Proprietățile înmulțirii — clasa a IV-a: explicație, exemple, exerciții

În această lecție afli proprietățile înmulțirii: poți schimba ordinea factorilor, îi poți grupa cum îți convine, înmulțirea cu 1 nu schimbă numărul, iar cea cu 0 dă 0; în plus, poți înmulți „pe bucăți” un număr cu o sumă. Cu ele calculezi repede, de exemplu 25 × 7 × 4 = 700, și scrii corect o problemă sub formă de exercițiu, ca la Evaluarea Națională.

Explicație

1. Schimbarea ordinii factorilor (comutativitatea)

O tabletă de ciocolată are 3 rânduri a câte 5 pătrățele: 3 × 5 = 15. Dacă o întorci, are 5 rânduri a câte 3 pătrățele: 5 × 3 = 15. Ciocolata e aceeași! Dacă schimbăm ordinea factorilor, produsul nu se schimbă: a × b = b × a.

2. Gruparea factorilor (asociativitatea)

Sunt 4 cutii; în fiecare cutie sunt 3 rânduri a câte 6 bomboane. Poți număra „pe cutii”: o cutie are 3 × 6 = 18 bomboane, iar 4 cutii au 4 × 18 = 72. Sau „pe rânduri”: sunt 4 × 3 = 12 rânduri, deci 12 × 6 = 72. Factorii se pot grupa oricum: (a × b) × c = a × (b × c).

Grupează factorii care dau 10, 100 sau 1 000: 2 × 5 = 10, 4 × 25 = 100, 8 × 125 = 1 000, 2 × 50 = 100. De exemplu, 25 × 7 × 4 = (25 × 4) × 7 = 100 × 7 = 700.

3. Înmulțirea cu 1 și cu 0

• a × 1 = 1 × a = a: o singură cutie cu 8 creioane are 8 creioane (1 este element neutru la înmulțire).
• a × 0 = 0 × a = 0: 7 cutii goale au 0 creioane.

4. Înmulțirea unui număr cu o sumă sau cu o diferență (distributivitatea)

În figură, tableta de 3 × 5 este ruptă în două bucăți: 3 × 2 și 3 × 3. Împreună au tot 15 pătrățele: 3 × (2 + 3) = 3 × 2 + 3 × 3. În general:

• a × (b + c) = a × b + a × c. Exemplu: 7 × 14 = 7 × (10 + 4) = 70 + 28 = 98.
• a × (b − c) = a × b − a × c. Exemplu: 6 × 99 = 6 × (100 − 1) = 600 − 6 = 594.
• Și invers, scoți factorul comun: 8 × 37 + 8 × 63 = 8 × (37 + 63) = 8 × 100 = 800.

De reținut

• a × b = b × a.
• (a × b) × c = a × (b × c).
• a × 1 = a, iar a × 0 = 0.
• a × (b + c) = a × b + a × c și a × (b − c) = a × b − a × c.
• Perechi utile: 2 × 5 = 10, 4 × 25 = 100, 8 × 125 = 1 000.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Completează și calculează: a) 6 × 9 = 9 × ?; b) 125 × 0; c) 1 × 3 456.

Vezi rezolvarea

1. a) Schimbarea ordinii factorilor: 6 × 9 = 9 × 6, deci ? = 6 (ambele dau 54).
2. b) Orice număr înmulțit cu 0 dă 0.
3. c) Înmulțirea cu 1 nu schimbă numărul: 3 456.

Răspuns: a) 6; b) 0; c) 3 456

Exemplul 2. Calculează rapid: a) 2 × 37 × 5; b) 4 × 19 × 25.

Vezi rezolvarea

1. a) (2 × 5) × 37 = 10 × 37 = 370.
2. b) (4 × 25) × 19 = 100 × 19 = 1 900.

Răspuns: a) 370; b) 1 900

Exemplul 3. Calculează rapid: a) 8 × 125 × 7; b) 25 × 36.

Vezi rezolvarea

1. a) (8 × 125) × 7 = 1 000 × 7 = 7 000.
2. b) Scriem 36 = 4 × 9: 25 × 4 × 9 = 100 × 9 = 900.

Răspuns: a) 7 000; b) 900

Exemplul 4. Calculează folosind înmulțirea cu o sumă sau cu o diferență: a) 6 × 102; b) 9 × 98; c) 15 × 23 + 15 × 77.

Vezi rezolvarea

1. a) 6 × (100 + 2) = 600 + 12 = 612.
2. b) 9 × (100 − 2) = 900 − 18 = 882.
3. c) 15 este factor comun: 15 × (23 + 77) = 15 × 100 = 1 500.

Răspuns: a) 612; b) 882; c) 1 500

Exemplul 5 (ca la Evaluarea Națională). Trei prieteni cumpără fiecare câte 4 caiete de 6 lei bucata și câte 2 pixuri de 5 lei bucata. Câți lei plătesc în total? Scrie rezolvarea sub forma unui exercițiu, în două moduri.

Vezi rezolvarea

1. Un prieten plătește 4 × 6 + 2 × 5 = 24 + 10 = 34 de lei. Trei prieteni: 3 × (4 × 6 + 2 × 5) = 3 × 34 = 102 lei.
2. Al doilea mod (înmulțim cu 3 fiecare parte): 3 × 4 × 6 + 3 × 2 × 5 = 72 + 30 = 102 lei.
3. Greșit ar fi (3 + 4) × 6 + (3 + 2) × 5: nu are sens să aduni prieteni cu caiete.

Răspuns: 102 lei

Greșeli frecvente

• Înmulțești doar primul termen al sumei. 7 × (10 + 4) nu este 7 × 10 + 4 = 74. Înmulțești ambii termeni: 7 × 10 + 7 × 4 = 98.
• Confunzi 0 cu 1. 25 × 0 = 0, nu 25; 25 × 1 = 25. La adunare e invers: 25 + 0 = 25.
• Aduni numere care înseamnă lucruri diferite. Într-o problemă, nu aduna copii cu lei sau caiete cu prețuri. Întreabă-te mereu ce înseamnă fiecare număr din exercițiu.

Verifică-te

Exersează

1. 5 × 86 × 2 = ?
2. 25 × 17 × 4 = ?
3. 125 × 9 × 8 = ?
4. 7 409 × 1 = ? și 7 409 × 0 = ?
5. 8 × 53 = ? (scrie 53 = 50 + 3)
6. 7 × 99 = ?
7. 24 × 36 + 24 × 64 = ?
8. Într-un magazin sunt 6 rafturi. Pe fiecare raft sunt 5 cutii cu câte 20 de borcane. Câte borcane sunt în total?

Răspunsuri

1. (5 × 2) × 86 = 860
2. (25 × 4) × 17 = 1 700
3. (125 × 8) × 9 = 9 000
4. 7 409 și 0
5. 400 + 24 = 424
6. 700 − 7 = 693
7. 24 × 100 = 2 400
8. 6 × (5 × 20) = 6 × 100 = 600 de borcane

La Evaluarea Națională de clasa a IV-a: EN 2026, itemul 8 (alegi două moduri corecte de a scrie problema sub formă de exercițiu, rezolvat aici) și EN 2026, itemul 10 (12 × 9 + 12 × 4 = 12 × 13, rezolvat aici).

Vezi și înmulțirea cu 10, 100, 1000 și înmulțirea în scris.

Pentru părinți

Folosiți obiecte care stau în rânduri: o cutie de ouă, o tabletă de ciocolată, o tavă cu brioșe. Întrebați „câte sunt?” și lăsați copilul să numere în două feluri (pe rânduri și pe coloane). Pentru calcul rapid, exersați perechile 2 × 5, 4 × 25 și 8 × 125 până le știe pe de rost.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile înmulțirii? Schimbarea ordinii factorilor (comutativitatea), gruparea factorilor (asociativitatea), înmulțirea cu 1 care nu schimbă numărul (1 este element neutru) și înmulțirea unui număr cu o sumă sau o diferență (distributivitatea). În plus, orice număr înmulțit cu 0 dă 0.

Ce înseamnă distributivitatea înmulțirii? Înseamnă că poți înmulți un număr cu o sumă „pe bucăți”: 7 × (10 + 4) = 7 × 10 + 7 × 4. La fel cu o diferență: 6 × (100 − 1) = 600 − 6.

Cum calculez repede 25 × 4 × 17? Grupezi întâi factorii care dau un număr rotund: 25 × 4 = 100, apoi 100 × 17 = 1 700.