Înmulțirea și împărțirea expresiilor algebrice — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

Înveți să înmulțești și să împarți expresii algebrice: un termen cu alt termen, un termen cu o sumă, două sume între ele și o sumă la un termen. Aceste reguli stau la baza formulelor de calcul prescurtat, a descompunerii în factori și a rapoartelor algebrice, deci și a problemei cu expresia E(x) de la Evaluarea Națională.

Teorie

Regulile de calcul cu puteri (recapitulare)

Pentru numere reale $a,b$ și exponenți întregi $m,n$ (cu $a\ne 0$, $b\ne 0$ acolo unde apare împărțirea sau un exponent negativ ori zero):

$$\begin{array}{rlrl}{a}^m\cdot a^n& =a^{m+n},& a^m:a^n& =a^{m-n},\\ (a^m{)}^n& =a^{m\cdot n},& (a\cdot b{)}^n& =a^n\cdot b^n,\\ a^0& =1,& a^{-n}& =\frac{1}{a^n}.\end{array}$$

De ce se adună exponenții la înmulțire? Numeri factorii: $a^3\cdot a^2$ $=(a\cdot a\cdot a)\cdot (a\cdot a)$ $=a^5$. La împărțire, factorii comuni se simplifică: $a^5:a^2=a^3$.

Înmulțirea a doi termeni

Înmulțești coeficienții între ei, apoi puterile aceleiași litere (adunând exponenții); o literă care apare doar într-un factor se copiază. Regruparea factorilor este permisă pentru că înmulțirea este comutativă și asociativă:

$$(-3x^{2}y)\cdot (4x{y}^3)=(-3\cdot 4)\cdot (x^2\cdot x)\cdot (y\cdot y^3)=-12x^3{y}^4.$$

Semnul rezultatului se stabilește cu regula semnelor. La ridicarea la putere a unui termen, fiecare factor se ridică la putere: $(-2x^{3}y{)}^2$ $=(-2{)}^2\cdot (x^3{)}^2\cdot y^2$ $=4x^6{y}^2$, iar $(-2x{)}^3=-8x^3$ (exponent impar, semnul minus rămâne).

Înmulțirea unui termen cu o sumă

Folosești distributivitatea: termenul înmulțește fiecare termen al sumei.

$$a(b+c-d)=ab+ac-ad,2x(3x-5)=6x^2-10x.$$

Înmulțirea a două sume

Fiecare termen al primei paranteze se înmulțește cu fiecare termen al celei de-a doua, apoi reduci termenii asemenea:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$

Figura arată de ce: aria dreptunghiului mare, $(a+b)(c+d)$, este suma ariilor celor patru dreptunghiuri mici. Exemplu: $(x+2)(x-5)$ $=x^2-5x+2x-10$ $=x^2-3x-10$. Două paranteze cu câte doi termeni dau 4 produse înainte de reducere; dacă îți ies mai puține, ai sărit un produs.

Împărțirea

Termen la termen (împărțitorul diferit de 0): împarți coeficienții și scazi exponenții aceleiași litere.

$$(12x^5{y}^2):(4x^{2}y)=3x^{3}y,x\ne 0,y\ne 0.$$

Sumă la termen: fiecare termen al sumei se împarte la acel termen (împărțirea este distributivă față de adunare):

$$(6x^3-9x^2+3x):(3x)=2x^2-3x+1,x\ne 0.$$

Ultimul termen dă $3x:3x=1$, nu 0. Împărțirea la o sumă, de exemplu la $x+1$, se scrie în clasa a 8-a ca raport algebric și se rezolvă prin descompunere în factori și simplificare; împărțirea polinoamelor „cu rest” se învață în liceu.

De reținut

• La înmulțire: coeficient cu coeficient, iar exponenții aceleiași litere se adună.
• La împărțire: coeficient la coeficient, iar exponenții se scad; împărțitorul trebuie să fie diferit de 0.
• Un termen înmulțește (sau împarte) fiecare termen al unei sume.
• Două paranteze: „fiecare cu fiecare”, apoi reduci termenii asemenea.
• Verifică rezultatul cu un număr: ambele forme trebuie să dea aceeași valoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) $(-3x^{2}y)\cdot (4x{y}^3)$; b) $2a^3\cdot (-5a)\cdot \frac{1}{2}{a}^{2}b$.

Vezi rezolvarea

1. a) Coeficienții: $-3\cdot 4=-12$. Literele: $x^2\cdot x=x^3$, $y\cdot y^3=y^4$. Rezultat: $-12x^3{y}^4$.
2. b) Coeficienții: $2\cdot (-5)\cdot \frac{1}{2}$ $=-5$. Literele: $a^3\cdot a\cdot a^2$ $=a^{3+1+2}$ $=a^6$, iar $b$ apare o singură dată. Rezultat: $-5a^{6}b$.

Răspuns: a) $-12x^3{y}^4$; b) $-5a^{6}b$

Exemplul 2. Calculează $-2x(3x^2-x+4)$.

Vezi rezolvarea

1. Înmulțești $-2x$ cu fiecare termen: $-2x\cdot 3x^2=-6x^3$, $-2x\cdot (-x)=2x^2$, $-2x\cdot 4=-8x$.
2. Atenție la semne: minus ori minus dă plus la al doilea produs.

Răspuns: $-6x^3+2x^2-8x$

Exemplul 3. Calculează: a) $(2x-3)(x+4)$; b) $(x+1)(x^2-x+1)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Fiecare cu fiecare: $2x\cdot x+2x\cdot 4-3\cdot x-3\cdot 4$ $=2x^2+8x-3x-12$ $=2x^2+5x-12$.
2. b) Sunt $2\cdot 3=6$ produse: $x^3-x^2+x+x^2-x+1$.
3. Reduci: $-x^2+x^2=0$ și $x-x=0$, deci rămâne $x^3+1$.
4. Verificare la b) cu $x=2$: $3\cdot (4-2+1)=9$ și $2^3+1=9$.

Răspuns: a) $2x^2+5x-12$; b) $x^3+1$

Exemplul 4. Arată că valoarea expresiei $E(n)$ $=(n+2)(n+3)-n(n+5)$ nu depinde de numărul real $n$.

Vezi rezolvarea

1. $(n+2)(n+3)$ $=n^2+3n+2n+6$ $=n^2+5n+6$.
2. $n(n+5)=n^2+5n$.
3. Scazi, cu paranteză: $E(n)$ $=n^2+5n+6-(n^2+5n)$ $=n^2+5n+6-n^2-5n$ $=6$.
4. Rezultatul nu mai conține $n$, deci este același pentru orice $n$. Verificare cu $n=1$: $3\cdot 4-1\cdot 6=6$.

Răspuns: $E(n)=6$ pentru orice număr real $n$

Exemplul 5. Efectuează împărțirile, pentru $a,b,x,y$ nenule: a) $(18a^4{b}^3-12a^3{b}^2+6a^{2}b):(6a^{2}b)$; b) $(-2x^{2}y{)}^3:(4x^5{y}^2)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Împarți fiecare termen la $6a^{2}b$: $18a^4{b}^3:6a^{2}b=3a^2{b}^2$, $-12a^3{b}^2:6a^{2}b=-2ab$, $6a^{2}b:6a^{2}b=1$.
2. b) Întâi puterea: $(-2x^{2}y{)}^3$ $=(-2{)}^3{x}^6{y}^3$ $=-8x^6{y}^3$.
3. Apoi împărțirea: $-8x^6{y}^3:4x^5{y}^2$ $=-2x^{6-5}{y}^{3-2}$ $=-2xy$.

Răspuns: a) $3a^2{b}^2-2ab+1$; b) $-2xy$

Exemplul 6 (problemă). O grădină dreptunghiulară are dimensiunile $(2x+3)$ m și $(x+1)$ m. În ea se amenajează un bazin în formă de pătrat cu latura de $x$ m. Scrie, ca expresie redusă, aria rămasă pentru plante și calculeaz-o pentru $x=4$.

Vezi rezolvarea

1. Aria grădinii: $(2x+3)(x+1)$ $=2x^2+2x+3x+3$ $=2x^2+5x+3$.
2. Aria bazinului: $x^2$.
3. Aria rămasă: $2x^2+5x+3-x^2$ $=x^2+5x+3$.
4. Pentru $x=4$: $16+20+3=39$. Verificare direct: grădina are $11$ m pe $5$ m, adică $55$ m², bazinul $16$ m², iar $55-16=39$.

Răspuns: $A=x^2+5x+3$; pentru $x=4$, aria rămasă este 39 m²

Greșeli frecvente

• Înmulțești exponenții în loc să îi aduni: $x^2\cdot x^3\ne x^6$. Corect: $x^5$. Exponenții se înmulțesc doar la putere de putere: $(x^2{)}^3=x^6$.
• Ridici la putere doar litera: $(2x{)}^3\ne 2x^3$. Corect: $(2x{)}^3=8x^3$; și coeficientul se ridică la putere.
• Înmulțești doar primul termen din paranteză: $-2(x-3)\ne -2x-3$ și nici $-2x-6$. Corect: $-2x+6$.
• La împărțire „pierzi” un termen: $(6x^2+3x):3x\ne 2x$. Corect: $2x+1$, pentru că $3x:3x=1$. Tot așa, $(x+3{)}^2$ $=(x+3)(x+3)$ $=x^2+6x+9$, nu $x^2+9$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: formule de calcul prescurtat, clasa a 8-a: formulele sunt cazuri particulare ale înmulțirii a două paranteze.
• Formule de calcul prescurtat: exerciții rezolvate pas cu pas și testul de semestrul I clasa a 8-a cu barem.
• La Evaluarea Națională, punctul a) al problemei cu expresia E(x) cere adesea exact o înmulțire de paranteze: Simulare EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 2 a), „Arată că $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$”, și Model EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 2 a), „Arată că $x^2+x-12=(x-3)(x+4)$”. Rezolvările sunt pe pagina calcul algebric la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două paranteze? Înmulțești fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua, apoi reduci termenii asemenea: $(x+4)(x-1)$ $=x^2-x+4x-4$ $=x^2+3x-4$.

Ce se întâmplă cu exponenții la înmulțire și la împărțire? Pentru aceeași literă, la înmulțire exponenții se adună ($x^4\cdot x^2=x^6$), iar la împărțire se scad ($x^4:x^2=x^2$, cu $x\ne 0$). La adunare și scădere exponenții nu se schimbă.

Cum se împarte o sumă la un termen? Împarți fiecare termen al sumei la acel termen: $(8x^3-4x):(4x)=2x^2-1$, pentru $x\ne 0$. Dacă împărțitorul este o sumă, scrii împărțirea ca raport algebric și simplifici după descompunerea în factori.