Rapoarte algebrice: amplificare, simplificare, operații — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

Un raport algebric (fracție algebrică) este o fracție cu litere la numărător și la numitor, de exemplu $\frac{x+1}{x^2-4}$. În această lecție înveți condițiile de existență, amplificarea și simplificarea, apoi adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere: exact pașii problemei cu expresia E(x) de la Evaluarea Națională, Subiectul al III-lea.

Teorie

Ce este un raport algebric

Un raport algebric este o scriere $\frac{P}{Q}$, unde $P$ și $Q$ sunt expresii algebrice, iar $Q$ conține litere. Numitorul nu poate fi 0, deci primul lucru pe care îl faci este să afli condițiile de existență: valorile pentru care numitorul se anulează se exclud. Ce rămâne este mulțimea pe care este definit raportul.

Metoda: descompui numitorul în factori. Un produs este 0 numai dacă unul dintre factori este 0.

$$\frac{x+1}{x^2-4}=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)},\text{definit pentru }x\ne 2\text{ și }x\ne -2.$$

Pentru $\frac{x+1}{x^2+1}$ nu există nicio restricție: $x^2+1\ge 1$, deci numitorul nu este niciodată 0.

Amplificarea și simplificarea

Funcționează ca la fracțiile cu numere, pentru că literele țin locul unor numere:

$$\frac{P}{Q}=\frac{P\cdot R}{Q\cdot R}(\text{amplificare cu }R\ne 0),\frac{P\cdot R}{Q\cdot R}=\frac{P}{Q}(\text{simplificare cu }R).$$

Se simplifică doar cu factori comuni, de aceea scrii întâi numărătorul și numitorul ca produse (factor comun, grupare, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2\pm 2ab+b^2$ $=(a\pm b{)}^2$). Exemple:

$$\frac{6x^2}{9xy}=\frac{2x}{3y}(x\ne 0,y\ne 0),\frac{3x+6}{x^2+2x}=\frac{3(x+2)}{x(x+2)}=\frac{3}{x}(x\ne 0,x\ne -2).$$

Condițiile rămân cele ale raportului inițial: și după simplificare, $x=-2$ rămâne exclus.

Operații cu rapoarte algebrice

$$\begin{array}{rlrl}\frac{A}{Q}\pm \frac{B}{Q}& =\frac{A\pm B}{Q},& \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}& =\frac{A\cdot C}{B\cdot D},\\ \frac{A}{B}:\frac{C}{D}& =\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}(C\ne 0),& {\left(\frac{A}{B}\right)}^n& =\frac{A^n}{B^n}.\end{array}$$

• Adunare și scădere: aduci la numitor comun. Descompui fiecare numitor; numitorul comun conține fiecare factor o singură dată, la cel mai mare exponent la care apare (ca la cel mai mic multiplu comun al numerelor). De exemplu, pentru $x-2$ și $x^2-4=(x-2)(x+2)$, numitorul comun este $(x-2)(x+2)$.
• Minusul din fața unei fracții se aplică întregului numărător: $-\frac{x-1}{Q}$ $=\frac{-x+1}{Q}$.
• Înmulțire: descompui tot în factori și simplifici înainte să înmulțești; așa nu apar calcule lungi.
• Împărțire: înmulțești cu inversul împărțitorului. Apare o condiție nouă: numărătorul împărțitorului trebuie să fie diferit de 0.

Pașii pentru o expresie E(x) de tip Evaluare Națională

1. Scrii condițiile: toți numitorii (și numărătorul fiecărui împărțitor) diferiți de 0.
2. Descompui în factori toți numărătorii și numitorii.
3. Faci întâi parantezele (numitor comun), apoi înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta.
4. Simplifici factorii comuni și scrii rezultatul cât mai simplu.
5. Verifici pe un număr permis: forma inițială și cea finală trebuie să dea aceeași valoare.

De reținut

• Un raport algebric există doar dacă numitorul este diferit de 0.
• Simplifici numai factori, niciodată termeni ai unei sume.
• Numitorul comun se află descompunând numitorii în factori.
• La împărțire inversezi a doua fracție și adaugi condiția ca ea să nu fie 0.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Află pentru ce valori reale ale lui $x$ sunt definite rapoartele: a) $\frac{2x}{x^2-5x}$; b) $\frac{x-1}{x^2+1}$; c) $\frac{x}{4x^2-9}$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x^2-5x=x(x-5)$. Produsul este 0 pentru $x=0$ sau $x=5$, deci condițiile sunt $x\ne 0$ și $x\ne 5$.
2. b) $x^2\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1$ și numitorul nu se anulează: raportul este definit pentru orice $x$ real.
3. c) $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$. Se anulează pentru $2x=3$ sau $2x=-3$, deci $x\ne \frac{3}{2}$ și $x\ne -\frac{3}{2}$.

Răspuns: a) $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,5\}$; b) $x\in \mathbb{R}$; c) $x\in \mathbb{R}\setminus \{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\}$

Exemplul 2. Simplifică: a) $\frac{x^2-9}{x^2+3x}$; b) $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Numărătorul este o diferență de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$; la numitor scoți factor comun: $x^2+3x=x(x+3)$. Condiții: $x\ne 0$, $x\ne -3$.
2. Simplifici cu $x+3$: $\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}$ $=\frac{x-3}{x}$.
3. b) $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ și $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Condiții: $x\ne 2$, $x\ne -2$.
4. Simplifici cu $x-2$: $\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x+2)}$ $=\frac{x-2}{x+2}$.

Răspuns: a) $\frac{x-3}{x}$; b) $\frac{x-2}{x+2}$

Exemplul 3. a) Amplifică raportul $\frac{3}{x-1}$ astfel încât să aibă numitorul $x^2-1$. b) Adu la același numitor rapoartele $\frac{1}{x}$ și $\frac{2}{x+1}$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x^2-1=(x-1)(x+1)$, deci amplifici cu $x+1$: $\frac{3}{x-1}$ $=\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ $=\frac{3x+3}{x^2-1}$, pentru $x\ne 1$, $x\ne -1$.
2. b) Numitorii $x$ și $x+1$ nu au factori comuni, deci numitorul comun este produsul lor, $x(x+1)$.
3. Amplifici prima fracție cu $x+1$ și pe a doua cu $x$: $\frac{x+1}{x(x+1)}$ și $\frac{2x}{x(x+1)}$.

Răspuns: a) $\frac{3x+3}{x^2-1}$; b) $\frac{x+1}{x(x+1)}$ și $\frac{2x}{x(x+1)}$

Exemplul 4. Calculează, pentru valorile lui $x$ pentru care rapoartele sunt definite: a) $\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$; b) $\frac{x}{x+3}+\frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^2-9}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Numitorul comun este $(x-2)(x+2)$; amplifici prima fracție cu $x+2$: $\frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)}$ $=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$ $=\frac{1}{x+2}$.
2. b) Numitorul comun este $(x-3)(x+3)$. Amplifici: $\frac{x(x-3)+2(x+3)-12}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{x^2-3x+2x+6-12}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{x^2-x-6}{(x-3)(x+3)}$.
3. Descompui numărătorul prin grupare, scriind $-x=-3x+2x$: $x^2-3x+2x-6$ $=x(x-3)+2(x-3)$ $=(x-3)(x+2)$.
4. Simplifici cu $x-3$: rezultatul este $\frac{x+2}{x+3}$.

Răspuns: a) $\frac{1}{x+2}$, pentru $x\ne \pm 2$; b) $\frac{x+2}{x+3}$, pentru $x\ne \pm 3$

Exemplul 5. Calculează, pentru valorile lui $x$ pentru care operațiile au sens: a) $\frac{x^2-1}{2x}\cdot \frac{4x^2}{x^2+2x+1}$; b) $\frac{x^2-9}{x+1}:\frac{x-3}{x^2+x}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Descompui: $x^2-1=(x-1)(x+1)$, $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$. Condiții: $x\ne 0$, $x\ne -1$.
2. $\frac{(x-1)(x+1)}{2x}\cdot \frac{4x^2}{(x+1{)}^2}$: simplifici $x+1$ o dată și $2x$ cu $4x^2$ (rămâne $2x$). Rezultat: $\frac{2x(x-1)}{x+1}$.
3. b) Condiții: $x+1\ne 0$, $x^2+x=x(x+1)\ne 0$ și, fiind împărțitor, $x-3\ne 0$. Deci $x\notin \{-1,0,3\}$.
4. Înmulțești cu inversul: $\frac{(x-3)(x+3)}{x+1}\cdot \frac{x(x+1)}{x-3}$ $=x(x+3)$.

Răspuns: a) $\frac{2x(x-1)}{x+1}$; b) $x(x+3)=x^2+3x$

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Se consideră expresia $E(x)$ $=(\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-2x}):\frac{x^2+4x+4}{x^2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne 0$ și $x\ne 2$. a) Arată că $E(x)=\frac{x}{x+2}$. b) Determină numerele întregi $n$ pentru care $E(n)$ este număr întreg.

Vezi rezolvarea

1. a) Paranteza: $x^2-2x=x(x-2)$, numitor comun $x(x-2)$: $\frac{x\cdot x-4}{x(x-2)}$ $=\frac{x^2-4}{x(x-2)}$ $=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$ $=\frac{x+2}{x}$.
2. Împărțirea: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, deci $E(x)$ $=\frac{x+2}{x}\cdot \frac{x^2}{(x+2{)}^2}$ $=\frac{x}{x+2}$.
3. b) Scrii $\frac{n}{n+2}$ $=\frac{(n+2)-2}{n+2}$ $=1-\frac{2}{n+2}$. Este întreg exact când $n+2$ este divizor întreg al lui 2: $n+2\in \{-2,-1,1,2\}$.
4. Obții $n\in \{-4,-3,-1,0\}$. Valoarea $n=0$ nu este permisă ($x\ne 0$), deci rămân $-4,-3,-1$. Verificare: $E(-4)=2$, $E(-3)=3$, $E(-1)=-1$.

Răspuns: a) $E(x)=\frac{x}{x+2}$; b) $n\in \{-4,-3,-1\}$

Greșeli frecvente

• Simplifici termeni dintr-o sumă: $\frac{x+3}{x+5}\ne \frac{3}{5}$. Se simplifică doar factori; aici nu există factor comun, raportul rămâne așa.
• Uiți condițiile sau le pierzi după simplificare: la $\frac{x^2-9}{x^2+3x}$ $=\frac{x-3}{x}$, valoarea $x=-3$ rămâne exclusă, deși nu mai apare în rezultat.
• Aplici minusul din fața fracției doar primului termen: $\frac{3}{Q}-\frac{x-1}{Q}$ $=\frac{3-x+1}{Q}$ $=\frac{4-x}{Q}$, nu $\frac{3-x-1}{Q}$.
• Aduni numărătorii și numitorii: $\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ne \frac{2}{x+2}$. Corect: $\frac{2+x}{2x}$, cu numitorul comun $2x$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: rapoarte algebrice, clasa a 8-a: 18 exerciții cu răspunsuri (condiții de existență, simplificare, operații).
• Formule de calcul prescurtat: exerciții rezolvate, pentru descompunerile în factori de care ai nevoie la simplificare, și testul de semestrul I clasa a 8-a cu barem.
• La Evaluarea Națională, rapoartele algebrice sunt mereu în Subiectul al III-lea, problema 2. De exemplu, la EN 2026, examen, expresia este $E(x)$ $=\frac{x}{x-3}+\frac{1}{x-2}+\frac{7-3x}{(x-2)(x-3)}$ și se cere să arăți că $E(x)=\frac{x-2}{x-3}$ (numitor comun și simplificare), iar la EN 2023, examen, punctul a) cere să arăți că $\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}$ $=\frac{1}{x+1}$. Toate subiectele din 2023–2027, rezolvate, sunt pe pagina calcul algebric la Evaluarea Națională: expresii E(x).

Întrebări frecvente

Ce este un raport algebric? Este o fracție în care numărătorul și numitorul sunt expresii cu litere, de exemplu $\frac{2x}{x+3}$. Se mai numește fracție algebrică și are sens doar pentru valorile care nu anulează numitorul.

Cum se află condițiile de existență ale unui raport algebric? Descompui numitorul în factori și pui fiecare factor diferit de 0. De exemplu, la $\frac{1}{x^2-x}$ $=\frac{1}{x(x-1)}$ condițiile sunt $x\ne 0$ și $x\ne 1$. La o împărțire, pui condiția și pentru numărătorul împărțitorului.

Cum se simplifică un raport algebric? Descompui numărătorul și numitorul în factori (factor comun, grupare, formule de calcul prescurtat) și împarți amândoi la factorii comuni: $\frac{x^2-1}{x^2+x}$ $=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}$ $=\frac{x-1}{x}$. Nu tai niciodată termeni dintr-o sumă.