Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale; compararea și ordonarea — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli ce sunt numerele iraționale (de exemplu $\sqrt{2}$ sau $\pi$), cum se formează mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$ și cum compari și ordonezi numere care conțin radicali. Le folosești în tot restul clasei a VII-a (radicali, ecuații, teorema lui Pitagora) și apar aproape în fiecare an la Evaluarea Națională, în Subiectul I.

Teorie

Ce știi deja: numerele raționale

Până acum ai lucrat cu numere naturale $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$, numere întregi $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$ și numere raționale $\mathbb{Q}$. Un număr este rațional dacă se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a,b$ numere întregi și $b\ne 0$. Scrierea zecimală a unui număr rațional este finită ($\frac{3}{4}=0,75$) sau periodică ($\frac{2}{3}=0,(6)$, $\frac{1}{6}=0,1(6)$).

Rădăcina pătrată și numerele iraționale

Rădăcina pătrată a unui număr $a\ge 0$ este numărul $\sqrt{a}\ge 0$ al cărui pătrat este $a$. Pentru pătratele perfecte ea este un număr natural: $\sqrt{16}=4$, pentru că $4^2=16$; în general $\sqrt{n^2}=n$ pentru orice număr natural $n$.

Ce se întâmplă cu $\sqrt{2}$? Avem $1^2=1<2<4=2^2$, deci $\sqrt{2}$ este între 1 și 2, nu e număr natural. Mai mult, nu există nicio fracție al cărei pătrat să fie exact 2: $\sqrt{2}=\mathrm{1,414}21356\dots$ are o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.

Când este $\sqrt{n}$ irațional?

• Dacă $n$ este un număr natural care nu este pătrat perfect, $\sqrt{n}$ este irațional: $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{12},\sqrt{50}$.
• Pentru fracții: $\sqrt{\frac{a}{b}}$ este rațional când, după simplificare, și numărătorul, și numitorul sunt pătrate perfecte: $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$, $\sqrt{0,49}=\sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10}$. În schimb $\sqrt{0,4}=\sqrt{\frac{2}{5}}$ este irațional.
• Alte numere iraționale: $\pi =\mathrm{3,141}59\dots$ (3,14 este doar o aproximare a lui) sau $\mathrm{0,101}001000100001\dots$, unde numărul de zerouri crește mereu, deci nu apare nicio perioadă.

De ce sunt iraționale $\sqrt{2}+1$ sau $3\sqrt{2}$? Dacă $\sqrt{2}+1$ ar fi un număr rațional $q$, atunci $\sqrt{2}=q-1$ ar fi tot rațional (diferența a două numere raționale este rațională), ceea ce e fals. La fel, dacă $3\sqrt{2}=q$, atunci $\sqrt{2}=\frac{q}{3}$ ar fi rațional. Regula: rațional + irațional = irațional și rațional nenul · irațional = irațional. Atenție însă: suma a două numere iraționale poate fi rațională: $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$, iar $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.

Reprezentarea pe axa numerelor

Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe axa numerelor și fiecărui punct de pe axă îi corespunde un număr real. Numerele iraționale le așezi pe axă prin aproximări: $\sqrt{2}\approx 1,41$ este puțin la stânga mijlocului segmentului dintre 1 și 2. Cum găsești aceste aproximări afli în lecția estimarea rădăcinii pătrate.

Compararea și ordonarea numerelor reale

Pe axă, dintre două numere reale este mai mare cel situat mai la dreapta. De aici regulile:

De ce funcționează a doua regulă? Dacă $0\le a<b$ și am avea $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$, atunci, înmulțind inegalitatea cu ea însăși (numerele sunt pozitive), ar rezulta $a\ge b$, fals. Deci radicalul păstrează ordinea numerelor pozitive.

De reținut

• Iraționale = numere cu scriere zecimală infinită și neperiodică; $\sqrt{n}$ este irațional când $n\in \mathbb{N}$ nu e pătrat perfect.
• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$; un număr real este fie rațional, fie irațional.
• Ca să compari radicali, scrie totul sub forma $\sqrt{\dots }$ (introduci factorii sub radical) și compari numerele de sub radical.
• La numere negative ordinea se inversează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Se consideră mulțimea $A=\{-7;0;2,5;\sqrt{36};-\sqrt{12};1,(6);\sqrt{\frac{4}{9}};\pi ;\sqrt{0,09};3\sqrt{2}\}$. Determină $A\cap \mathbb{N}$, $A\cap \mathbb{Z}$, $A\cap \mathbb{Q}$ și $A\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})$.

Vezi rezolvarea

1. Calculezi radicalii care se pot calcula: $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$, $\sqrt{0,09}=0,3$ (pentru că $0,3^2=0,09$).
2. $12$ și $2$ nu sunt pătrate perfecte, deci $-\sqrt{12}$ și $3\sqrt{2}$ sunt iraționale; $\pi$ este irațional.
3. $2,5=\frac{5}{2}$ și $1,(6)=\frac{5}{3}$ sunt raționale (zecimală finită, respectiv periodică), dar nu întregi.

Răspuns: $A\cap \mathbb{N}=\{0;\sqrt{36}\}$; $A\cap \mathbb{Z}=\{-7;0;\sqrt{36}\}$; $A\cap \mathbb{Q}=\{-7;0;2,5;\sqrt{36};1,(6);\sqrt{\frac{4}{9}};\sqrt{0,09}\}$; $A\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})=\{-\sqrt{12};\pi ;3\sqrt{2}\}$.

Exemplul 2. Stabilește care dintre numerele $a=\sqrt{49}$, $b=\sqrt{0,49}$, $c=\sqrt{4,9}$, $d=\sqrt{1\frac{9}{16}}$ sunt raționale.

Vezi rezolvarea

1. $a=\sqrt{49}=7$, rațional.
2. $b=\sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10}=0,7$, rațional.
3. $c=\sqrt{\frac{49}{10}}$: după simplificare numitorul este 10, care nu e pătrat perfect. Altfel: $c=\sqrt{\frac{490}{100}}=\frac{\sqrt{490}}{10}$, iar $490$ nu e pătrat perfect (${22}^2=484$, ${23}^2=529$), deci $c$ este irațional.
4. $d$: introduci întregii în fracție, $1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$, deci $d=\frac{5}{4}$, rațional.

Răspuns: $a,b,d$ sunt raționale; $c=\sqrt{4,9}$ este irațional.

Exemplul 3. Compară numerele $2\sqrt{7}$ și $3\sqrt{3}$.

Vezi rezolvarea

1. Introduci factorii sub radical: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$ și $3\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27}$.
2. $28>27$, deci $\sqrt{28}>\sqrt{27}$.

Răspuns: $2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$

Exemplul 4. Ordonează crescător numerele $a=3\sqrt{2}$, $b=2\sqrt{5}$, $c=4$ și $d=\sqrt{17}$.

Vezi rezolvarea

1. Scrii toate numerele ca radicali: $a=\sqrt{18}$, $b=\sqrt{20}$, $c=\sqrt{16}$, $d=\sqrt{17}$.
2. $16<17<18<20$, deci $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{18}<\sqrt{20}$.

Răspuns: $4<\sqrt{17}<3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$, adică $c<d<a<b$.

Exemplul 5. Ordonează crescător numerele $-\sqrt{10}$; $-3$; $-2\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$; $-1,5$.

Vezi rezolvarea

1. Singurul număr pozitiv este $\sqrt{2}$, deci el este cel mai mare.
2. Compari numerele fără semnul minus: $\sqrt{10}$, $3=\sqrt{9}$, $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$, $1,5=\sqrt{2,25}$. Avem $\sqrt{2,25}<\sqrt{8}<\sqrt{9}<\sqrt{10}$.
3. Pentru numere negative ordinea se inversează: $-\sqrt{10}<-3<-2\sqrt{2}<-1,5$.

Răspuns: $-\sqrt{10}<-3<-2\sqrt{2}<-1,5<\sqrt{2}$

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). a) Câte numere iraționale conține mulțimea $B=\{\sqrt{1};\sqrt{2};\sqrt{3};\dots ;\sqrt{20}\}$? b) Stabilește dacă numărul $x=7-3\sqrt{5}$ este pozitiv sau negativ.

Vezi rezolvarea

1. a) $\sqrt{n}$ este rațional doar când $n$ este pătrat perfect. Între 1 și 20 pătratele perfecte sunt 1, 4, 9, 16, deci 4 numere din $B$ sunt naturale ($1,2,3,4$).
2. Celelalte $20-4=16$ numere sunt iraționale.
3. b) Compari $7$ cu $3\sqrt{5}$: $7=\sqrt{49}$ și $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$. Cum $49>45$, $7>3\sqrt{5}$, deci diferența $7-3\sqrt{5}$ este pozitivă.

Răspuns: a) 16 numere iraționale; b) $x>0$.

Greșeli frecvente

• „Orice radical este irațional.” Fals: $\sqrt{16}=4$ și $\sqrt{0,25}=0,5$ sunt raționale. Calculează radicalul înainte să decizi.
• Fracțiile periodice luate drept iraționale. $0,(3)=\frac{1}{3}$ are infinit de zecimale, dar periodice, deci e rațional. Iraționale sunt doar zecimalele infinite neperiodice. Tot așa, $3,14$ este rațional; $\pi$ nu este egal cu 3,14.
• Factor introdus greșit sub radical: $3\sqrt{2}\ne \sqrt{6}$. Factorul intră la pătrat: $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$.
• Numere negative comparate ca cele pozitive: din $\sqrt{10}>3$ rezultă $-\sqrt{10}<-3$, nu $-\sqrt{10}>-3$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: mulțimea numerelor reale, clasa a 7-a (apartenența la mulțimi, comparări, ordonări; printabilă, cu răspunsuri).
• Radicali: exerciții rezolvate pas cu pas (scoaterea și introducerea factorilor, compararea radicalilor).
• La Evaluarea Națională: EN 2023, subiect de rezervă, Subiectul I, ex. 6 (compari $2\sqrt{3}$ cu $3\sqrt{2}$, rezolvat aici); Simulare EN 2023, Subiectul I, ex. 6 (compari 4 cu $2\sqrt{5}$, rezolvat aici); Test 6 de antrenament EN 2021, Subiectul I, ex. 6 (ordonarea numerelor $\pm 2$, $\pm \sqrt{2}$, rezolvat aici).
• Toți itemii de acest tip, adunați: radicali, modul și compararea numerelor reale la EN. Teorie conexă: mulțimi de numere, radicali.

Întrebări frecvente

Ce este un număr irațional? Un număr real care nu se poate scrie ca fracție $\frac{a}{b}$ cu $a,b$ întregi și $b\ne 0$. Scrierea lui zecimală este infinită și neperiodică; exemple: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.

Este $\pi$ un număr rațional? Nu, $\pi =\mathrm{3,141}59\dots$ este irațional. Valorile 3,14 sau $\frac{22}{7}$ sunt doar aproximări raționale ale lui, folosite în calcule.

Cum compari doi radicali? Introduci factorii sub radical, ca ambele numere să fie de forma $\sqrt{a}$ și $\sqrt{b}$, apoi compari $a$ cu $b$: de exemplu $2\sqrt{3}=\sqrt{12}<\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.