Coarde și arce în cerc — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli legăturile dintre coardele și arcele unui cerc: arcele congruente au coarde congruente, diametrul perpendicular pe o coardă o împarte în două părți egale, coardele paralele cuprind între ele arce congruente, iar coardele egal depărtate de centru sunt congruente. Proprietățile acestea se folosesc în problemele cu cercul de la Evaluarea Națională și, mai târziu, la poligoanele regulate înscrise.

Teorie

Recapitulare: o coardă este un segment cu capetele pe cerc; coarda care trece prin centru este diametru și este cea mai lungă coardă ($d=2r$). O coardă $[AB]$ care nu e diametru împarte cercul într-un arc mic și un arc mare; spunem că ea subîntinde arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$. Distanța de la centru la o coardă este lungimea perpendicularei duse din $O$ pe coardă.

1. Arce congruente ⇔ coarde congruente

În același cerc (sau în cercuri congruente): la arce congruente corespund coarde congruente și reciproc.

$$\stackrel{⌢}{AB}\equiv \stackrel{⌢}{CD}⟺[AB]\equiv [CD].$$

De ce? Dacă arcele sunt congruente, unghiurile la centru $AOB$ și $COD$ sunt congruente. Triunghiurile $AOB$ și $COD$ au $OA=OC$, $OB=OD$ (raze) și unghiurile dintre ele congruente, deci sunt congruente (cazul LUL) și $AB=CD$. Reciproc, dacă $AB=CD$, triunghiurile sunt congruente prin cazul LLL, deci unghiurile la centru și arcele sunt congruente.

2. Diametrul perpendicular pe o coardă

Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijloacele arcelor subîntinse de ea. În figură, $MN\perp AB$, $P=MN\cap AB\Rightarrow AP=PB$ și $\stackrel{⌢}{AN}\equiv \stackrel{⌢}{NB}$, $\stackrel{⌢}{AM}\equiv \stackrel{⌢}{MB}$.

De ce? Triunghiul $AOB$ este isoscel ($OA=OB$), iar $OP$ este înălțimea din vârful $O$. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și mediană, și bisectoare: deci $AP=PB$ și $\mathrm{\angle }AON\equiv \mathrm{\angle }NOB$, adică arcele $\stackrel{⌢}{AN}$ și $\stackrel{⌢}{NB}$ sunt congruente.

Reciproc: diametrul care trece prin mijlocul unei coarde (care nu e diametru) este perpendicular pe ea. Altfel spus, mediatoarea oricărei coarde trece prin centrul cercului (centrul este egal depărtat de capetele coardei).

3. Arce cuprinse între coarde paralele

Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente. Dacă $AB\parallel CD$ (vezi figura de la exemplul 3), atunci $\stackrel{⌢}{AC}\equiv \stackrel{⌢}{BD}$.

De ce? Ducem coarda $AD$. Unghiurile $BAD$ și $ADC$ sunt alterne interne (paralelele $AB,CD$ și secanta $AD$), deci sunt congruente. Ele sunt unghiuri înscrise: $\mathrm{\angle }BAD$ cuprinde arcul $\stackrel{⌢}{BD}$, iar $\mathrm{\angle }ADC$ cuprinde arcul $\stackrel{⌢}{AC}$. Unghiuri înscrise congruente cuprind arce congruente (vezi lecția unghiul înscris în cerc).

4. Coarde egal depărtate de centru

Două coarde sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centru. Fie $OM\perp AB$ și $ON\perp CD$, cu $M,N$ pe coarde (deci mijloacele lor).

De ce? Triunghiurile $OMA$ și $ONC$ sunt dreptunghice, cu ipotenuzele $OA=OC$ (raze). Dacă $OM=ON$, ele sunt congruente (cazul IC), deci $AM=CN$ și $AB=2AM=2CN=CD$. Reciproc, dacă $AB=CD$, atunci $AM=CN$ și, tot prin IC, $OM=ON$.

Observație (după ce înveți teorema lui Pitagora, în capitolul „Relații metrice”): în triunghiul dreptunghic $OMA$ avem $O{M}^2+A{M}^2=O{A}^2$, adică $d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=r^2$. Cu această relație afli lungimea unei coarde din rază și distanța la centru (exemplul 6).

De reținut

• Arce congruente ⇔ coarde congruente (în același cerc).
• Diametrul ⊥ pe coardă ⇒ trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcelor.
• Coarde paralele ⇒ arcele dintre ele sunt congruente.
• Coarde congruente ⇔ coarde egal depărtate de centru.
• Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În cercul de centru $O$, arcele $\stackrel{⌢}{AB}$ și $\stackrel{⌢}{CD}$ au fiecare ${70}^{\circ }$, iar $AB=6$ cm. Află $CD$ și $m(\mathrm{\angle }COD)$.

Vezi rezolvarea

1. Arcele sunt congruente, deci și coardele sunt congruente: $CD=AB=6$ cm.
2. Unghiul la centru are măsura arcului: $m(\mathrm{\angle }COD)={70}^{\circ }$.

Răspuns: $CD=6$ cm, $m(\mathrm{\angle }COD)={70}^{\circ }$

Exemplul 2. Diametrul $[MN]$ este perpendicular pe coarda $[AB]$ în punctul $P$, iar $N$ se află pe arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$, care are ${100}^{\circ }$. Știind că $AB=12$ cm, află $AP$, $m(\stackrel{⌢}{AN})$ și $m(\mathrm{\angle }AMB)$.

Vezi rezolvarea

1. Diametrul perpendicular pe coardă trece prin mijlocul ei: $AP=\frac{12}{2}=6$ cm.
2. El trece și prin mijlocul arcului mic: $m(\stackrel{⌢}{AN})=\frac{{100}^{\circ }}{2}={50}^{\circ }$.
3. $M$ este pe arcul mare, deci unghiul înscris $AMB$ cuprinde arcul mic de ${100}^{\circ }$: $m(\mathrm{\angle }AMB)={50}^{\circ }$.

Răspuns: $AP=6$ cm, $m(\stackrel{⌢}{AN})={50}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AMB)={50}^{\circ }$

Exemplul 3. Punctele $A,B,D,C$ sunt pe cerc, în această ordine, iar coardele $AB$ și $CD$ sunt paralele. Arcul $\stackrel{⌢}{AB}$ are ${120}^{\circ }$, iar arcul $\stackrel{⌢}{AC}$ are ${50}^{\circ }$ (arcele dintre puncte vecine). Află măsurile arcelor $\stackrel{⌢}{BD}$ și $\stackrel{⌢}{CD}$ și arată că $ABDC$ este trapez isoscel.

Vezi rezolvarea

1. Arcele cuprinse între coardele paralele sunt congruente: $m(\stackrel{⌢}{BD})=m(\stackrel{⌢}{AC})={50}^{\circ }$.
2. Cele patru arce acoperă tot cercul: $m(\stackrel{⌢}{CD})$ $={360}^{\circ }-{120}^{\circ }-{50}^{\circ }-{50}^{\circ }$ $={140}^{\circ }$.
3. Arcele $\stackrel{⌢}{AC}$ și $\stackrel{⌢}{BD}$ sunt congruente, deci coardele sunt congruente: $AC=BD$.
4. $ABDC$ are $AB\parallel CD$, iar laturile neparalele $AC$ și $BD$ sunt congruente (și neparalele), deci este trapez isoscel.

Răspuns: $m(\stackrel{⌢}{BD})={50}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{CD})={140}^{\circ }$; $ABDC$ trapez isoscel

Exemplul 4. În cercul de centru $O$, coardele $[AB]$ și $[CD]$ se află la aceeași distanță de centru, $4$ cm. Știind că $AB=10$ cm și $m(\mathrm{\angle }AOB)={100}^{\circ }$, află $CD$ și $m(\mathrm{\angle }COD)$.

Vezi rezolvarea

1. Coardele egal depărtate de centru sunt congruente: $CD=AB=10$ cm.
2. Coarde congruente ⇒ arce congruente ⇒ unghiuri la centru congruente: $m(\mathrm{\angle }COD)={100}^{\circ }$.

Răspuns: $CD=10$ cm, $m(\mathrm{\angle }COD)={100}^{\circ }$

Exemplul 5. Cercul de centru $O$ are raza 8 cm, iar coarda $[AB]$ are $m(\mathrm{\angle }AOB)={120}^{\circ }$. Fie $M$ mijlocul coardei $[AB]$ și $N$ mijlocul arcului mic $\stackrel{⌢}{AB}$. Află distanța de la $O$ la coarda $AB$, lungimea $MN$ și lungimea $AN$.

Vezi rezolvarea

1. $OA=OB$, deci în triunghiul isoscel $AOB$: $m(\mathrm{\angle }OAB)=\frac{{180}^{\circ }-{120}^{\circ }}{2}={30}^{\circ }$.
2. $M$ este mijlocul coardei, deci $OM\perp AB$ și $OM$ este distanța de la $O$ la $AB$. În triunghiul dreptunghic $OMA$, cateta $OM$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$, deci $OM=\frac{OA}{2}=4$ cm.
3. Dreapta $OM$ trece prin mijlocul arcului mic, adică prin $N$, iar $ON=8$ cm (rază): $MN=ON-OM=8-4=4$ cm.
4. $m(\mathrm{\angle }AON)=\frac{{120}^{\circ }}{2}={60}^{\circ }$ și $OA=ON$, deci triunghiul $AON$ este echilateral: $AN=8$ cm.

Răspuns: $d(O,AB)=4$ cm, $MN=4$ cm, $AN=8$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională; folosește teorema lui Pitagora). Cercul de centru $O$ are raza 10 cm. Coardele paralele $[AB]$ și $[CD]$ au $AB=16$ cm și $CD=12$ cm. Află distanța dintre cele două coarde, dacă: a) sunt de o parte și de alta a centrului; b) sunt de aceeași parte a centrului.

Vezi rezolvarea

1. Fie $M,N$ mijloacele coardelor. Perpendiculara din $O$ pe $AB$ cade în $M$ și, cum $CD\parallel AB$, este perpendiculară și pe $CD$, în $N$. Deci $O,M,N$ sunt coliniare, iar distanța dintre coarde se măsoară pe dreapta $MN$.
2. În triunghiul dreptunghic $OMA$: $O{M}^2=O{A}^2-A{M}^2$ $=100-64=36$, deci $OM=6$ cm.
3. În triunghiul dreptunghic $ONC$: $O{N}^2=O{C}^2-C{N}^2$ $=100-36=64$, deci $ON=8$ cm.
4. a) Coardele sunt de o parte și de alta a lui $O$: $MN=6+8=14$ cm. b) De aceeași parte: $MN=8-6=2$ cm.
5. Observă că coarda mai lungă (16 cm) este mai aproape de centru (6 cm).

Răspuns: a) 14 cm; b) 2 cm

Greșeli frecvente

• Crezi că dublul arcului dă dublul coardei: arcele congruente au coarde congruente, dar coarda nu e proporțională cu arcul. Un arc de ${60}^{\circ }$ are coarda egală cu raza, iar un arc de ${120}^{\circ }$ nu are coarda de două ori mai mare.
• Iei arcele greșite la coarde paralele: congruente sunt arcele dintre coarde ($\stackrel{⌢}{AC}$ și $\stackrel{⌢}{BD}$), nu arcele subîntinse de coarde ($\stackrel{⌢}{AB}$ și $\stackrel{⌢}{CD}$).
• Uiți că perpendiculara trebuie să plece din centru: o perpendiculară oarecare pe coardă nu o împarte în două; doar cea dusă din centru (sau diametrul perpendicular) cade în mijlocul coardei.
• Dai un singur răspuns la coarde paralele: dacă enunțul nu spune unde sunt coardele față de centru, verifici ambele situații (exemplul 6).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: cercul, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: Simulare EN 2026, Subiectul al II-lea, itemul 11 (diametrul $AB$ și coarda $CD\parallel AB$, arce dintre coarde paralele, rezolvat aici) și Simulare EN 2026, Subiectul al III-lea, problema 4 (pătrat înscris, mijlocul unui arc, diametrul perpendicular pe coardă, rezolvată aici).
• Toate problemele cu cercul date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — cercul.
• Formulele cercului: cercul — lungime, arie, arc.

Întrebări frecvente

Ce proprietate au arcele cuprinse între două coarde paralele? Sunt congruente. Dacă $AB\parallel CD$, atunci arcele $AC$ și $BD$ dintre cele două coarde au aceeași măsură, deci și coardele $AC$ și $BD$ sunt egale.

De ce diametrul perpendicular pe o coardă o împarte în două părți egale? Capetele coardei și centrul formează un triunghi isoscel (două laturi sunt raze), iar înălțimea din vârful unui triunghi isoscel este și mediană, deci cade în mijlocul coardei.

Care coardă este mai lungă: cea mai apropiată sau cea mai depărtată de centru? Cea mai apropiată de centru. Cea mai lungă coardă este diametrul, care trece chiar prin centru; coardele egal depărtate de centru sunt congruente.