă nu ajung cifrele, completezi cu zerouri: $0,9\cdot 1000=900$, $6:100=0,06$.

De aici: orice fracție zecimală se scrie ca un cât dintre un număr natural și o putere a lui 10, de exemplu $3,47=347:{10}^2$, sau ca un produs, $3,47=\mathrm{0,347}\cdot 10$.

De reținut

• $0,1=\frac{1}{10}$, $0,01=\frac{1}{100}$, $\mathrm{0,001}=\frac{1}{1000}$.
• Numărul de zecimale = numărul de zerouri de la numitor.
• Zerourile de la sfârșitul zecimalelor se pot adăuga sau șterge.
• $\cdot {10}^n$: virgula la dreapta cu $n$ poziții; $:{10}^n$: virgula la stânga cu $n$ poziții.
• Numitorii 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50 se pot amplifica până la 10, 100 sau 1000.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Scrie ca fracții zecimale: $\frac{7}{10}$, $\frac{39}{100}$, $\frac{1253}{1000}$, $\frac{6}{1000}$, $\frac{40}{100}$.

Vezi rezolvarea

1. Numitorul are un zero ⇒ o zecimală: $\frac{7}{10}=0,7$.
2. Două zerouri ⇒ două zecimale: $\frac{39}{100}=0,39$, $\frac{40}{100}=0,40=0,4$.
3. Trei zerouri ⇒ trei zecimale: $\frac{1253}{1000}=\mathrm{1,253}$, iar $\frac{6}{1000}=\mathrm{0,006}$ (completăm cu zerouri până avem trei zecimale).

Răspuns: 0,7; 0,39; 1,253; 0,006; 0,4

Exemplul 2. Scrie ca fracții ordinare ireductibile: $0,6$; $2,25$; $\mathrm{0,125}$; $3,04$.

Vezi rezolvarea

1. $0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ (simplificăm cu 2).
2. $2,25=\frac{225}{100}=\frac{9}{4}$ (simplificăm cu 25).
3. $\mathrm{0,125}=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$ (simplificăm cu 125).
4. $3,04=\frac{304}{100}=\frac{76}{25}$ (simplificăm cu 4).

Răspuns: $\frac{3}{5}$, $\frac{9}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{76}{25}$

Exemplul 3. Transformă în fracții zecimale, prin amplificare: $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{9}{20}$, $\frac{3}{8}$.

Vezi rezolvarea

1. $\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}=0,6$.
2. $\frac{7}{4}=\frac{7\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{175}{100}=1,75$.
3. $\frac{9}{20}=\frac{9\cdot 5}{20\cdot 5}=\frac{45}{100}=0,45$.
4. $\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{375}{1000}=\mathrm{0,375}$.

Răspuns: 0,6; 1,75; 0,45; 0,375

Exemplul 4. Calculează: a) $4,37\cdot 100$; b) $52,8:10$; c) $0,9\cdot 1000$; d) $6:100$.

Vezi rezolvarea

1. a) Virgula se mută două poziții la dreapta: $437$.
2. b) Virgula se mută o poziție la stânga: $5,28$.
3. c) Trei poziții la dreapta, completăm cu zerouri: $0,9\to 9\to 90\to 900$.
4. d) $6=6,0$; două poziții la stânga, completăm cu zero: $0,06$.

Răspuns: a) 437; b) 5,28; c) 900; d) 0,06

Exemplul 5. Transformă: a) $3,5$ kg în grame; b) 245 cm în metri; c) $0,75$ l în mililitri.

Vezi rezolvarea

1. a) $1$ kg $=1000$ g, deci $3,5\cdot 1000=3500$ g.
2. b) $1$ m $=100$ cm, deci $245:100=2,45$ m.
3. c) $1$ l $=1000$ ml, deci $0,75\cdot 1000=750$ ml.

Răspuns: a) 3500 g; b) 2,45 m; c) 750 ml

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Care dintre numerele $1,2$; $\frac{6}{5}$; $\frac{12}{10}$; $1,02$; $\frac{120}{100}$ este diferit de celelalte?

Vezi rezolvarea

1. $\frac{6}{5}=\frac{12}{10}=1,2$ și $\frac{120}{100}=1,20=1,2$.
2. $1,02=\frac{102}{100}$: are 0 zecimi și 2 sutimi, deci nu este egal cu $1,2$ (care are 2 zecimi).

Răspuns: $1,02$

Greșeli frecvente

• Pui prea puține zerouri la numitor: $\mathrm{0,125}$ are trei zecimale, deci $\frac{125}{1000}$, nu $\frac{125}{100}$.
• Uiți zerourile din interior: $\frac{6}{1000}=\mathrm{0,006}$, nu $0,6$; iar $3,04\ne 3,4$.
• Muți virgula în sensul greșit: la înmulțirea cu 10 numărul devine mai mare (virgula la dreapta), la împărțire devine mai mic (virgula la stânga).
• Nu simplifici la final: când se cere fracția ireductibilă, $0,6=\frac{6}{10}$ trebuie adusă la $\frac{3}{5}$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: fracții zecimale, clasa a 5-a (exercițiile 1, 2 și 5 sunt pe această lecție; printabilă, cu răspunsuri).
• Recapitulează fracțiile ordinare, amplificarea și simplificarea: fracții — formule și reguli.
• La Evaluarea Națională: EN 2022, Subiectul I, itemul 4 (transformarea lui 1,3 în fracție ordinară, rezolvat aici) și EN 2023, subiect de rezervă, Subiectul I, itemul 4 (numărul 2,3 ca fracție ordinară, rezolvat aici).
• Continuă cu compararea și rotunjirea fracțiilor zecimale.

Întrebări frecvente

Cum transformi o fracție zecimală în fracție ordinară? Scrii numărul fără virgulă la numărător, iar la numitor 1 urmat de atâtea zerouri câte zecimale are numărul; apoi simplifici. De exemplu, $2,25=\frac{225}{100}=\frac{9}{4}$.

Cum transformi o fracție ordinară în fracție zecimală? Dacă numitorul se poate aduce prin amplificare la 10, 100 sau 1000, amplifici și scrii cu virgulă: $\frac{7}{4}=\frac{175}{100}=1,75$. Altfel, împarți numărătorul la numitor (lecția despre împărțire).

Ce se întâmplă cu virgula când înmulțești cu 100? Se mută două poziții spre dreapta, pentru că fiecare cifră devine de 100 de ori mai mare: $4,37\cdot 100=437$. La împărțirea cu 100, virgula se mută două poziții spre stânga.