Fișă de lucru trunchiul de piramidă clasa a 8-a — arii, volum, 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 8-a despre trunchiul de piramidă regulată: apotema și înălțimea din trapezul dreptunghic, aria laterală și totală, volumul \(V=\frac{h}{3}(B+b+\sqrt{Bb})\), trunchiul obținut prin secționarea unei piramide și probleme practice. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — trunchiul de piramidă, clasa a 8-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Notații: \(L\), \(\ell\) — laturile bazelor, \(B\), \(b\) — ariile bazelor, \(h\) — înălțimea, \(a_t\) — apotema trunchiului. Volumul: \(V=\frac{h}{3}\left(B+b+\sqrt{Bb}\right)\).

I. Nivel ușor

  1. În trunchiul de piramidă patrulateră regulată \(ABCDA'B'C'D'\) din figură, \(O\) și \(O'\) sunt centrele bazelor, iar \(M\) și \(M'\) mijloacele muchiilor \(BC\) și \(B'C'\). Numește: a) înălțimea; b) apotema trunchiului; c) ce fel de patrulater este o față laterală; d) ce fel de patrulater este \(OO'M'M\). ABCDA′B′C′D′OMO′M′hat
  2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 10 cm și 4 cm, iar apotema de 5 cm. Calculează aria laterală și aria totală.
  3. Adevărat sau fals? a) Fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată sunt trapeze isoscele congruente. b) Bazele unui trunchi de piramidă sunt poligoane asemenea, situate în plane paralele. c) Volumul trunchiului este \(V=\frac{h(B+b)}{2}\). d) Prelungirile muchiilor laterale ale unui trunchi de piramidă sunt concurente.
  4. Un trunchi de piramidă are ariile bazelor de 36 cm² și 9 cm², iar înălțimea de 5 cm. Calculează volumul.
  5. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 8 cm și 2 cm, iar înălțimea de 4 cm. Calculează volumul.
  6. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are laturile bazelor de 6 cm și 3 cm, iar apotema de 4 cm. Calculează aria laterală și aria totală.

II. Nivel mediu

  1. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 12 cm și 6 cm, iar înălțimea de 4 cm. Calculează apotema, aria laterală, aria totală și volumul.
  2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 14 cm și 6 cm, iar înălțimea de 3 cm. Calculează apotema, muchia laterală și aria laterală.
  3. Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are laturile bazelor de 4 cm și 2 cm, iar înălțimea de 3 cm. Calculează volumul, apotema și aria laterală.
  4. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are laturile bazelor de 12 cm și 6 cm, iar înălțimea de 3 cm. Calculează apotema, aria laterală și volumul.
  5. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea de \(3\sqrt{3}\) cm. Află măsura unghiului dintre o față laterală și planul bazei mari și calculează apotema trunchiului.
  6. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 9 cm și înălțimea de 12 cm. Ea este secționată cu un plan paralel cu baza, dus la 4 cm de vârf. Calculează latura secțiunii și volumul trunchiului obținut.

III. Nivel greu

  1. O piramidă este secționată cu un plan paralel cu baza, dus prin mijlocul înălțimii. Află raportul dintre volumul piramidei mici și volumul trunchiului obținut.
  2. O piramidă cu volumul de 270 cm³ și înălțimea de 9 cm este secționată cu un plan paralel cu baza, astfel încât raportul dintre aria secțiunii și aria bazei este \(\frac{4}{9}\). La ce distanță de bază este planul și care este volumul trunchiului?
  3. Un ghiveci are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată, cu baza mică (fundul) de latură 20 cm, deschiderea de latură 40 cm și înălțimea de 24 cm. Câți litri de pământ încap în ghiveci și câți cm² de material sunt necesari pentru confecționarea lui (fără capac)?
  4. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are înălțimea de 4 cm, apotema de 5 cm și aria laterală de 160 cm². Află laturile bazelor și volumul trunchiului.
  5. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 12 cm și 4 cm și înălțimea de 6 cm. Calculează înălțimea piramidei din care provine trunchiul și volumul trunchiului.
  6. Trunchiul de piramidă patrulateră regulată \(ABCDA'B'C'D'\) are \(AB=8\) cm, \(A'B'=4\) cm și înălțimea de 3 cm. Calculează aria secțiunii diagonale \(ACC'A'\) și lungimea diagonalei \(AC'\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. a) \(OO'\); b) \(MM'\); c) trapez isoscel; d) trapez dreptunghic (\(OO'\perp OM\), \(OM\parallel O'M'\))
  2. \(\mathcal{A}_l=\frac{4(10+4)\cdot5}{2}=140\) cm², \(\mathcal{A}_t=140+100+16=256\) cm²
  3. a) A; b) A; c) F (\(V=\frac{h}{3}(B+b+\sqrt{Bb})\)); d) A
  4. \(V=\frac{5}{3}(36+9+18)=105\) cm³
  5. \(V=\frac{4}{3}(64+4+16)=112\) cm³
  6. \(\mathcal{A}_l=\frac{3(6+3)\cdot4}{2}=54\) cm²; \(\mathcal{A}_t=54+9\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{3}}{4}=54+\frac{45\sqrt{3}}{4}\) cm²
  7. \(a_t=5\) cm (\(\sqrt{4^2+(6-3)^2}\)), \(\mathcal{A}_l=180\) cm², \(\mathcal{A}_t=360\) cm², \(V=336\) cm³
  8. \(a_t=5\) cm (\(\sqrt{3^2+4^2}\)); \(m=\sqrt{41}\) cm (\(\sqrt{5^2+4^2}\), în trapezul feței laterale); \(\mathcal{A}_l=200\) cm²
  9. \(B=24\sqrt{3}\), \(b=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{Bb}=12\sqrt{3}\): \(V=42\sqrt{3}\) cm³; \(a_t=2\sqrt{3}\) cm (\(\sqrt{9+3}\)); \(\mathcal{A}_l=36\sqrt{3}\) cm²
  10. diferența apotemelor bazelor: \(2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\); \(a_t=2\sqrt{3}\) cm, \(\mathcal{A}_l=54\sqrt{3}\) cm², \(V=\frac{3}{3}(36\sqrt{3}+9\sqrt{3}+18\sqrt{3})=63\sqrt{3}\) cm³
  11. 60° (\(\operatorname{tg}=\frac{3\sqrt{3}}{5-2}=\sqrt{3}\)); \(a_t=6\) cm
  12. raportul de asemănare \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), latura secțiunii 3 cm; \(V_t=\frac{8}{3}(81+9+27)=312\) cm³ (sau \(324-12\))
  13. \(\frac{1}{7}\) (piramida mică are \(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\) din volum, trunchiul \(\frac{7}{8}\))
  14. raportul de asemănare \(\frac{2}{3}\): planul este la 6 cm de vârf, deci la 3 cm de bază; \(V_{mică}=270\cdot\frac{8}{27}=80\), \(V_t=190\) cm³
  15. \(V=\frac{24}{3}(1600+400+800)=22\,400\) cm³ = 22,4 litri; \(a_t=\sqrt{24^2+10^2}=26\) cm, \(\mathcal{A}_l=3120\) cm², plus fundul 400 cm²: 3520 cm²
  16. \(\frac{L-\ell}{2}=3\Rightarrow L-\ell=6\); \(2(L+\ell)\cdot5=160\Rightarrow L+\ell=16\); \(L=11\) cm, \(\ell=5\) cm, \(V=\frac{4}{3}(121+25+55)=268\) cm³
  17. \(\frac{H-6}{H}=\frac{4}{12}\Rightarrow H=9\) cm; \(V_t=\frac{6}{3}(144+16+48)=416\) cm³ (\(432-16\))
  18. \(ACC'A'\) este trapez isoscel cu bazele \(8\sqrt{2}\) și \(4\sqrt{2}\), înălțimea 3: aria \(18\sqrt{2}\) cm²; \(AC'=\sqrt{3^2+(6\sqrt{2})^2}=9\) cm (proiecția lui \(C'\) pe \(AC\) este la \(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\) de \(A\))

Teorie: Trunchiul de piramidă — formule · Piramida regulată — formule · Calculator arie și volum corpuri · Formule clasa a 8-a · Fișă: piramida regulată · Alte fișe: toate fișele de lucru