Proprietățile înmulțirii — clasa a III-a: explicație, exemple, exerciții

În această lecție afli cinci reguli ale înmulțirii care te ajută să calculezi mai repede și mai sigur: poți schimba locul factorilor, îi poți grupa cum îți convine și poți „desface” un număr în bucăți ușoare. De exemplu, dacă un pachet are 4 iaurturi de câte 5 lei, iar tu cumperi 3 pachete, calculezi ușor 3 × 4 × 5 = 3 × 20 = 60 de lei.

Explicație

Amintește-ți: în 3 × 4 = 12, numerele 3 și 4 sunt factori, iar 12 este produsul.

1. Schimbarea locului factorilor (comutativitatea)

Așază 12 mere în 3 rânduri a câte 4 mere. Acum întoarce tava: vezi 4 rânduri a câte 3 mere. Merele sunt aceleași, deci 3 × 4 = 4 × 3 = 12.

2. Gruparea factorilor (asociativitatea)

Când ai trei factori, poți înmulți mai întâi oricare doi vecini. Alege perechea care dă un număr „rotund”:

(7 × 2) × 5 = 14 × 5 = 70 și 7 × (2 × 5) = 7 × 10 = 70. Al doilea drum este mult mai ușor!

3. Înmulțirea cu 1 (elementul neutru)

Un număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat: 368 × 1 = 1 × 368 = 368. O singură cutie cu 368 de agrafe înseamnă tot 368 de agrafe.

4. Înmulțirea cu 0

Orice număr înmulțit cu 0 dă 0: 549 × 0 = 0 × 549 = 0. Dacă ai 0 cutii, nu ai nicio agrafă.

5. Înmulțirea unei sume sau a unei diferențe cu un număr

Poți „desface” un factor în două bucăți mai ușoare și înmulțești fiecare bucată:

• 6 × 13 = 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78;
• 7 × 19 = 7 × (20 − 1) = 7 × 20 − 7 × 1 = 140 − 7 = 133;
• invers: 8 × 7 + 2 × 7 = (8 + 2) × 7 = 10 × 7 = 70.

De reținut

• Dacă schimbi locul factorilor, produsul nu se schimbă.
• Poți grupa factorii cum vrei: caută perechi care dau 10, 20, 100.
• Numărul înmulțit cu 1 rămâne același; numărul înmulțit cu 0 dă 0.
• Când înmulțești o sumă (sau o diferență) cu un număr, înmulțești fiecare termen cu acel număr.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Completează fără să calculezi: 27 × 8 = 8 × ? și (4 × 6) × 5 = 4 × (? × 5).

Vezi rezolvarea

1. Schimbarea locului factorilor: 27 × 8 = 8 × 27.
2. Gruparea factorilor: (4 × 6) × 5 = 4 × (6 × 5).

Răspuns: 27, respectiv 6.

Exemplul 2. Calculează rapid: a) 5 × 9 × 2; b) 25 × 7 × 4.

Vezi rezolvarea

1. a) Grupez 5 cu 2: 5 × 2 = 10, apoi 10 × 9 = 90.
2. b) Grupez 25 cu 4: 25 × 4 = 100, apoi 100 × 7 = 700.

Răspuns: a) 90; b) 700.

Exemplul 3. Calculează în două moduri: 4 × (20 + 6).

Vezi rezolvarea

1. Modul 1, întâi paranteza: 20 + 6 = 26, apoi 4 × 26 = 104.
2. Modul 2, înmulțesc fiecare termen: 4 × 20 + 4 × 6 = 80 + 24 = 104.

Răspuns: 104 (în ambele moduri).

Exemplul 4. Într-o sală de spectacol sunt 9 rânduri. Pe fiecare rând sunt 12 scaune albastre și 8 scaune roșii. Câte scaune sunt în sală?

Vezi rezolvarea

1. Modul 1: scaune albastre 9 × 12 = 108; scaune roșii 9 × 8 = 72; în total 108 + 72 = 180.
2. Modul 2: pe un rând sunt 12 + 8 = 20 de scaune; în sală 9 × 20 = 180.
3. Exercițiul problemei: 9 × 12 + 9 × 8 = 9 × (12 + 8) = 180.

Răspuns: 180 de scaune.

Exemplul 5. 3 fete și 5 băieți merg la patinoar. Fiecare fată patinează 2 ore, iar fiecare băiat 3 ore. O oră de patinaj costă 10 lei. Care dintre exercițiile de mai jos arată corect cât au plătit copiii? (3 × 2 + 5 × 3) × 10;   3 × 2 × 10 + 5 × 3 × 10;   (3 + 5) × (2 + 3) × 10.

Vezi rezolvarea

1. Fetele au patinat 3 × 2 = 6 ore, băieții 5 × 3 = 15 ore; împreună 6 + 15 = 21 de ore; costul: 21 × 10 = 210 lei. Acesta este primul exercițiu.
2. Al doilea exercițiu calculează separat: 3 × 2 × 10 + 5 × 3 × 10 = 60 + 150 = 210 lei. Este corect.
3. Al treilea dă (3 + 5) × (2 + 3) × 10 = 8 × 5 × 10 = 400 de lei: ar însemna că fiecare copil a patinat 5 ore. Este greșit.

Răspuns: primele două exerciții sunt corecte; copiii au plătit 210 lei.

Greșeli frecvente

• Încurci înmulțirea cu 0 și adunarea cu 0. 7 + 0 = 7, dar 7 × 0 = 0.
• Înmulțești doar primul termen. 6 × (10 + 3) nu este 6 × 10 + 3 = 63, ci 6 × 10 + 6 × 3 = 78.
• Schimbi locul numerelor la scădere sau la împărțire. Regula „schimb locul” merge doar la adunare și la înmulțire: 12 − 3 = 9, dar 3 − 12 nici nu se poate calcula cu numerele învățate.

Verifică-te

Exersează

1. 38 × 1 = ?
2. 0 × 999 = ?
3. Calculează rapid: 5 × 17 × 2.
4. Calculează rapid: 4 × 9 × 25.
5. Calculează în două moduri: 8 × (10 + 5).
6. Calculează 6 × 29 folosind 6 × 30.
7. Calculează rapid: 7 × 8 + 3 × 8.
8. O cutie are 4 rânduri a câte 6 bomboane. Câte bomboane sunt în 5 cutii?

Răspunsuri

1) 38; 2) 0; 3) 170 (5 × 2 = 10, 10 × 17); 4) 900 (4 × 25 = 100, 100 × 9); 5) 120 (8 × 15 = 120 sau 80 + 40); 6) 174 (180 − 6); 7) 80 ((7 + 3) × 8 = 10 × 8); 8) 120 de bomboane (4 × 6 × 5 = 24 × 5 = 4 × 30).

La Evaluarea Națională de clasa a IV-a apar des itemi în care alegi „cel puțin două moduri” de a scrie rezolvarea unei probleme ca exercițiu — exact proprietățile din această lecție: EN IV 2023, itemul 8 (biciclete închiriate) și EN IV 2022, itemul 8 (bilete la grădina zoologică). În clasa a IV-a continui cu proprietățile înmulțirii pentru numere până la 1 000 000.

Pentru părinți

Folosiți cofraje de ouă, tăvi de brioșe sau pachete de iaurt: copilul numără rândurile și coloanele, apoi întoarce tava și observă că produsul rămâne același. La cumpărături, întrebați-l „Cum socotim mai repede 5 × 7 × 2?”, ca să caute singur perechea care dă 10.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile înmulțirii în clasa a III-a? Schimbarea locului factorilor (comutativitatea), gruparea factorilor (asociativitatea), înmulțirea cu 1 (elementul neutru), înmulțirea cu 0 și înmulțirea unei sume sau a unei diferențe cu un număr.

Ce înseamnă comutativitatea înmulțirii? Înseamnă că produsul nu se schimbă dacă schimbi locul factorilor: 3 × 4 = 4 × 3 = 12.

Cât face un număr înmulțit cu 0? Întotdeauna 0. De exemplu, 1 000 × 0 = 0, pentru că 0 grupe a câte 1 000 de obiecte nu conțin niciun obiect.