Produsul cartezian. Sistemul de axe ortogonale. Distanța dintre două puncte — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este o pereche ordonată și produsul cartezian a două mulțimi, cum se reprezintă punctele într-un sistem de axe ortogonale xOy și cum calculezi distanța dintre două puncte cu teorema lui Pitagora. Le vei folosi în clasa a VIII-a la graficul funcției și la Evaluarea Națională, în Subiectul al III-lea (problema cu puncte și drepte în xOy).

Teorie

Perechi ordonate și produsul cartezian

O pereche ordonată $(a,b)$ este formată din două elemente scrise într-o ordine fixată: $a$ este primul element, $b$ al doilea. Ordinea contează: $(2,5)\ne (5,2)$. Două perechi sunt egale doar dacă au, pe rând, aceleași elemente:

$$(a,b)=(c,d)⟺a=c\text{ și }b=d.$$

Produsul cartezian al mulțimilor nevide $A$ și $B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate care au primul element din $A$ și al doilea din $B$:

$$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}.$$

Se citește „A ori B”. Când $A=B$ scriem $A\times A=A^2$.

Câte elemente are? Dacă $A$ are $m$ elemente și $B$ are $n$ elemente, atunci $A\times B$ are $m\cdot n$ elemente. De ce: fiecare dintre cele $m$ elemente ale lui $A$ formează câte o pereche cu fiecare dintre cele $n$ elemente ale lui $B$, deci se obțin $n+n+\dots +n$ (de $m$ ori) perechi. Pe scurt: $\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}A\cdot \mathrm{card}B$.

Produsul cartezian se poate reprezenta printr-un tabel cu două intrări (elementele lui $A$ pe linii, ale lui $B$ pe coloane, perechile în căsuțe), printr-o diagramă cu săgeți sau printr-o rețea de puncte.

Sistemul de axe ortogonale xOy

Desenăm două axe ale numerelor perpendiculare, care se intersectează în originea lor comună $O$ și au aceeași unitate de măsură: axa orizontală $Ox$ (axa absciselor) și axa verticală $Oy$ (axa ordonatelor). Fiecărui punct $M$ din plan îi corespunde o singură pereche de numere reale $(x,y)$: ducem din $M$ perpendiculare pe axe și citim numerele de la picioarele lor. Scriem $M(x,y)$; $x$ este abscisa, $y$ este ordonata. Invers, fiecare pereche $(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ dă un singur punct. Așa „vedem” produsul cartezian $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ ca plan.

Axele împart planul în patru cadrane, numerotate în sens invers acelor de ceasornic:

Cadranul	I	II	III	IV
semnul lui $x$	+	−	−	+
semnul lui $y$	+	+	−	−

Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran: un punct de pe $Ox$ are ordonata 0, adică $(x,0)$; un punct de pe $Oy$ are abscisa 0, adică $(0,y)$; originea este $O(0,0)$.

Simetricele punctului $M(x,y)$: față de axa $Ox$ este $(x,-y)$, față de axa $Oy$ este $(-x,y)$, iar față de originea $O$ este $(-x,-y)$.

Distanța dintre două puncte

Dacă punctele au aceeași ordonată, segmentul este orizontal și lungimea lui este distanța dintre abscise pe axă, adică un modul: $A(x_1,y),B(x_2,y)\Rightarrow AB=|x_2-x_1|$. La fel, pentru aceeași abscisă: $AB=|y_2-y_1|$.

În cazul general, pentru $A(x_1,y_1)$ și $B(x_2,y_2)$ luăm punctul $C(x_2,y_1)$ (ca în figură). Triunghiul $ACB$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $AC=|x_2-x_1|$ și $CB=|y_2-y_1|$. Din teorema lui Pitagora, $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2$, deci:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}.$$

Modulul dispare pentru că pătratul unui număr și pătratul opusului său sunt egale. Teorema lui Pitagora se studiază în capitolul „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”; dacă nu ai ajuns încă acolo, revino la formula distanței după ce o înveți.

De reținut

• $(a,b)=(c,d)$ doar dacă $a=c$ și $b=d$; de regulă $A\times B\ne B\times A$.
• $\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}A\cdot \mathrm{card}B$.
• În $M(x,y)$, întâi abscisa (pe orizontală), apoi ordonata (pe verticală).
• Pe $Ox$: $y=0$; pe $Oy$: $x=0$.
• $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$; pentru segmente orizontale sau verticale ajunge modulul diferenței.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{0,5\}$. Scrie mulțimile $A\times B$ și $B\times A$. Câte elemente are fiecare? Sunt egale?

Vezi rezolvarea

1. Luăm pe rând fiecare element din $A$ ca prim element: $A\times B=\{(1,0),(1,5),(2,0),(2,5),(3,0),(3,5)\}$.
2. Acum primul element vine din $B$: $B\times A=\{(0,1),(0,2),(0,3),(5,1),(5,2),(5,3)\}$.
3. Fiecare are $3\cdot 2=6$ elemente.
4. Nu sunt egale: de exemplu $(1,0)\in A\times B$, dar $(1,0)\notin B\times A$, pentru că primul element al perechilor din $B\times A$ este 0 sau 5.

Răspuns: câte 6 elemente; $A\times B\ne B\times A$.

Exemplul 2. Fie $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid |x|<2\}$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 2x+1\le 7\}$. a) Câte elemente are $A\times B$? b) Câte perechi $(a,b)\in A\times B$ au produsul $a\cdot b=0$?

Vezi rezolvarea

1. Numerele întregi cu modulul mai mic decât 2 sunt $-1,0,1$, deci $A=\{-1,0,1\}$.
2. $2x+1\le 7⟺2x\le 6⟺x\le 3$; numerele naturale sunt $0,1,2,3$, deci $B=\{0,1,2,3\}$.
3. a) $\mathrm{card}(A\times B)=3\cdot 4=12$.
4. b) Produsul e 0 când $a=0$ sau $b=0$. Cu $a=0$: 4 perechi $(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)$. Cu $b=0$: 3 perechi $(-1,0),(0,0),(1,0)$. Perechea $(0,0)$ a fost numărată de două ori, deci sunt $4+3-1=6$ perechi.

Răspuns: a) 12 elemente; b) 6 perechi.

Exemplul 3. Precizează unde se află punctele $A(2,3)$, $B(-3,1)$, $C(-2,-4)$, $D(0,-2)$, $E(3,0)$. Scrie apoi coordonatele simetricelor punctului $A$ față de $Ox$, față de $Oy$ și față de $O$.

Vezi rezolvarea

1. Te uiți la semne: $A(+,+)$ în cadranul I, $B(-,+)$ în cadranul II, $C(-,-)$ în cadranul III.
2. $D$ are abscisa 0, deci este pe axa $Oy$ (sub origine); $E$ are ordonata 0, deci este pe axa $Ox$ (la dreapta originii).
3. Simetricul față de $Ox$ păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei: $(2,-3)$. Față de $Oy$: $(-2,3)$. Față de $O$: $(-2,-3)$.

Răspuns: A în I, B în II, C în III, D pe Oy, E pe Ox; simetricele lui A: $(2,-3)$, $(-2,3)$, $(-2,-3)$.

Exemplul 4. Calculează distanțele: a) de la $A(-1,2)$ la $B(5,2)$; b) de la $C(3,-4)$ la $D(3,1)$; c) de la $E(-2,-1)$ la $F(4,7)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Aceeași ordonată (2), segment orizontal: $AB=|5-(-1)|=6$.
2. b) Aceeași abscisă (3), segment vertical: $CD=|1-(-4)|=5$.
3. c) Cazul general: $x_2-x_1=4-(-2)=6$, $y_2-y_1=7-(-1)=8$, deci $EF=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Răspuns: AB = 6, CD = 5, EF = 10 (unități de lungime).

Exemplul 5. Se consideră punctele $M(-1,-1)$, $N(3,1)$ și $P(1,5)$. Arată că triunghiul $MNP$ este dreptunghic isoscel și calculează aria lui.

Vezi rezolvarea

1. $MN=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
2. $NP=\sqrt{(1-3{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
3. $MP=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.
4. $MN=NP$, deci triunghiul este isoscel. În plus $M{N}^2+N{P}^2=20+20=40=M{P}^2$, deci, din reciproca teoremei lui Pitagora, unghiul $N$ este drept.
5. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $\mathcal{A}=\frac{MN\cdot NP}{2}=\frac{2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}{2}=\frac{20}{2}=10$.

Răspuns: triunghi dreptunghic isoscel cu unghiul drept în N; aria = 10 (unități de arie).

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Determină numerele reale $m$ pentru care distanța dintre punctele $A(2,m)$ și $B(5,-1)$ este egală cu 5.

Vezi rezolvarea

1. $A{B}^2=(5-2{)}^2+(-1-m{)}^2=9+(m+1{)}^2$ (pătratul unui număr este egal cu pătratul opusului său).
2. Din $AB=5$ rezultă $A{B}^2=25$, deci $9+(m+1{)}^2=25$, adică $(m+1{)}^2=16$.
3. Ecuația $t^2=16$ are soluțiile $t=4$ și $t=-4$. Deci $m+1=4\Rightarrow m=3$ sau $m+1=-4\Rightarrow m=-5$.
4. Verificare: pentru $m=3$, $AB=\sqrt{9+16}=5$; pentru $m=-5$, $AB=\sqrt{9+16}=5$.

Răspuns: $m\in \{-5,3\}$.

Greșeli frecvente

• Inversezi coordonatele: în $M(-3,1)$ primul număr se citește pe orizontală (abscisa), al doilea pe verticală. $(-3,1)$ și $(1,-3)$ sunt puncte diferite, în cadrane diferite.
• Aduni cardinalele: dacă $A$ are 3 elemente și $B$ are 4, $A\times B$ are $3\cdot 4=12$ elemente, nu 7.
• Greșești semnele în formula distanței: $4-(-2)=6$, nu 2; iar $(-3{)}^2=9$, nu $-9$. Pătratele din formulă sunt mereu pozitive sau zero.
• „Scoți” radicalul pe bucăți: $\sqrt{6^2+8^2}\ne 6+8$. Calculezi întâi suma de sub radical: $\sqrt{100}=10$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: elemente de organizare a datelor, clasa a 7-a (produs cartezian, puncte în xOy, distanța dintre două puncte; printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională distanța dintre două puncte apare în Subiectul al III-lea, problema 3: Simulare EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 3 a) (arăți că $AB=5$ pentru $A(2,0)$ și $B(6,3)$; rezolvată aici), plus toate celelalte probleme din secțiunea distanța dintre două puncte în xOy.
• Puncte în sistemul de axe, cu grilă: Test 3 de antrenament EN 2021, Subiectul al II-lea, itemul 7 (rezolvat aici).
• Teorema folosită la distanță: teorema lui Pitagora și exerciții rezolvate cu Pitagora, clasa a 7-a.

Întrebări frecvente

Ce este produsul cartezian a două mulțimi? Este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a,b)$ cu $a$ din prima mulțime și $b$ din a doua. Dacă mulțimile au $m$ și $n$ elemente, produsul cartezian are $m\cdot n$ elemente.

Cum știu în ce cadran se află un punct? După semnele coordonatelor: $(+,+)$ cadranul I, $(-,+)$ cadranul II, $(-,-)$ cadranul III, $(+,-)$ cadranul IV. Dacă o coordonată este 0, punctul este pe o axă.

Cum se calculează distanța dintre două puncte în sistemul de axe? Cu formula $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$, care vine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele.