Expresii algebrice. Termeni asemenea. Adunarea și scăderea — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este o expresie algebrică, ce sunt termenii asemenea și cum aduni și scazi expresii reducând termenii asemenea. Sunt primii pași ai calculului algebric din clasa a 8-a: fără ei nu poți aplica formulele de calcul prescurtat, nu poți rezolva ecuații și nu poți lucra problema cu expresia E(x) de la Evaluarea Națională (Subiectul al III-lea).

Teorie

Numere reale reprezentate prin litere

În clasa a 8-a, literele $x,y,a,b,\dots$ țin locul unor numere reale. Cu ele lucrezi exact ca cu numerele: păstrezi aceleași proprietăți (comutativitate, asociativitate, distributivitate) și aceeași ordine a operațiilor. O expresie algebrică este o scriere în care numere și litere sunt legate prin operații (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere), de exemplu

$$E(x,y)=4x^2-3xy+5y-7.$$

Notația $E(x,y)$ arată de ce litere (variabile) depinde expresia. Dacă înlocuiești literele cu numere și faci calculele, obții valoarea numerică a expresiei. De exemplu, pentru $x=1$ și $y=2$: $E(1,2)$ $=4\cdot 1-3\cdot 1\cdot 2+5\cdot 2-7$ $=1$.

Termen, coeficient, parte literală

Expresia de mai sus este o sumă de termeni: $4x^2$, $-3xy$, $5y$ și $-7$. Un termen este un produs dintre un număr și una sau mai multe litere, eventual ridicate la putere. Numărul se numește coeficient, iar literele cu exponenții lor formează partea literală. (În unele culegeri, un astfel de termen se numește monom.)

Termen	Coeficient	Parte literală
$4x^2$	$4$	$x^2$
$-3xy$	$-3$	$xy$
$x^{2}y$	$1$ (nu se scrie)	$x^{2}y$
$-ab$	$-1$	$ab$
$\sqrt{2}{a}^3$	$\sqrt{2}$	$a^3$
$-7$	$-7$	nu are (termen liber)

Semnul din fața unui termen face parte din coeficient: în $4x^2-3xy$, coeficientul lui $xy$ este $-3$, nu $3$.

Termeni asemenea și reducerea lor

Termenii asemenea au aceeași parte literală: aceleași litere, fiecare la același exponent. Coeficienții pot fi diferiți.

• $3x^{2}y$ și $-7x^{2}y$ sunt asemenea;
• $3x^{2}y$ și $3x{y}^2$ nu sunt asemenea (exponenții lui $x$ și $y$ diferă);
• $5ab$ și $-2ba$ sunt asemenea, pentru că $ba=ab$;
• numerele (termenii liberi) sunt asemenea între ele.

Reducerea termenilor asemenea înseamnă să îi înlocuiești cu un singur termen: aduni coeficienții și păstrezi partea literală. De ce se poate? Este distributivitatea înmulțirii față de adunare, folosită ca scoatere a factorului comun:

$$3x^2+5x^2-x^2=(3+5-1)x^2=7x^2.$$

Termenii care nu sunt asemenea nu se pot reduce: $2x+3x^2$ rămâne scris așa; nu este nici $5x$, nici $5x^3$. Verifică pentru $x=2$: $2\cdot 2+3\cdot 4=16$, dar $5\cdot 2=10$ și $5\cdot 8=40$.

Adunarea și scăderea expresiilor algebrice

Ca să aduni sau să scazi expresii: (1) desfaci parantezele, (2) grupezi termenii asemenea, (3) îi reduci, (4) scrii rezultatul ordonat, de obicei după puterile descrescătoare ale unei variabile. Regula parantezelor este cea de la numerele întregi:

$$\begin{array}{rl}+(a-b+c)& =a-b+c,\\ -(a-b+c)& =-a+b-c.\end{array}$$

Un minus în fața parantezei înseamnă înmulțire cu $-1$, deci schimbă semnul fiecărui termen din paranteză. Când ai paranteze una în alta, le desfaci din interior spre exterior: întâi rotunde, apoi drepte, apoi acolade.

De reținut

• Termen = coeficient · parte literală; semnul din față aparține coeficientului.
• Termenii asemenea au exact aceeași parte literală și se reduc adunând coeficienții.
• La adunare și scădere exponenții nu se schimbă: $3x^2+2x^2=5x^2$, nu $5x^4$.
• Minusul din fața parantezei schimbă semnul tuturor termenilor din paranteză.
• Reduci expresia înainte de a calcula o valoare numerică: lucrezi mai puțin și greșești mai rar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În expresia $E$ $=4x^2-3xy+x-x^2+5xy-7$, identifică termenii asemenea și redu expresia.

Vezi rezolvarea

1. Grupezi termenii cu aceeași parte literală: $4x^2$ și $-x^2$; $-3xy$ și $5xy$; $x$ nu are pereche; $-7$ nu are pereche.
2. Reduci: $4x^2-x^2$ $=(4-1)x^2$ $=3x^2$ și $-3xy+5xy=(-3+5)xy=2xy$.
3. Scrii rezultatul ordonat.

Răspuns: $E=3x^2+2xy+x-7$

Exemplul 2. Fie $A=3x^2-2x+5$ și $B=x^2+4x-1$. Calculează $A+B$ și $A-B$.

Vezi rezolvarea

1. Suma: $A+B$ $=3x^2-2x+5+x^2+4x-1$ $=4x^2+2x+4$.
2. Diferența: pui $B$ în paranteză, pentru că se scade tot $B$: $A-B$ $=3x^2-2x+5-(x^2+4x-1)$.
3. Desfaci paranteza schimbând toate semnele: $3x^2-2x+5-x^2-4x+1$ $=2x^2-6x+6$.
4. Verificare cu $x=1$: $A=6$, $B=4$; $A+B=10=4+2+4$ și $A-B=2=2-6+6$.

Răspuns: $A+B=4x^2+2x+4$, $A-B=2x^2-6x+6$

Exemplul 3. Calculează $7a-2b-[3a-(b-2a)]+4b$.

Vezi rezolvarea

1. Începi cu paranteza rotundă (cea din interior): $3a-(b-2a)$ $=3a-b+2a$ $=5a-b$.
2. Expresia devine $7a-2b-(5a-b)+4b$.
3. Desfaci paranteza precedată de minus: $7a-2b-5a+b+4b$.
4. Reduci: $(7-5)a+(-2+1+4)b$ $=2a+3b$.

Răspuns: $2a+3b$

Exemplul 4. Fie $E(x)$ $=(x^2+3x-2)-(x^2-x+1)$, unde $x$ este număr real. Arată că $E(x)=4x-3$ și calculează $E(\sqrt{3}-1)$.

Vezi rezolvarea

1. Desfaci parantezele: $E(x)$ $=x^2+3x-2-x^2+x-1$.
2. Reduci: $x^2-x^2=0$, $3x+x=4x$, $-2-1=-3$. Deci $E(x)=4x-3$.
3. Înlocuiești în forma redusă: $E(\sqrt{3}-1)$ $=4(\sqrt{3}-1)-3$ $=4\sqrt{3}-4-3$ $=4\sqrt{3}-7$.
4. Observație: dacă înlocuiai direct în forma inițială, trebuia să calculezi și $(\sqrt{3}-1{)}^2$ de două ori. De aceea se reduce întâi.

Răspuns: $E(\sqrt{3}-1)$ $=4\sqrt{3}-7$

Exemplul 5. Un triunghi are laturile de $(2x+1)$ cm, $(3x-2)$ cm și $(x+5)$ cm. Scrie perimetrul ca expresie redusă și află laturile, știind că perimetrul este 40 cm.

Vezi rezolvarea

1. Perimetrul este suma laturilor: $P$ $=(2x+1)+(3x-2)+(x+5)$.
2. Reduci: $2x+3x+x=6x$ și $1-2+5=4$, deci $P=6x+4$.
3. Din $6x+4=40$ obții $6x=36$, adică $x=6$.
4. Laturile: $2\cdot 6+1=13$ cm, $3\cdot 6-2=16$ cm, $6+5=11$ cm. Verificare: $13+16+11=40$, iar $11+13=24>16$, deci triunghiul există.

Răspuns: $P=6x+4$; laturile sunt 13 cm, 16 cm și 11 cm

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Se consideră expresia $E(n)$ $=(2n^2+5n-3)-(2n^2+n-7)$. Arată că $E(n)$ este divizibil cu 4 pentru orice număr natural $n$.

Vezi rezolvarea

1. Desfaci parantezele: $E(n)$ $=2n^2+5n-3-2n^2-n+7$.
2. Reduci termenii asemenea: $2n^2-2n^2=0$, $5n-n=4n$, $-3+7=4$. Deci $E(n)=4n+4$.
3. Scoți factorul comun: $E(n)=4(n+1)$. Pentru $n$ natural, $n+1$ este natural, deci $E(n)$ este multiplu de 4.
4. Verificare cu $n=2$: $(8+10-3)-(8+2-7)$ $=15-3$ $=12$ $=4\cdot 3$.

Răspuns: $E(n)=4(n+1)$, divizibil cu 4

Greșeli frecvente

• Schimbi semnul doar la primul termen: $-(x-5)\ne -x-5$. Corect: $-(x-5)=-x+5$; minusul se aplică fiecărui termen din paranteză.
• Aduni exponenții la adunare: $3x^2+2x^2\ne 5x^4$. Corect: $5x^2$. Exponenții se adună doar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază.
• Reduci termeni care nu sunt asemenea: $2x+3x^2\ne 5x^3$ și $4a+3b\ne 7ab$. Rămân scriși ca sumă.
• Uiți coeficientul 1: $x-3x\ne -3x$. Corect: $x-3x=(1-3)x=-2x$.

Verifică-te

Exersează

• Test semestrul I clasa a 8-a cu barem: calcul algebric, intervale și primele noțiuni de geometrie în spațiu.
• Fișă de lucru: formule de calcul prescurtat, clasa a 8-a: pasul următor, unde reducerea termenilor asemenea apare la fiecare exercițiu.
• La Evaluarea Națională: Simulare EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 2, expresia $E(x)$ $=(2x+3{)}^2+(x-2)(x+2)$ $-3(1-x)+2$. După desfacerea parantezelor (cu formulele de calcul prescurtat) și reducerea termenilor asemenea se obține $E(x)=5x^2+15x+4$. Rezolvarea este pe pagina calcul algebric la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Ce sunt termenii asemenea? Sunt termeni care au aceeași parte literală, adică aceleași litere la aceiași exponenți, de exemplu $3x^{2}y$ și $-5x^{2}y$. Pot avea coeficienți diferiți. Numerele fără litere sunt și ele asemenea între ele.

Cum se reduc termenii asemenea? Aduni (sau scazi) coeficienții și păstrezi partea literală neschimbată: $7a^2-4a^2+a^2$ $=(7-4+1)a^2$ $=4a^2$. Exponenții nu se modifică.

Ce se întâmplă când în fața parantezei este minus? Paranteza se elimină și se schimbă semnul fiecărui termen din ea: $-(2x^2-3x+1)$ $=-2x^2+3x-1$. Dacă în față este plus, termenii rămân cu semnele lor.