Asimptota verticală — formulă, ecuație și exemple

Q: Care este ecuația asimptotei verticale?

x=a, unde a este punctul finit în care cel puțin o limită laterală a funcției este ±∞.

Q: Poate graficul să intersecteze asimptota verticală?

Nu o poate traversa: în vecinătatea lui a valorile funcției tind la infinit, iar de regulă a nu aparține domeniului, deci graficul nu are puncte pe dreapta x=a. Spre deosebire de aceasta, asimptotele orizontale și oblice pot fi intersectate.

Formule

Asimptota verticală a unei funcții $f$ este dreapta $x = a$ (paralelă cu axa $O y$ ), unde $a$ este un punct finit, de acumulare pentru domeniu, în care cel puțin o limită laterală este infinită: $lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ . Ecuația asimptotei verticale este $x = a$ . O cauți în punctele care nu aparțin domeniului, dar sunt „la marginea” lui: zerourile numitorului, capetele finite ale intervalelor de definiție, punctul în care argumentul lui $\ln$ devine $0$ .

Definiție

Fie $f : D \to R$ și $a \in R$ un punct de acumulare pentru $D$ .

Dreapta $x = a$ este asimptotă verticală la stânga dacă

$lim_{\begin{matrix} x \to a \\ x < a \end{matrix}} f (x) = \pm \infty (notat și lim_{x ↗ a} f (x) = \pm \infty) .$

Dreapta $x = a$ este asimptotă verticală la dreapta dacă

$lim_{\begin{matrix} x \to a \\ x > a \end{matrix}} f (x) = \pm \infty (lim_{x ↘ a} f (x) = \pm \infty) .$

Dacă ambele limite laterale sunt infinite, $x = a$ este asimptotă verticală bilaterală. Este suficientă o singură limită laterală infinită pentru ca dreapta să fie asimptotă verticală. Existența asimptotelor verticale nu depinde de existența asimptotelor orizontale sau a celor oblice, iar o funcție poate avea oricâte asimptote verticale ( $tg x$ are o infinitate).

Ecuația asimptotei verticale

Ecuația este $x = a$ : o dreaptă verticală, în care apare doar variabila $x$ . Exemplu: pentru $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ avem $lim_{x ↘ 2} f (x) = + \infty$ și $lim_{x ↗ 2} f (x) = - \infty$ , deci dreapta $x = 2$ este asimptotă verticală bilaterală.

Unde o cauți

Zerourile numitorului (după simplificare!) la funcții raționale sau cu fracții: pentru $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ candidatele sunt soluțiile ecuației $Q (x) = 0$ .
Capetele finite ale domeniului care nu aparțin domeniului: dacă $D = (a, b)$ , verifici limita în $a$ la dreapta și în $b$ la stânga.
Logaritmul: $\ln x$ are asimptota verticală $x = 0$ , deoarece $lim_{x ↘ 0} \ln x = - \infty$ ; în general $\ln u (x)$ acolo unde $u (x) \to 0^{+}$ .
Funcții trigonometrice: $tg x$ în $x = \frac{π}{2} + k π$ , $ctg x$ în $x = k π$ .
Niciodată în puncte din interiorul domeniului în care funcția este continuă și niciodată la $\pm \infty$ — acolo se caută asimptotele orizontale și oblice.

Algoritm în 3 pași

Determină domeniul $D$ și listează punctele finite de acumulare care nu aparțin lui $D$ (candidatele).
Calculează limitele laterale în fiecare candidat $a$ : $lim_{x ↗ a} f (x)$ și $lim_{x ↘ a} f (x)$ , folosind limitele de funcții și semnul numitorului în vecinătatea lui $a$ .
Concluzie. Dacă cel puțin o limită laterală este $\pm \infty$ , $x = a$ este asimptotă verticală (precizezi: la stânga, la dreapta sau bilaterală). Dacă ambele limite sunt finite, nu există asimptotă verticală în $a$ .

Funcții raționale: simplifică mai întâi

Un zero al numitorului nu dă automat asimptotă verticală. Pentru $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ , $D = R ∖ {1}$ , dar $f (x) = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = x + 1$ pentru $x \neq 1$ , deci $lim_{x \to 1} f (x) = 2$ — finită. Dreapta $x = 1$ nu este asimptotă verticală; graficul are doar un „punct lipsă” în $(1, 2)$ . Regula: există asimptotă verticală în $a$ doar dacă, după simplificarea fracției, numitorul se anulează în $a$ , iar numărătorul nu.

Greșeli frecvente

Scrii $y = a$ în loc de $x = a$ : asimptota verticală are ecuația în $x$ .
Nu simplifici fracția și declari asimptotă în puncte în care limita este finită ( $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ în $x = 1$ ).
Calculezi o singură limită laterală și afirmi că asimptota este „bilaterală”: semnele pot diferi ( $\frac{1}{x}$ în $0$ dă $- \infty$ la stânga și $+ \infty$ la dreapta).
Cauți asimptote verticale în puncte din domeniu ( $f (x) = \sqrt{x}$ în $0$ : $f (0) = 0$ , limita este finită) sau la $\pm \infty$ .

Întrebări frecvente

Care este ecuația asimptotei verticale? $x = a$ , unde $a$ este punctul finit în care cel puțin o limită laterală a funcției este $\pm \infty$ .

Cum aflu asimptotele verticale ale unei funcții? Determini domeniul, alegi punctele finite de acumulare care nu aparțin domeniului (zerourile numitorului după simplificare, capetele intervalelor, argumentul lui $\ln$ egal cu $0$ ) și calculezi limitele laterale în fiecare; cele infinite dau asimptote.

Poate graficul să intersecteze asimptota verticală? Nu o poate traversa: în vecinătatea lui $a$ valorile funcției tind la infinit, iar de regulă $a$ nu aparține domeniului, deci graficul nu are puncte pe dreapta $x = a$ . Spre deosebire de aceasta, asimptotele orizontale și oblice pot fi intersectate.

Verifică-ți rezolvarea: calculator asimptote — verticale, orizontale și oblice, pas cu pas.

Verifică-te: 3 întrebări

Dreapta $x = a$ este asimptotă verticală la graficul lui $f$ dacă:

$lim_{x \to \infty} f (x) = a$
cel puțin o limită laterală a lui $f$ în $a$ este $\pm \infty$
$f (a) = 0$

Asimptota verticală a funcției $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ este:

$x = - 1$
$y = 1$
$x = 3$

Funcția $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ , $x \neq 2$ , are asimptotă verticală:

nu are
$x = 2$
$x = - 2$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — o singură asimptotă, bilaterală

$f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ .

Rezolvare. Candidatul este $x = 2$ (zeroul numitorului). Pentru $x ↘ 2$ , $x - 2 \to 0^{+}$ , deci $f (x) \to + \infty$ ; pentru $x ↗ 2$ , $x - 2 \to 0^{-}$ , deci $f (x) \to - \infty$ . Dreapta $x = 2$ este asimptotă verticală bilaterală.

Exemplul 2 — două asimptote verticale

$f : R ∖ {- 2, 2} \to R$ , $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}$ .

Rezolvare. $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , candidate: $x = - 2$ și $x = 2$ . În $2$ : numărătorul tinde la $3 > 0$ , $x + 2 \to 4 > 0$ , iar $x - 2 \to 0^{\pm}$ , deci $lim_{x ↘ 2} f (x) = + \infty$ , $lim_{x ↗ 2} f (x) = - \infty$ . În $- 2$ : numărătorul tinde la $- 1 < 0$ , $x - 2 \to - 4 < 0$ , iar $x + 2 \to 0^{\pm}$ : $lim_{x ↘ - 2} f (x) = \frac{- 1}{(- 4) \cdot 0^{+}} = + \infty$ , $lim_{x ↗ - 2} f (x) = - \infty$ . Dreptele $x = - 2$ și $x = 2$ sunt asimptote verticale bilaterale.

Exemplul 3 — capătul domeniului, logaritm

$f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \ln (x - 1)$ .

Rezolvare. Punctul $1$ nu aparține domeniului, dar este punct de acumulare (are sens doar limita la dreapta). $lim_{x ↘ 1} \ln (x - 1) = lim_{t ↘ 0} \ln t = - \infty$ . Dreapta $x = 1$ este asimptotă verticală la dreapta.

Exemplul 4 — zero al numitorului care nu dă asimptotă

$f : R ∖ {- 1, 2} \to R$ , $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x - 2}$ .

Rezolvare. Descompunem: $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ , $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Pentru $x \neq 2$ , $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ . În $2$ : $lim_{x \to 2} f (x) = \frac{4}{3}$ , finită — $x = 2$ nu este asimptotă. În $- 1$ : numărătorul tinde la $1$ , $x + 1 \to 0^{\pm}$ , deci $lim_{x ↘ - 1} f (x) = + \infty$ , $lim_{x ↗ - 1} f (x) = - \infty$ . Singura asimptotă verticală este $x = - 1$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Determinați asimptotele verticale ale funcțiilor (pe domeniul maxim de definiție):

$f (x) = \frac{3}{x + 4}$
$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$
$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$
$f (x) = \ln (2 - x)$
$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 1}$
$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Răspunsuri

$x = - 4$ , bilaterală ( $- \infty$ la stânga, $+ \infty$ la dreapta).
$x = - 3$ și $x = 3$ , ambele bilaterale.
Nu are: $f (x) = x + 3$ pentru $x \neq 3$ , limita în $3$ este $6$ .
$D = (- \infty, 2)$ ; $x = 2$ asimptotă verticală la stânga ( $lim_{x ↗ 2} f (x) = - \infty$ ).
Nu are: $x^{2} + 1 > 0$ pentru orice $x$ , domeniul este $R$ .
$f (x) = \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ ; $x = 1$ bilaterală, cu $+ \infty$ pe ambele părți.

Vezi și asimptotele orizontale, asimptotele oblice și pagina Asimptote.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Asimptota verticală — formulă, ecuație, cum o găsești, exemple rezolvate