Împărțirea cu rest; proba împărțirii — clasa a IV-a: explicație, exemple, exerciții

Uneori obiectele nu se pot împărți în mod egal până la ultimul: dacă împarți 17 mere în 5 coșuri, pui câte 3 mere în fiecare coș și îți rămân 2. În această lecție înveți ce este restul, de ce trebuie să fie mai mic decât împărțitorul și cum verifici o împărțire prin probă.

Explicație

Avem 17 mere și 5 coșuri. Punem câte un măr în fiecare coș, pe rând, cât timp ajung merele pentru toate coșurile. Fiecare coș primește 3 mere (5 × 3 = 15), iar 2 mere rămân, pentru că nu ajung pentru încă o tură.

Scriem: 17 : 5 = 3 rest 2. Aici 17 este deîmpărțitul, 5 este împărțitorul, 3 este câtul, iar 2 este restul.

Restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul. De ce? Dacă ar rămâne 5 mere sau mai multe, am mai putea pune câte unul în fiecare dintre cele 5 coșuri. La împărțirea la 5, restul poate fi doar 0, 1, 2, 3 sau 4. Când restul este 0, spunem că împărțirea este exactă.

Proba împărțirii cu rest: înmulțim împărțitorul cu câtul și adunăm restul. Trebuie să obținem deîmpărțitul:

deîmpărțit = împărțitor × cât + rest
17 = 5 × 3 + 2

Cu aceeași regulă afli deîmpărțitul când îl știi pe celelalte: ce număr împărțit la 9 dă câtul 4 și restul 2? 9 × 4 + 2 = 38.

În scris se lucrează exact ca la împărțirea fără rest; restul este ce rămâne la ultima scădere. De exemplu, 1 000 : 7: 10 : 7 = 1 rest 3; cobor 0: 30 : 7 = 4 rest 2; cobor 0: 20 : 7 = 2 rest 6. Deci 1 000 : 7 = 142 rest 6. Proba: 7 × 142 + 6 = 994 + 6 = 1 000.

De reținut

• Restul este mai mic decât împărțitorul.
• Proba: împărțitor × cât + rest = deîmpărțit.
• Dacă restul este 0, împărțirea este exactă, iar proba este cât × împărțitor = deîmpărțit.
• În probleme, gândește-te ce înseamnă restul: uneori mai trebuie încă o mașină, o masă, o cutie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează 23 : 4 și fă proba.

Vezi rezolvarea

1. Căutăm cel mai mare produs cu 4 care nu depășește 23: 4 × 5 = 20 (4 × 6 = 24 e prea mult).
2. Restul: 23 − 20 = 3, iar 3 este mai mic decât 4.
3. Proba: 4 × 5 + 3 = 23.

Răspuns: 23 : 4 = 5 rest 3

Exemplul 2. Calculează în scris 538 : 6 și fă proba.

Vezi rezolvarea

1. 5 este mai mic decât 6, deci luăm 53: 53 : 6 = 8; 8 × 6 = 48; 53 − 48 = 5.
2. Cobor 8: 58 : 6 = 9; 9 × 6 = 54; 58 − 54 = 4.
3. Nu mai avem cifre de coborât, deci restul este 4 (mai mic decât 6).
4. Proba: 6 × 89 + 4 = 534 + 4 = 538.

Răspuns: 538 : 6 = 89 rest 4

Exemplul 3. Calculează în scris 7 405 : 12 și fă proba.

Vezi rezolvarea

1. Luăm 74: 74 : 12 = 6; 6 × 12 = 72; 74 − 72 = 2.
2. Cobor 0: 20 : 12 = 1; 20 − 12 = 8.
3. Cobor 5: 85 : 12 = 7; 7 × 12 = 84; 85 − 84 = 1.
4. Proba: 12 × 617 + 1 = 7 404 + 1 = 7 405.

Răspuns: 7 405 : 12 = 617 rest 1

Exemplul 4. a) Ce număr împărțit la 9 dă câtul 125 și restul 7? b) Care este cel mai mare rest posibil la împărțirea unui număr la 8? Ce număr dă la împărțirea la 8 câtul 20 și acest rest?

Vezi rezolvarea

1. a) Deîmpărțitul = împărțitor × cât + rest = 9 × 125 + 7 = 1 125 + 7 = 1 132.
2. b) Restul trebuie să fie mai mic decât 8, deci cel mai mare rest este 7.
3. Numărul: 8 × 20 + 7 = 160 + 7 = 167. Verificare: 167 : 8 = 20 rest 7.

Răspuns: a) 1 132; b) restul 7, numărul 167

Exemplul 5 (nivel Evaluare Națională). La o excursie merg 86 de elevi. Un microbuz are 15 locuri pentru elevi. Câte microbuze sunt necesare ca toți elevii să aibă loc? Câte locuri rămân libere?

Vezi rezolvarea

1. 86 : 15 = 5 rest 11 (15 × 5 = 75; 86 − 75 = 11).
2. 5 microbuze se umplu, dar 11 elevi încă nu au loc, deci mai trebuie un microbuz: 5 + 1 = 6 microbuze.
3. Locuri în 6 microbuze: 6 × 15 = 90. Libere: 90 − 86 = 4.

Răspuns: 6 microbuze; 4 locuri libere

Greșeli frecvente

• Restul mai mare decât împărțitorul: 29 : 4 = 6 rest 5 este greșit, pentru că 5 este mai mare decât 4. Corect: 29 : 4 = 7 rest 1.
• Uiți restul la probă: pentru 17 : 5 = 3 rest 2, proba nu este 5 × 3 = 15, ci 5 × 3 + 2 = 17.
• Răspunzi doar cu câtul în probleme: la exemplul cu microbuzele, 5 microbuze nu ajung; restul 11 înseamnă că mai trebuie unul.

Verifică-te

Exersează

1. 19 : 3 = ?
2. 45 : 7 = ?
3. 100 : 8 = ?
4. 653 : 5 = ?
5. 2 019 : 4 = ?
6. 9 999 : 25 = ?
7. Ce număr împărțit la 6 dă câtul 48 și restul 5?
8. 125 de ouă se pun în cofraje de câte 10. Câte cofraje se umplu și câte ouă rămân?

Răspunsuri

1. 6 rest 1 (3 × 6 + 1 = 19)
2. 6 rest 3 (7 × 6 + 3 = 45)
3. 12 rest 4 (8 × 12 + 4 = 100)
4. 130 rest 3 (5 × 130 + 3 = 653)
5. 504 rest 3 (4 × 504 + 3 = 2 019)
6. 399 rest 24 (25 × 399 + 24 = 9 999)
7. 6 × 48 + 5 = 293
8. 125 : 10 = 12 rest 5: 12 cofraje pline și 5 ouă rămase

La Evaluarea Națională de clasa a IV-a, împărțirile se verifică prin probă: EN IV 2025, itemul 7 (770 550 : 6 și 111 405 : 15, cu proba prin înmulțire, rezolvat aici).

Vezi și: împărțirea la un număr de o cifră, împărțirea la un număr de două cifre.

Pentru părinți

Împărțiți acasă lucruri reale: bomboane, nasturi sau cărți de joc, în câteva farfurii, și numiți la voce tare câtul (cât e în fiecare farfurie) și restul (ce a rămas). Întrebați „mai putem pune încă una în fiecare farfurie?”: așa copilul înțelege singur de ce restul e mai mic decât împărțitorul.

Întrebări frecvente

Ce este restul la împărțire? Este ce rămâne după ce ai împărțit în părți egale cât s-a putut. La 17 : 5 = 3 rest 2, rămân 2 obiecte care nu mai ajung pentru încă o tură.

De ce restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul? Dacă restul ar fi egal sau mai mare decât împărțitorul, s-ar mai putea da câte unul fiecărei părți, deci câtul ar fi mai mare. De aceea la împărțirea la 5 restul poate fi doar 0, 1, 2, 3 sau 4.

Cum se face proba la împărțirea cu rest? Înmulțești împărțitorul cu câtul și aduni restul; trebuie să obții deîmpărțitul. De exemplu, pentru 538 : 6 = 89 rest 4: 6 × 89 + 4 = 538.