Calcule cu măsuri de unghiuri (grade și minute) — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să aduni, să scazi, să înmulțești și să împarți măsuri de unghiuri scrise în grade și minute, folosind regula $1^{\circ }={60}^{\prime }$. Calculele acestea îți trebuie ori de câte ori afli cât îi lipsește unui unghi ca să fie drept sau alungit și, mai târziu, în toate problemele de geometrie, inclusiv la Evaluarea Națională.

Teorie

Gradul și minutul

Unghiurile se măsoară în grade sexagesimale. Un unghi drept are ${90}^{\circ }$, iar un unghi alungit are ${180}^{\circ }$. Pentru unghiurile care nu au un număr întreg de grade folosim o unitate mai mică, minutul:

$$1^{\circ }={60}^{\prime }(\text{un grad are 60 de minute}).$$

Este exact ca la ceas: o oră are 60 de minute. De aceea calculele cu grade și minute seamănă cu cele cu ore și minute: $2$ h $45$ min $+30$ min $=3$ h $15$ min, la fel cum $2^{\circ }{45}^{\prime }+{30}^{\prime }=3^{\circ }{15}^{\prime }$. (Minutul se împarte la rândul lui în 60 de secunde, $1^{\prime }={60}^{″}$, dar în clasa a V-a lucrăm doar cu grade și minute.)

Transformări

• Din grade în minute înmulțim cu 60: $3^{\circ }=3\cdot {60}^{\prime }={180}^{\prime }$, iar $2^{\circ }{15}^{\prime }={120}^{\prime }+{15}^{\prime }={135}^{\prime }$.
• Din minute în grade și minute împărțim la 60 cu rest: ${150}^{\prime }=2^{\circ }{30}^{\prime }$, pentru că $150=2\cdot 60+30$.
• Scrierea corectă are întotdeauna minutele mai mici decât 60. Dacă obținem ${60}^{\prime }$ sau mai mult, le transformăm în grade: ${47}^{\circ }{75}^{\prime }={48}^{\circ }{15}^{\prime }$.

Cele patru operații

Adunarea. Adunăm gradele cu gradele și minutele cu minutele, apoi transformăm fiecare 60 de minute într-un grad:

$${46}^{\circ }{38}^{\prime }+{27}^{\circ }{45}^{\prime }={73}^{\circ }{83}^{\prime }={74}^{\circ }{23}^{\prime }.$$

Scăderea. Scădem gradele din grade și minutele din minute. Dacă minutele descăzutului sunt prea puține, „împrumutăm” un grad și îl transformăm în 60 de minute:

$$\begin{array}{rl}{72}^{\circ }{20}^{\prime }-{35}^{\circ }{48}^{\prime }& ={71}^{\circ }{80}^{\prime }-{35}^{\circ }{48}^{\prime }={36}^{\circ }{32}^{\prime },\\ {90}^{\circ }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }& ={89}^{\circ }{60}^{\prime }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }={52}^{\circ }{34}^{\prime }.\end{array}$$

Înmulțirea cu un număr natural. Înmulțim separat gradele și minutele, apoi transformăm minutele:

$${23}^{\circ }{35}^{\prime }\cdot 4={92}^{\circ }{140}^{\prime }={94}^{\circ }{20}^{\prime }({140}^{\prime }=2^{\circ }{20}^{\prime }).$$

Împărțirea la un număr natural nenul. Împărțim întâi gradele; restul de grade îl transformăm în minute și îl adunăm la minute, apoi împărțim minutele:

$${75}^{\circ }{36}^{\prime }:4={18}^{\circ }{54}^{\prime },$$

pentru că ${75}^{\circ }:4={18}^{\circ }$ rest $3^{\circ }$, $3^{\circ }={180}^{\prime }$, ${180}^{\prime }+{36}^{\prime }={216}^{\prime }$ și ${216}^{\prime }:4={54}^{\prime }$. Verificare: ${18}^{\circ }{54}^{\prime }\cdot 4={72}^{\circ }{216}^{\prime }={75}^{\circ }{36}^{\prime }$.

Unghiuri care se completează

Dacă o semidreaptă $OB$ se află în interiorul unghiului $AOC$, ea îl împarte în două unghiuri, iar măsura unghiului mare este suma măsurilor celor două: $m(\mathrm{\angle }AOB)+m(\mathrm{\angle }BOC)=m(\mathrm{\angle }AOC)$. Când $\mathrm{\angle }AOC$ este drept, partea necunoscută se află prin scădere din ${90}^{\circ }$; când este alungit, prin scădere din ${180}^{\circ }$.

De reținut

• $1^{\circ }={60}^{\prime }$; în rezultat minutele trebuie să fie mai mici decât 60.
• La adunare și înmulțire: fiecare ${60}^{\prime }$ se transformă în $1^{\circ }$.
• La scădere: dacă nu ajung minutele, împrumuți $1^{\circ }={60}^{\prime }$ (de exemplu ${90}^{\circ }={89}^{\circ }{60}^{\prime }$).
• La împărțire: restul de grade se transformă în minute înainte să împarți minutele.
• Verifică fiecare scădere prin adunare și fiecare împărțire prin înmulțire.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. a) Transformă $5^{\circ }$ în minute. b) Scrie ${250}^{\prime }$ în grade și minute. c) Scrie corect măsura ${38}^{\circ }{95}^{\prime }$.

Vezi rezolvarea

1. a) $5^{\circ }=5\cdot {60}^{\prime }={300}^{\prime }$.
2. b) $250:60=4$ rest $10$, deci ${250}^{\prime }=4^{\circ }{10}^{\prime }$. Verificare: $4\cdot 60+10=250$.
3. c) ${95}^{\prime }={60}^{\prime }+{35}^{\prime }=1^{\circ }{35}^{\prime }$, deci ${38}^{\circ }{95}^{\prime }={39}^{\circ }{35}^{\prime }$.

Răspuns: a) ${300}^{\prime }$; b) $4^{\circ }{10}^{\prime }$; c) ${39}^{\circ }{35}^{\prime }$

Exemplul 2. Calculează ${18}^{\circ }{40}^{\prime }+{25}^{\circ }{35}^{\prime }+{44}^{\circ }{50}^{\prime }$.

Vezi rezolvarea

1. Gradele: ${18}^{\circ }+{25}^{\circ }+{44}^{\circ }={87}^{\circ }$.
2. Minutele: ${40}^{\prime }+{35}^{\prime }+{50}^{\prime }={125}^{\prime }$, iar ${125}^{\prime }=2^{\circ }{5}^{\prime }$ (pentru că $125=2\cdot 60+5$).
3. Total: ${87}^{\circ }+2^{\circ }{5}^{\prime }={89}^{\circ }{5}^{\prime }$.

Răspuns: ${89}^{\circ }{5}^{\prime }$

Exemplul 3. Calculează ${180}^{\circ }-{104}^{\circ }{37}^{\prime }$.

Vezi rezolvarea

1. ${180}^{\circ }$ nu are minute, deci împrumutăm un grad: ${180}^{\circ }={179}^{\circ }{60}^{\prime }$.
2. ${179}^{\circ }{60}^{\prime }-{104}^{\circ }{37}^{\prime }={75}^{\circ }{23}^{\prime }$.
3. Verificare: ${75}^{\circ }{23}^{\prime }+{104}^{\circ }{37}^{\prime }={179}^{\circ }{60}^{\prime }={180}^{\circ }$.

Răspuns: ${75}^{\circ }{23}^{\prime }$

Exemplul 4. Unghiul $AOC$ din figura de mai sus este drept, iar semidreapta $OB$ se află în interiorul lui, cu $m(\mathrm{\angle }AOB)={37}^{\circ }{26}^{\prime }$. Află $x=m(\mathrm{\angle }BOC)$.

Vezi rezolvarea

1. Cele două unghiuri formează împreună unghiul drept: ${37}^{\circ }{26}^{\prime }+x={90}^{\circ }$.
2. $x={90}^{\circ }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }={89}^{\circ }{60}^{\prime }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }={52}^{\circ }{34}^{\prime }$.
3. Verificare: ${37}^{\circ }{26}^{\prime }+{52}^{\circ }{34}^{\prime }={89}^{\circ }{60}^{\prime }={90}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }BOC)={52}^{\circ }{34}^{\prime }$

Exemplul 5. Calculează: a) ${23}^{\circ }{35}^{\prime }\cdot 4$; b) ${125}^{\circ }:6$.

Vezi rezolvarea

1. a) ${23}^{\circ }\cdot 4={92}^{\circ }$, ${35}^{\prime }\cdot 4={140}^{\prime }=2^{\circ }{20}^{\prime }$, deci rezultatul este ${94}^{\circ }{20}^{\prime }$.
2. b) $125:6=20$ rest $5$: obținem ${20}^{\circ }$ și rămân $5^{\circ }={300}^{\prime }$.
3. ${300}^{\prime }:6={50}^{\prime }$, deci ${125}^{\circ }:6={20}^{\circ }{50}^{\prime }$. Verificare: ${20}^{\circ }{50}^{\prime }\cdot 6={120}^{\circ }{300}^{\prime }={125}^{\circ }$.

Răspuns: a) ${94}^{\circ }{20}^{\prime }$; b) ${20}^{\circ }{50}^{\prime }$

Exemplul 6 (problemă). Un unghi alungit este împărțit de două semidrepte în trei unghiuri. Primul unghi are ${48}^{\circ }{36}^{\prime }$, iar al doilea are de două ori măsura primului. Află măsura celui de-al treilea unghi.

Vezi rezolvarea

1. Al doilea unghi: ${48}^{\circ }{36}^{\prime }\cdot 2={96}^{\circ }{72}^{\prime }={97}^{\circ }{12}^{\prime }$.
2. Primele două împreună: ${48}^{\circ }{36}^{\prime }+{97}^{\circ }{12}^{\prime }={145}^{\circ }{48}^{\prime }$.
3. Cele trei unghiuri formează unghiul alungit, de ${180}^{\circ }$: al treilea are ${180}^{\circ }-{145}^{\circ }{48}^{\prime }={179}^{\circ }{60}^{\prime }-{145}^{\circ }{48}^{\prime }={34}^{\circ }{12}^{\prime }$.
4. Verificare: ${48}^{\circ }{36}^{\prime }+{97}^{\circ }{12}^{\prime }+{34}^{\circ }{12}^{\prime }={179}^{\circ }{60}^{\prime }={180}^{\circ }$.

Răspuns: ${34}^{\circ }{12}^{\prime }$

Greșeli frecvente

• Socotești 100 de minute într-un grad: $1^{\circ }={60}^{\prime }$, nu ${100}^{\prime }$. De aceea ${90}^{\circ }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }$ nu se calculează ca ${89}^{\circ }{100}^{\prime }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }$.
• Lași rezultatul cu prea multe minute: ${63}^{\circ }{72}^{\prime }$ nu este scris corect; rezultatul este ${64}^{\circ }{12}^{\prime }$.
• Confunzi scrierea zecimală cu minutele: $35,5^{\circ }$ înseamnă ${35}^{\circ }$ și jumătate de grad, adică ${35}^{\circ }{30}^{\prime }$, nu ${35}^{\circ }{50}^{\prime }$.
• Pierzi restul la împărțire: ${75}^{\circ }{36}^{\prime }:4$ nu este ${18}^{\circ }{9}^{\prime }$; restul de $3^{\circ }={180}^{\prime }$ trebuie adunat la ${36}^{\prime }$ înainte de împărțire, deci rezultatul este ${18}^{\circ }{54}^{\prime }$.

Verifică-te

Exersează

• Elemente de geometrie: unghiul, măsura lui și calcule cu grade și minute (definiții și exemple).
• Fișă de lucru: elemente de geometrie, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Unghiuri: tipuri și proprietăți — ce vei învăța despre unghiuri în clasa a VI-a.
• Pentru mai târziu: unghiuri, exerciții rezolvate (clasa a 6-a), unde calculele cu grade și minute se folosesc la unghiuri complementare și suplementare.

Întrebări frecvente

Câte minute are un grad? Un grad are 60 de minute: $1^{\circ }={60}^{\prime }$. De aceea, la calcule, fiecare grup de 60 de minute se transformă într-un grad, la fel ca la ore și minute.

Cum scad grade și minute când minutele nu ajung? Împrumuți un grad de la grade și îl transformi în 60 de minute. De exemplu, ${90}^{\circ }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }={89}^{\circ }{60}^{\prime }-{37}^{\circ }{26}^{\prime }={52}^{\circ }{34}^{\prime }$.

Cum împart o măsură de unghi la un număr? Împarți întâi gradele; restul de grade îl transformi în minute și îl aduni la minute, apoi împarți minutele. De exemplu, ${75}^{\circ }{36}^{\prime }:4={18}^{\circ }{54}^{\prime }$.