Noțiunea de funcție clasa a 8-a

Q: Ce este o funcție, pe scurt?

O regulă care asociază fiecărui element din mulțimea A (domeniul) un singur element din mulțimea B (codomeniul). Se scrie f : A → B , iar f(x) este valoarea funcției în x .

Q: Care este diferența dintre codomeniu și mulțimea valorilor?

Codomeniul B este mulțimea în care funcția ia valori, aleasă la definire. Mulțimea valorilor Im f conține doar valorile efectiv obținute și este inclusă în codomeniu.

Q: Cum verific dacă un punct aparține graficului unei funcții?

Pentru M(a, b) verifici că a este în domeniu și calculezi f(a) . Dacă f(a) = b , punctul este pe grafic; altfel nu este.

În această lecție afli ce este o funcție: o regulă prin care fiecărui element dintr-o mulțime îi corespunde exact un element din altă mulțime. Înveți să o descrii prin diagramă, tabel sau formulă, să-i scrii graficul și să-l desenezi în sistemul de axe xOy. Pe aceste noțiuni se sprijină funcția liniară și problema 3 din Subiectul al III-lea de la Evaluarea Națională.

Teorie

Ce este o funcție

Ai întâlnit deja dependențe între mărimi: prețul plătit depinde de numărul de caiete cumpărate, perimetrul unui pătrat depinde de latura lui. În matematică, o astfel de dependență în care fiecare valoare de intrare are un singur rezultat se numește funcție.

Definiție. Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. Spunem că am definit o funcție pe mulțimea $A$ cu valori în mulțimea $B$ dacă, printr-o regulă dată, fiecărui element $x \in A$ i se asociază un singur element $y \in B$ . Scriem $f : A \to B$ și $y = f (x)$ .

$A$ este domeniul de definiție al funcției;
$B$ este codomeniul, adică mulțimea în care funcția ia valori;
regula prin care lui $x$ i se asociază $f (x)$ este legea de corespondență;
$f (x)$ se citește „f de x” și se numește valoarea funcției în $x$ (sau imaginea lui $x$ ).

Cele două condiții din definiție se văd cel mai bine pe o diagramă cu săgeți: din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată. Nu contează câte săgeți ajung la un element din $B$ : unele pot primi mai multe săgeți, altele niciuna.

Funcția

f : A \to B

f (x) =

restul împărțirii lui

x

la 3.

Cum poate fi dată o funcție

O funcție definită pe o mulțime finită poate fi descrisă în trei feluri:

prin diagramă (ca în figura de mai sus);
prin tabel: pe primul rând valorile lui $x$ , pe al doilea valorile $f (x)$ ;
prin formulă: de exemplu $f : {0, 1, 2, 3} \to N$ , $f (x) = 2 x + 1$ .

$x$	0	1	2	3
$f (x) = 2 x + 1$	1	3	5	7

Mulțimea tuturor valorilor pe care le ia funcția se numește mulțimea valorilor funcției, $Im f = {f (x) ∣ x \in A}$ . Ea este inclusă în codomeniu, dar poate fi mai mică decât el: pentru funcția din tabel, $Im f = {1, 3, 5, 7}$ , iar codomeniul este $N$ .

Dacă $A$ și $B$ sunt mulțimi de numere, funcția se numește funcție numerică. Două funcții sunt egale dacă au același domeniu, același codomeniu și $f (x) = g (x)$ pentru orice $x$ din domeniu.

Graficul unei funcții

Definiție. Graficul funcției $f : A \to B$ este mulțimea perechilor ordonate $G_{f} = {(x, f (x)) ∣ x \in A} .$ Este o submulțime a produsului cartezian $A \times B$ .

Pentru o funcție numerică, fiecare pereche $(x, f (x))$ este un punct în sistemul de axe ortogonale $x O y$ . Mulțimea acestor puncte este reprezentarea geometrică a graficului. Dacă domeniul are un număr finit de elemente, reprezentarea este formată din puncte izolate, pe care nu le unim.

Graficul lui

f : {- 1, 0, 1, 2, 3} \to R

f (x) = 2 x - 1

: cinci puncte.

De ce funcționează testul cu dreapta verticală? Pe o dreaptă paralelă cu axa $O y$ toate punctele au aceeași abscisă $a$ . Pentru că $a$ are o singură imagine, graficul are pe această dreaptă cel mult un punct, $(a, f (a))$ . Dacă un desen are două puncte cu aceeași abscisă, el nu poate fi graficul unei funcții.

Punct pe grafic, intersecția cu axele

\begin{aligned} M (a, b) \in G_{f} & ⟺ a \in A și f (a) = b \\ G_{f} \cap O y & : x = 0, punctul (0, f (0)) \\ G_{f} \cap O x & : f (x) = 0, punctele (x, 0) \end{aligned}

Explicația este simplă: un punct de pe axa $O y$ are abscisa 0, iar un punct de pe axa $O x$ are ordonata 0, adică $f (x) = 0$ .

De reținut

Fiecare element din domeniu are exact o imagine; un element din codomeniu poate avea oricâte „antecedente” (chiar niciunul).
$Im f \subseteq B$ : mulțimea valorilor nu coincide neapărat cu codomeniul.
Graficul este o mulțime de perechi $(x, f (x))$ ; pe domeniu finit se desenează doar punctele, fără să le unești.
Ca să verifici dacă $M (a, b)$ este pe grafic, calculezi $f (a)$ și compari cu $b$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie $A = {1, 2, 3, 4}$ și $B = {0, 1, 2}$ . Stabilește care dintre următoarele corespondențe definește o funcție de la $A$ la $B$ :
a) fiecărui $x \in A$ i se asociază restul împărțirii lui $x$ la 3;
b) fiecărui $x \in A$ i se asociază numerele din $B$ mai mici decât $x$ .

Vezi rezolvarea

a) $1 \to 1$ , $2 \to 2$ , $3 \to 0$ , $4 \to 1$ . Fiecare element din $A$ are o singură imagine, aflată în $B$ . Faptul că 1 primește două săgeți (de la 1 și de la 4) nu contează.
b) Lui 2 i se asociază numerele 0 și 1, adică două elemente; lui 3 și lui 4 li se asociază chiar trei elemente (0, 1, 2).

Răspuns: a) este funcție; b) nu este funcție.

Exemplul 2. Funcția $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to Z$ este dată prin $f (x) = x^{2} - 1$ . Completează tabelul de valori, scrie mulțimea valorilor funcției și calculează $f (- 2) + f (2)$ .

Vezi rezolvarea

$f (- 2) = 4 - 1 = 3$ , $f (- 1) = 1 - 1 = 0$ , $f (0) = - 1$ , $f (1) = 0$ , $f (2) = 3$ .
Tabelul: $x$ : −2, −1, 0, 1, 2; $f (x)$ : 3, 0, −1, 0, 3.
Valorile distincte sunt −1, 0 și 3, deci $Im f = {- 1, 0, 3}$ (fiecare valoare se scrie o singură dată).
$f (- 2) + f (2) = 3 + 3 = 6$ .

Răspuns: $Im f = {- 1, 0, 3}$ ; $f (- 2) + f (2) = 6$ .

Exemplul 3. Scrie graficul funcției $f : {- 1, 0, 1, 2, 3} \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ , și reprezintă-l geometric.

Vezi rezolvarea

Calculezi valorile: $f (- 1) = - 3$ , $f (0) = - 1$ , $f (1) = 1$ , $f (2) = 3$ , $f (3) = 5$ .
$G_{f} = {(- 1, - 3), (0, - 1), (1, 1), (2, 3), (3, 5)}$ .
Reprezinți cele cinci puncte în sistemul $x O y$ (vezi a doua figură din teorie). Domeniul are 5 elemente, deci graficul are exact 5 puncte; ele se află pe o dreaptă, dar segmentele dintre ele nu fac parte din grafic.

Răspuns: $G_{f} = {(- 1, - 3), (0, - 1), (1, 1), (2, 3), (3, 5)}$ , cinci puncte izolate.

Exemplul 4. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 2$ .
a) Verifică dacă punctele $A (2, 4)$ și $B (- 1, - 4)$ aparțin graficului funcției.
b) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $C (m, 10)$ aparține graficului.

Vezi rezolvarea

a) $f (2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ , egal cu ordonata lui $A$ , deci $A \in G_{f}$ .
$f (- 1) = 3 \cdot (- 1) - 2 = - 5 \neq - 4$ , deci $B \notin G_{f}$ .
b) $C (m, 10) \in G_{f} ⟺ f (m) = 10 ⟺ 3 m - 2 = 10 ⟺ 3 m = 12 ⟺ m = 4$ .

Răspuns: a) $A \in G_{f}$ , $B \notin G_{f}$ ; b) $m = 4$ .

Exemplul 5. Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 6$ , intersectează axele $O x$ și $O y$ în punctele $A$ , respectiv $B$ . Determină coordonatele punctelor $A$ și $B$ și aria triunghiului $A O B$ .

Vezi rezolvarea

Intersecția cu $O y$ : $x = 0$ , $f (0) = 6$ , deci $B (0, 6)$ .
Intersecția cu $O x$ : $f (x) = 0 ⟺ - 2 x + 6 = 0 ⟺ x = 3$ , deci $A (3, 0)$ .
Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ , cu catetele $O A = 3$ și $O B = 6$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ .

Răspuns: $A (3, 0)$ , $B (0, 6)$ , aria $= 9$ (unități de arie).

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = a x + b$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Punctele $M (1, 3)$ și $N (2, 5)$ aparțin graficului funcției. Determină numerele $a$ și $b$ și calculează $f (10)$ .

Vezi rezolvarea

$M \in G_{f} \Rightarrow f (1) = 3 \Rightarrow a + b = 3$ .
$N \in G_{f} \Rightarrow f (2) = 5 \Rightarrow 2 a + b = 5$ .
Scazi prima ecuație din a doua: $a = 2$ ; apoi $b = 3 - 2 = 1$ . Deci $f (x) = 2 x + 1$ .
Verificare: $f (1) = 3$ , $f (2) = 5$ . Atunci $f (10) = 2 \cdot 10 + 1 = 21$ .

Răspuns: $a = 2$ , $b = 1$ , $f (10) = 21$ .

Greșeli frecvente

„Fiecare element din B trebuie să primească o săgeată.” Fals. Condiția privește doar mulțimea $A$ : din fiecare element al domeniului pleacă exact o săgeată. În codomeniu pot exista elemente fără săgeată sau cu mai multe.
Confuzia dintre codomeniu și mulțimea valorilor. La $f : {0, 1, 2} \to N$ , $f (x) = x^{2}$ , codomeniul este $N$ , dar $Im f = {0, 1, 4}$ .
Unirea punctelor graficului când domeniul e finit. Pentru $f : {- 1, 0, 1, 2, 3} \to R$ graficul are 5 puncte; dacă le unești, desenezi graficul altei funcții (definite pe un interval).
Inversarea coordonatelor. Pentru $M (a, b)$ calculezi $f (a)$ (abscisa intră în funcție) și compari cu $b$ . La intersecția cu $O x$ rezolvi $f (x) = 0$ , nu pui $x = 0$ .

Verifică-te

Verifică-te: 4 întrebări

Fie $A = {1, 2, 3}$ și $B = {4, 5}$ . Care corespondență definește o funcție $f : A \to B$ ?

$1 \to 4$ , $2 \to 5$
$1 \to 4$ , $2 \to 4$ , $3 \to 5$
$1 \to 4$ , $1 \to 5$ , $2 \to 4$ , $3 \to 5$

Funcția $f : {- 1, 0, 1, 2} \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , are mulțimea valorilor:

${0, 1, 4}$
${- 1, 0, 1, 2}$
$R$

Care punct aparține graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 3$ ?

$(2, 4)$
$(0, 3)$
$(1, 1)$

Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 - 2 x$ , intersectează axa $O x$ în punctul:

$(0, 5)$
$(\frac{5}{2}, 0)$
$(- \frac{5}{2}, 0)$

Exersează

Fișă de lucru: funcții și funcția liniară, clasa a 8-a (printabilă, cu răspunsuri) și testul cu barem la funcții.
Pasul următor, funcția $f (x) = a x + b$ pe $R$ : funcția de gradul I, teorie și funcția liniară, exerciții rezolvate. Recapitulare: noțiuni introductive despre funcții.
La Evaluarea Națională funcția apare în Subiectul al III-lea, problema 3: EN 2026, Subiectul al III-lea, problema 3 (valori ale funcției $f (x) = 3 x - 6$ și intersecția graficului cu axele, rezolvată aici) și EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 3 ( $f (x) = 2 x - 1$ , rezolvată aici).
Toate problemele date: funcții la Evaluarea Națională, probleme rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție, pe scurt? O regulă care asociază fiecărui element din mulțimea $A$ (domeniul) un singur element din mulțimea $B$ (codomeniul). Se scrie $f : A \to B$ , iar $f (x)$ este valoarea funcției în $x$ .

Care este diferența dintre codomeniu și mulțimea valorilor? Codomeniul $B$ este mulțimea în care funcția ia valori, aleasă la definire. Mulțimea valorilor $Im f$ conține doar valorile efectiv obținute și este inclusă în codomeniu.

Cum verific dacă un punct aparține graficului unei funcții? Pentru $M (a, b)$ verifici că $a$ este în domeniu și calculezi $f (a)$ . Dacă $f (a) = b$ , punctul este pe grafic; altfel nu este.

Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

Teorie

Ce este o funcție

Cum poate fi dată o funcție

Graficul unei funcții

Punct pe grafic, intersecția cu axele

Exemple rezolvate

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează

Întrebări frecvente

Formule conexe